Atom-field entanglement for Jaynes–Cummings model with an intensity-depend coupling

Abstract


We investigate the evolution of a quantum system described by the two-atom Jaynes–Cummings model with an intensity-dependent couplings by displaying the linear atomic entropy and the asymptotic behavior of state vector. The possibility of the system being initially in a pure disentangled state to revive into this state during the evolution process is shown. Conditions and times of disentanglement are derived.

Full Text

Введение. Квантовые атом-атомные и атом-полевые перепутанные состояния являются основным ресурсом квантовой информатики. Для приложений в физике квантовых вычислений нужны максимально перепутанные чистые состояния с достаточно большим временем жизни [1]. В настоящее время предложены и частично реализованы различные схемы генерации и использования перепутанных состояний. Атом-полевые перепутанные состояния наблюдались в ряде экспериментов с ионами и атомами в магнитных и оптических ловушках [1]. В целом интерес к атомам в резонаторах и ионам в оптических и магнитных ловушках обусловлен возможностью использования таких систем в качестве логических элементов квантовых компьютеров (кубитов). Для теоретического описания таких систем используются модель Джейнса–Каммингса (МДК)и её простейшие обобщения. МДК и её простейшие обобщения играют фундаментальную роль в квантовой оптике, поскольку позволяют описать все основные квантовые эффекты взаимодействия излучения с веществом. В частности, на примере двухатомной МДК можно исследовать особенности атомного перепутывания за счет взаимодействия атомов с различными бозонными полями. В последнее время интерес к однои двухатомным МДК особенно возрос в связи с их экспериментальной реализацией на атомах и ионах в резонаторах и ловушках, индивидуальных молекулах в органических кристаллах, искусственных атомах на квантовых точках, сверхпроводящих системах. В реальных условиях квантовые системы всегда взаимодействуют с окружением. Такое взаимодействие обычно приводит к декогерентности, так что исследуемая система эволюционирует в смешанное перепутанное состояние, которое оказывается непригодным для целей 169 Е. К. Б а ш к и р о в, Е. В. Г р и ш и н а, Е. Ю. С о ч к о в а квантовых вычислений. Однако даже в отсутствие диссипации возникающие атом-полевые перепутанные состояния оказываются нестабильными. В частности, в случае атомов, взаимодействующих с электромагнитным полем в высокодобротных резонаторах и ловушках, нестабильность атомных перепутанных состояний обусловлена осцилляциями Раби. Для стабилизации перепутывания предлагалось использовать взаимодействие атомов с окружением специального вида: сжатый вакуум, резонаторы низкой добротности, белый оптический шум и др. Однако такие способы стабилизации в настоящее время представляют чисто теоретический интерес, так как не могут быть реализованы экспериментально. Поэтому с практической точки зрения представляет интерес изучение возможности частичной стабилизации атом-полевого перепутывания за счет более простых механизмов. В частности, возможность контроля атом-полевого перепутывания за счет неидентичности атомов в случае двухатомной двухфотонной МДК исследовалось нами в работе [4]. Исследование атом-полевого перепутывания для МДК было инициировано Финиксом и Найтом [4] и Геа-Банаклоче [5]. Результаты для одноатомной МДК были позднее обобщены на случай двухатомной и многофотонной МДК с различными типами разрешенных атомных переходов [6–11]. Экспериментально атом-полевое перепутывание наблюдалось как для одного, так и для двух атомов, взаимодействующих с полем в резонаторе, с использованием одноатомного мазера [13–16]. Такой эффект был также реализован для ионов в магнитных ловушках Пауля и спинов в твердых телах [17, 18]. Хорошо известно, что в двухфотонных процессах характер взаимодействия атомов с полем сильно зависит от его интенсивности. Нелинейный характер взаимодействия атома с полем в резонаторе наблюдался недавно в работе [19]. В настоящей статье мы исследуем динамику атомной и полевой подсистем и атом-полевое перепутывание в двухатомной МДК с зависящей от интенсивности поля константой атом-фотонного взаимодействия в случае, когда резонаторное поле в начальный момент времени находится в когерентном состоянии с большим средним числом фотонов в моде. Рассмотрение проводится как с помощью анализа асимптотического поведения полной волновой функции системы, так и в рамках концепции линейной атомной энтропии. В результате найдены такие начальные состояния атомной подсистемы, для которых распутывание атом-полевой подсистем наименее вероятно. Проведена также оценка времен распутывания атомов и поля для различных начальных состояний атомов и интенсивного когерентного состояния поля. 1. Модель и её точное решение. Рассмотрим одномодовое поле, резонансно взаимодействующее с двумя идентичными двухуровневыми атомами с константами взаимодействия, зависящими от интенсивности поля. Гамильтониан взаимодействия данной системы можно представить в следующем виде: 2 2 z σi + g Hint = ωa+ a + ω i=1 √ √ − + a+ aa+ σi + σi a a+ a . (1) i=1 Здесь ω — частота перехода в двухуровневом атоме; a+ (a) — операторы рож− + дения (уничтожения) фотонов в моде; σi = |+ ii −| и σi = |− ii +| — атомz — операторы полуразности населённостей двухные операторы перехода; σi уровневых атомов; |− i и |+ i — основное и возбужденное состояния i-того двухуровневого атома (i = 1, 2) соответственно. Константа g с оператором 170 Атом-полевое перепутывание для модели Джейнса–Каммингса . . . √ a+ a играет роль зависящей от интенсивности поля константы взаимодействия атомом и поля. Приведём значения параметров одноатомного мазера в Париже [13], который использовался для получения атом-полевых перепу√ танных состояний: ω = 321 ГГц, ng = 151 кГц. ¯ Предположим, что атомы в начальный момент времени приготовлены в произвольном чистом состоянии, а поле в – когерентном состоянии. Тогда полная волновая функция атом-полевой системы в начальный момент времени может быть представлена как |Ψ(0) = (c1 |+, + + c2 |+, − + c3 |−, + + c4 |−, − ) |υ , (2) где ci , i = 1, 2, 3, 4 — коэффициенты, удовлетворяющие условию нормировки |c1 |2 + |c2 |2 + |c3 |2 + |c4 |2 = 1 и когерентному состоянию |υ = ∞ n=0 Fn |n . n/2 √ Здесь Fn = exp(−n/2) n eıϕ ; υ = n1/2 eıϕ ; n = |υ|2 — среднее число фотонов n! в моде; ϕ — фаза моды когерентного резонаторного поля. Точное решение уравнения Шрёдингера для волновой функции при начальных условиях (2) для модели с гамильтонианом (1) имеет вид |Ψ(t) = n X1n (t)|+, +; n + X2n (t)|+, −; n + 1 + + X3n (t)|−, +; n + 1 + X4n (t)|−, −; n + 2 . (3) Здесь X1n (t) = (n + 1) sin(2Ωn ) (n + 2)2 + (n + 1)2 cos(2Ωn t) c1 Fn − ı c2 Fn+1 − 2 2Ωn 2Ωn (n + 1) sin(2Ωn t) (n + 1)(n + 2) sin2 (Ωn t) −ı c3 Fn+1 − c4 Fn+2 , 2Ωn Ω2 n X2n (t) = −ı X3n (t) = −ı (n + 1) sin(2Ωn t) c1 Fn + cos2 (Ωn t)c2 Fn+1 − 2Ωn (n + 2) sin2 (Ωn t) c4 Fn+2 , − sin2 (Ωn t)c3 Fn+1 − ı 2Ωn (n + 1) sin(2Ωn t) c1 Fn − sin2 (Ωn t)c2 Fn+1 + 2Ωn (n + 2) sin2 (Ωn t) + cos2 (Ωn t)c3 Fn+1 − ı c4 Fn+2 , 2Ωn 171 Е. К. Б а ш к и р о в, Е. В. Г р и ш и н а, Е. Ю. С о ч к о в а (n + 1)(n + 2) sin2 (Ωn t) (n + 2) sin(2Ωn t) c1 Fn − ı c2 Fn+1 − 2 Ωn 2Ωn (n + 2) sin(2Ωn t) (n + 1)2 + (n + 2)2 cos2 (Ωn t) −ı c4 Fn+2 , c3 Fn+1 + 2Ωn 2Ω2 n X4n (t) = − Ωn = [2n(n + 3) + 5] /2. Используя вектор состояния (3), можно вычислить вероятности нахождения обоих атомов в возбужденном, основном состоянии и в любом другом чистом состоянии. Очевидно, что вероятности быстро осциллируют на частотах 2Ωn и 4Ωn . Интерференция состояний с различным числом фотонов приводит к восстановлению и распаду осцилляций Раби. Восстановление осцилляций Раби имеет место при условиях |2Ωn+1 − 2Ωn |T1R = 2πk, |4Ωn+1 − 4Ωn |T2R = 2πm, (4) (5) где k и m = 0, 1, 2, . . . . Для относительно высокой интенсивности когерент1) формулы (4) и (5) могут быть представлены как gT1R = ного поля (n = πk и gT2R = πm/2. Таким образом, для рассматриваемой модели имеются две серии восстановления осцилляций Раби для вероятностей с периодами T1R и T2R . 2. Эволюция вектора состояния системы. Используя точное решение (3), мы можем провести исследование особенностей атом-полевого перепутывания. Учитывая, что резонаторное поле первоначально приготовлено в когерентном состоянии с высокой интенсивностью, исследуем вначале временное поведение собственных векторов полуклассического гамильтониана взаимодействия. Полуклассический гамильтониан взаимодействия для рассматриваемой модели можно записать в виде 2 − + υ ∗ σi + υσi . HSC = g|υ| (6) i=1 Собственные значения и собственные векторы гамильтониана (6) следующие: λ1,2 = ±2g|υ|2 , λ3,4 = 0; 1 2iϕ e |+, + + |−, − + eiϕ (|+, − + |−, + ) , 2 1 2iϕ |Φ2 = e |+, + + |−, − − eiϕ (|+, − + |−, + ) , 2 (7) 1 |Φ3 = √ −e2iϕ |+, + + |−, − , 2 1 |Φ4 = √ [|+, − − |−, + ] . 2 Теперь рассмотрим динамику рассматриваемой модели с гамильтонианом (1) для специальных начальных условий. Пусть атомы в начальный момент времени приготовлены в одном из состояний вида (7), а поле — в коге1, т.е. рентном состоянии с большим средним числом фотонов в моде n |Φ1 = 172 Атом-полевое перепутывание для модели Джейнса–Каммингса . . . |Ψ(0) = |Φi |υ , i = 1, 2, 3, 4. Используя технику, развитую в [8], можно получить следующие асимптотические формулы: |Φ1 |υ → 1 −4igt 2iϕ e e |+, + + |−, − + 2 + e−2igt e−iϕ (|+, − + |−, + ) × |Φ2 |υ → ∞ n=0 Cn |n e−i2Ωn t , (8) 1 4igt 2iϕ e e |+, + + |−, − − 2 − e2igt e−iϕ (|+, − − |−, + ) × ∞ n=0 Cn |n ei2Ωn t , (9) |Φ3 |υ → |Φ3 |υ , |Φ4 |υ → |Φ4 |υ , (10) где Ωn ≈ n. Из выражений (8)–(10) видно, что вектор состояния системы для выбранных начальных состояний может быть факторизован для любого момента времени. Это означает, что для таких начальных состояний система находится в чистом распутанном состоянии в любой момент времени. Теперь вернемся к изучению динамики системы с гамильтонианом (1). Особый интерес при этом представляют начальные атомные состояний |Φ1 и |Φ2 . Из (8), (9) видно, что атомная система, в начальный момент времени приготовленная в состоянии |Φ1 или |Φ2 , ни при каких временах не возвращается в это же чистое состояние. Однако атомные состояния (8) и (9) точно совпадают в моменты времени T1R , (11) t1 = (2k + 1) 4 где k — целое число и T1R — один из периодов возрождения осцилляций Раби. В эти моменты времени совпадающее атомное состояние есть 1 −e4iϕ |+, + + |−, − − ıe2iϕ (|+, − + |−, + ) . 2 Предположим теперь, что состояние атомной системы в начальный момент времени приготовлено в виде линейной суперпозиции состояний |Φ1 и |Φ2 , такой как A-состояние 1 1 |Ψ A = √ (|+, − + |−, + ) = e2iϕ √ (|Φ1 − |Φ2 ) 2 2 или B-состояние 1 1 |Ψ B = √ e4ıϕ |+, + + |−, − = √ (|Φ1 + |Φ2 ) . 2 2 Тогда в моменты времени t1 происходит полное распутывание состояний атомов и когерентного поля. При этом поле в указанные моменты времени является когерентной суперпозицией двух макроскопических состояний, которая обычно носит название «кот Шрёдингера». Кроме того, легко заметить, что состояния поля в выражениях (8) и (9) точно совпадают (при условии n ¯ 1) для времён t2 = kπ/2g = kT2R , k = 1, 2, . . . . (12) 173 Е. К. Б а ш к и р о в, Е. В. Г р и ш и н а, Е. Ю. С о ч к о в а а б Поведение линейной атомной энтропии для начальных атомных состояний: а) 1/2|+, − + |−, + ; б) |+, + ; начальное число фотонов n = 30; фаза когерентного состояния ϕ = 0 В результате для рассматриваемой системы имеются две серии времен распутывания поля и атомов, приготовленных в начальный момент времени в состоянии |ΨA или |ΨB . Из точного выражения для волновой функции (3) можно также легко увидеть, что для любых начальных чистых состояний атомов распутывание состояний атомов и поля имеем место также при условиях |Ωn+2 − Ωn+1 |t = 2πk, |Ωn+1 − Ωn |t = 2πk. (13) Для большого числа фотонов в моде n ¯ 1 уравнения (13) удовлетворяются для времён t3 = (π/g)k = T1R k, (14) где k — целое число. Таким образом, для начальных атомных состояний вида |ΨA или |ΨB имеются две серии времен распутывания, для всех же остальных состояний — всего одна серия. Эти результаты отличаются от тех, что были получены нами ранее для двухатомной вырожденной двухфотонной МДК [8] без учета динамического штарковского сдвига. В указанном случае для Sи A-состояний наблюдаются три серии времен распутывания и одна серия — для всех остальных состояний. 3. Динамика атомной энтропии для различных начальных состояний атомов и поля. Выводы об особенностях динамики перепутывания в рассматриваемой модели, полученные нами на основе анализа асимптотического поведения полновой волновой функции, могут быть проверены путем численного моделирования линейной атомной энтропии, которая используется в квантовой информатике в качестве одного из критерия оценки степени перепутанности составных систем. Линейная атомная энтропия определяется как S = 1 − Tr ρ2 , где ρat = TrF (|Ψ Ψ|). В случае, когда S = 0, атом-полевая at система находится в распутанном состоянии. Максимальной степени перепутывания соответствует значение S = 3/4. Динамика линейной атомной энтропии S представлена на рисунке для различных начальных состояний атома и когерентного поля большой интенсивности. Рисунок а демонстрирует поведение линейной атомной энтропии для случая, когда атомная подсистема в начальный момент времени находится в состоянии S (или A). Из рисунка видно, что для рассматриваемых 174 Атом-полевое перепутывание для модели Джейнса–Каммингса . . . начальных состояний системы имеются две серии времен распутывания атомов и поля. Полученный результат полностью совпадает с тем, что получен в предыдущем разделе (см. формулы (11) и (12)). Таким образом, численное моделирование подтверждает заключения, сделанные на основе анализа асимптотического поведения вектора состояния полной системы. Что касается состояний |+, + (или |−, − , |+, − и |−, + ), из рисунка б хорошо видно, что в рассматриваемом случае система обладает всего одной серией времен распутывания состояний атомов и поля. Эти времена хорошо описываются формулой (14). Таким образом, можно видеть, что все результаты, полученные путём численного моделирования, полностью согласуются с результатами, полученными на основе анализа динамики полной волновой функции системы. Заключение. Итак, мы рассмотрели атом-полевое перепутывание системы двух идентичных двухуровневых атомов, взаимодействующих с когерентным электромагнитным полем, с константой взаимодействия, зависящей от интенсивности поля. Количественная оценка степени перепутывания такой системы проведена на основании как анализа асимптотического поведения атомполевого вектора состояния, так и линейной атомной энтропии. При этом показано, что вероятность распутывания состояний атомов и поля может быть уменьшена путём подходящего выбора начального состояния атомной подсистемы.

About the authors

Eugene K Bashkirov

Samara State University

Email: bash@samsu.com
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics

Eugenya V Grishina

Samara State University

1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia
Student, Dept. of General and Theoretical Physics

Elena Yu Sochkova

Samara State University

Email: sochkova-elena@mail.ru
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia
Postgraduate Student, Dept. of General and Theoretical Physics.

References

  1. Nielsen M. A., Chuang I. L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge, New York: Cambridge University Press, 2011. xxvi+676 pp.
  2. Schumacker D., Westmoreland M. D. Quantum Processes, Systems, and Information. Cambridge, New York: Cambridge University Press, 2010. xii+469 pp.
  3. Башкиров Е. К., Сочкова Е. Ю. Перепутывание в двухатомной модели c вырожденными рамановскими переходами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 2(23). С. 135–141.
  4. Phoenix S. J. D., Knight P. L. Fluctuations and entropy in models of quantum optical resonance // Ann. Phys., 1988. Vol. 186, no. 2. Pp. 381–407.
  5. Gea-Banacloche J. Collapse and revival of the state vector in the Jaynes-Cummings model: an example of state preparation by a quantum apparatus // Phys. Rev. Lett., 1990. Vol. 65, no. 27. Pp. 3385–3388.
  6. Dung H. T., Huyen N. D. State evolution in the two-photon atom-field interaction with large initial fields // Phys. Rev. A, 1994. Vol. 49, no. 1. Pp. 473–480.
  7. Nasreen T., Zaheer K. Evolution of wave functions in the two-photon Jaynes–Cummings model: The generation of superpositions of coherent states // Phys. Rev. A, 1994. Vol. 49, no. 1. Pp. 616–619.
  8. Kudryavtsev I. K., Lambrecht A., Moya-Cess H., Knight P. L. Cooperativity and entanglement of atom-field states // J. Mod. Opt., 1993. Vol. 40, no. 8. Pp. 1605–1630.
  9. Dung H. T., Huyen N. D. Two atom-single mode radiation field interaction. State evolution, level occupation probabilities and emission spectra // J. Mod. Opt., 1994. Vol. 41, no. 3. Pp. 453–469.
  10. Bashkirov E. K., Rusakova M. S. Atom-field entanglement in two-atom Jaynes–Cummings model with nondegenerate two-photon transitions // Opt. Comm., 2008. Vol. 281, no. 17. Pp. 4380–4386.
  11. Bashkirov E. K. Entanglement in degenerate two-photon Tavis–Cummings model // Phys. Scr., 2010. Vol. 82, no. 1, 015401.
  12. Bashkirov E. K., Rusakova M. S. Entanglement for two-atom Tavis–Cummings model with degenerate two-photon transitions in the presence of the Stark shift // Optik, 2012. Vol. 123, no. 19. Pp. 1694–1699.
  13. Haroche S., Raimond J.-M. Exploring the Quantum. Atoms, Cavities and Photons. Cambridge, New York: Cambridge University Press, 2010. x+605 pp.
  14. Stute A., Casabone B., Schindler P., Monz T., Schmidt P. O., Brandstätter B., Northup T. E., Blatt R. Tunable ion-photon entanglement in an optical cavity // Nature, 2012. Vol. 485, no. 7399. Pp. 482–485, arXiv: 1301.0275 [quant-ph].
  15. Li L., Dudin Y. O., Kuzmich A. Entanglement between light and an optical atomic excitation // Nature, 2013. Vol. 498, no. 7455. Pp. 466–469.
  16. Rauschenbeutel A., Nogues G., Osnaghi S., Bertet P., Brune M., Raimond J.-M., Haroche S. Step-by-Step Engineered Multiparticle Entanglement // Science, 2000. Vol. 288, no. 5473. Pp. 2024–2028.
  17. Blinov B. B., Moehring D. L., Duan L.-M., Monroe C. Observation of entanglement between a single trapped atom and a single photon // Nature, 2004. Vol. 428, no. 6979. Pp. 153–157.
  18. Togan E., Chu Y., Trifonov A. S., Jiang L., Maze J., Childress L., Dutt M. V. G., Sørensen A. S., Hemmer P. R., Zibrov A. S., Lukin M. D. Quantum entanglement between an optical photon and a solid-state spin qubit // Nature, 2010. Vol. 466, no. 7307. Pp. 730–734.
  19. Fink J. M., Göppl M., Baur M., Bianchetti R., Leek P. J., Blais A., Wallraff A. Climbing the Jaynes–Cummings ladder and observing its n nonlinearity in a cavity QED system // Nature, 2008. Vol. 454, no. 7202. Pp. 315–318, arXiv: 0902.1827 [cond-mat.mes-hall].

Statistics

Views

Abstract - 22

PDF (Russian) - 6

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies