Two problems for three-dimensional space analogue of the third order hyperbolic type equation

Abstract


For a complete hyperbolic equation of the third order with variable coefficients in the infinite rectangle the problem with two integral conditions and conjugation on the characteristic plane (Problem I) is considered. As auxiliary Darboux problem is solved by Riemann method which is much simplified by the special presentation of one of the boundary conditions. Taking Darboux problem as a basis for the solution, authors reduce the Problem I to the uniquely solvable integral equation, which gives an explicit solution to the Problem I.

Full Text

Настоящая работа является продолжением исследований постановок и решений краевых задач для уравнений гиперболического типа в трехмерном пространстве, опубликованных в статьях [1, 2]. В бесконечной прямоугольной области для уравнения третьего порядка получено в явном виде решение задачи с интегральными условиями и сопряжением на нехарактеристической плоскости. При этом за основу берётся полученное авторами методом Римана решение задачи Дарбу со специальным представлением одной из заданных функций. Уравнение L(u) = Uxyz + b(y)Uxy + a(x)Uxy + C(z)Uxy + b(y)c(z)Ux + + a(x)C(z)Uy + a(x)b(y)Uz + a(x)b(y)c(z)U = 0 (1) рассматривается на множестве H = H1 ∪ H2 , где H1 = (x, y, z) 0 0; ψ1 (x, z), f1 (x, x) = f2 (x, x) = 0. ε2 > 0; Условия В. Справедливы следующие условия ортогональности: x y eβ(t) f2 (x, t)dt = 0. eα(t) f1 (t, y)dt = 0, 0 0 Уравнение (1) рассмотрим в области H1 и решим вспомогательную задачу, которую возьмем за основу при решении задачи I. Задача Дарбу. В области H1 найти решение уравнения (1), непрерывное в ¯ H1 , с данными ¯∗ U (x, y, z) = τ1 (x, z), (x, z) ∈ D0 , ∗ lim (Uy − Ux ) = ν1 (x, z), (x, z) ∈ D0 , y→x+0 ¯ U (x, y, 0) = f1 (x, y), (x, y) ∈ D1 . ∗ ∗ ∗ Причём τ 1xz ∈ C(D0 ), ν 1z (x, z) ∈ C(D0 ), ν1 (x, z) ∈ C(D0 ), функция f1 удовлетворяет условиям А и интегрируема по x на [0, h] при любом z ∈ [0, +∞), кроме того τ1 (0, z) = τ1 (x, 0) = ν1 (x, 0) = 0. Для решения задачи Дарбу применим метод Римана, обоснованный в работе [3], в ней же построена функция Римана для уравнения (1). С учётом введённых обозначений она имеет вид R(M, M0 ) = exp α(x) − α(x0 ) + β(y) − β(y0 ) + γ(z) − γ(z0 ) . Запишем один из трёхмерных аналогов тождества Грина [3] применительно к уравнению (1): RL(U ) − U L∗ (R) = (Rx + Qy + Hz )/6, (5) L (U ) — сопряженный оператор, ∗ P = 2[Ryz U + RUyz ] − Ry Uz − Rz Uy + 3γ(z)[RUy − U Ry ]+ + 3β(y)[RUz − U Rz ] + 6β(y)γ(z)RU, 213 Д о л г о п о л о в В. М., Р о д и о н о в а И. Н. Q = 2[Rxz U + RUxz ] − Rx Uz − Rz Ux + 3γ(z)[RUx − U Rx ]+ + 3α(x)[RUz − uRz ] + 6α(x)γ(z)RU, (6) H = 2[Rxy U + RUxy ] − Rx Uy − Ry Ux + 3β(y)[RUx − U Rx ]+ + 3α(x)[RUy − U Ry ] + 6α(x)β(y)RU. Возьмём произвольную точку M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ H1 и рассмотрим область H0 , ограниченную плоскостями x = x0 , y = y0 , z = z0 , z = 0, x = y. В предположении, что U (x, y, z) — решение уравнения (1), а R — функция Римана, тождество (5) принимает вид Px + Qy + Hz = 0. Проинтегрируем его по области H0 . Применим формулу 5 Гаусса—Остроградского, получим i=1 O i = 0, где (P cos α + Q cos β + H cos γ) dSi , Oi = Si Si — грани области H0 , S = 5 Si . i=1 Вычисляя интегралы Oi , пользуясь соотношениями (6) и свойствами функции Римана, после ряда преобразований и переобозначения переменных приходим к функции U (x, y, z) = 1 τ1 (x, z)eβ(x)−β(y) + τ1 (y, z)eα(y)−α(x) + 2 y τ1 (t, z)(β (t) − α (t))eα(t)−α(x)+β(t)−β(y) dt + + + x y ν1 (t, z)e−α(x)+α(t)−β(y)+β(t) dt + eγ(0)−γ(z) f1 (x, y) . (7) x Проверкой устанавливаем, что функция, определяемая формулой (7), является решением задачи Дарбу для уравнения (1). Преобразуем решение (7), вводя интегральное представление функции τ1 : x T1 (t, z)e2β(t)−2β(x) dt, τ1 (x, z) = 0 ∗ T1 (x, z) ∈ C(D0 ), T1 (x, 0) = 0, (8) где T1 (x, z) интегрируема по x на [0, h] при любом z ∈ [0, +∞). Подставляя выражение (8) в формулу (7), получаем x T1 (t, z)e2β(t)−β(x)−β(y) dt+ U (x, y, z) = 0 y N1 (t, z)eα(t)+β(t)−α(x)−β(y) dt + eγ(0)−γ(z)f1 (x, y), + (9) x где N1 (t, z) = (ν1 (x, z) + T1 (x, z))/2. (10) Аналогичными рассуждениями получаем решение задачи Дарбу в области H2 с данными ¯∗ U (x, y, z) = τ2 (x, z), (x, z) ∈ D0 ; ∗ lim (Uy − Ux ) = ν2 (x, z), (x, z) ∈ D0 ; y→x−0 U (x, y, 0) = f2 (x, y), 214 ¯ (x, y) ∈ D2 , Две задачи для пространственного аналога гиперболического уравнения третьего порядка которое при представлении x T2 (t, z)e2α(t)−2α(x) dt τ2 (x, z) = (11) 0 принимает вид y T2 (t, z)e2α(t)−α(x)−α(y) dt+ U (x, y, z) = 0 x N2 (t, z)eα(t)+β(t)−α(x)−β(y) dt + eγ(0)−γ(z) f2 (x, y), (12) + y N2 = (T2 − ν2 )/2. (13) Здесь T2 (x, z) интегрируема по x на [0, h] при любом z ∈ [0, +∞); f2 удовлетворяет условиям А; τ2 , ν2 обладают такими же свойствами, что и τ1 , ν1 . Для решения задачи I найдём функции T1 , T2 , N1 , N2 . Применив к решению (9) условие (2), с учётом условий ортогональности В получаем 0 y eα(t) dt 0 T1 (s, z)e2β(s)−β(t)−β(y) ds+ t y + y N1 (s, z)eα(s)+β(s)−β(y) ds = ϕ(y, z). dt 0 t Умножим обе части последнего выражения на eβ(y) и продифференцируем по y. Условию (3) подчиним решение (12), обе части полученного тождества умножим на eα(x) и, учитывая одинаковое изменение переменных x и y, после дифференцирования приходим к соотношениям x 0 x 0 T1 (t, z)e2β(t)−β(x)+α(x) dt + N2 (x, z)xeα(x)+β(x) = [ϕ(x, z)eβ(x) ]x , (14) T2 (t, z)e2α(t)−α(x)+β(x) dt + N2 (x, z)xeα(x)+β(x) = [eα(x) ψ(x, z)]x , (15) Из непрерывности решения на плоскости y = x и представлений (8), (11) получаем x x T2 (t, z)e2α(t)−2α(x) dt. T1 (t, z)e2β(t)−2β(x) dt = (16) 0 0 Из условий сопряжения (4), формул (10), (13) имеем 2α(x) T1 e2β(x)+T2 e = 2(N1 e2β(x) + N2 e2α(x) ). (17) Сложим выражения (14), (15) с учётом формулы (17), обозначим T (x, z) = = T1 e2β(x) + T2 e2α(x) и в итоге получим уравнение относительно T : T (x, z) + 2 x x T (t, z) dt = g(x, z), (18) 0 в котором g(x, z) = 2 β(x)−α(x) β(x) e (e ϕ(x, z))x + eα(x)−β(x) (eα(x) ψ(x, z))x . x (19) 215 Д о л г о п о л о в В. М., Р о д и о н о в а И. Н. Единственное решение уравнения (18), полученное методом последовательных приближений в классе интегрируемых по x на [0, h] при любом z ∈ [0, +∞) функций, имеет вид T1 (x, z)e2β(x) + T2 (x, z)e2α(x) = g(x, z) − x 2 x g(t, z) 0 2 t x (20) dt. Из равенств (17), (20) получаем N1 (x, z)e2β(x) + N2 (x, z)e2α(x) = x g(x, z) 1 − 2 x t x g(t, z) 0 2 dt. (21) Обе части соотношений (14), (15) умножим на e−β(x)−α(x) , вычтем из одного другое, применяя условие (16): N1 − N2 = e−α(x)−β(x) [ϕeβ(x) − ψeα(x) ]x . x (22) Из системы (21), (22) находим функции N1 , N2 : N1 (x, z) = 1 2 ch(α(x) − β(x))[ϕ(x, z)eβ(x) ]x − x(e2α(x) + e2β(x) ) x − g(t, z) 0 N2 (x, z) = t x 2 t x 2 dt , (23) 1 2 ch(α(x) − β(x))[ψ(x, z)eα(x) ]x − x(e2α(x) + e2β(x) ) x − g(t, z) 0 dt . (24) Вычислением получаем t x 2 g(t, z) t y 2 g(t, z) t x 2 g(t, z) x x [T1 (t, z)e2β(t) + T2 (t, z)e2α(t) ] dt = 0 0 dt. (25) dt, (26) dt. (27) Из системы (25), (16) находим y T2 (t, z)e2α(t) dt = 0 y T1 (t, z)e2β(t) dt = 0 e2α(y) e2α(y) + e2β(y) e2β(x) e2α(x) + e2β(x) y 0 x 0 Найденные выражения функций (23), (24), (26), (27), в которых функция g(t, z) определена формулой (19), подставляем в решения (9), (12). В результате получаем решение задачи I в явном виде. Единственность решения задачи следует из единственности решения задачи Дарбу, полученного методом Римана, и единственности решения интегрального уравнения (18), к которому свелась задача. Из изложенного выше следует следующая теорема. Теорема. При выполнении условий А и В задача I для уравнения (1) имеет единственное решение, определяемое формулами (9), (12), (23), (24), (26), (27), (19). Работа выполнена в рамках госзаказа ФГБОУ ВПО «СамГУ» 1.909.2011. 216 Две задачи для пространственного аналога гиперболического уравнения третьего порядка

About the authors

Vyacheslav M Dolgopolov

Samara State University

Email: mikhaildolgopolov@rambler.ru
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics

Irina N Rodionova

Samara State University

1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics

References

  1. Долгополов М. В., Родионова И. Н. Смешанная задача $V_2$ для одного пространственного аналога уравнения гиперболического типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.мат. науки, 2010. № 5(21). С. 252–257.
  2. Родионова И. Н. Задача с интегральным условием для одного пространственного уравнения гиперболического типа, вырождающегося на координатных плоскостях // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 2(23). С. 189–193.
  3. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я., Быстрова О. К., Захаров В. Н. Функции для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применение. Самара: Самарский университет, 1995. 75 с.

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 4

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies