On a method of analytical solution of wave equation describing the oscillations sistem with moving boundaries

Abstract


The method of analytical solution of wave equation with the conditions, assigned on the moving boundaries, is described. With the aid of the change of variables in the system of functional equations the original boundary-value problem is brought to the system of difference equations with one fixed bias, which can be solved using the Laplace integral transform. The expression for amplitude of oscillation corresponding to n-th dynamic mode is obtained for the first kind boundary conditions. This method makes it possible to examine the broader class of boundary conditions in comparison with other exact methods of solving the boundary-value problems with the moving boundaries.

Full Text

Одномерные системы с движущимися границами широко распространены в технике (канаты грузоподъемных установок [1], гибкие звенья передач [2] и т. д.). Наличие движущихся границ вызывает значительные затруднения при описании таких систем, поэтому здесь в основном используются приближенные методы решения [3, 4]. Из аналитических методов наиболее эффективным является метод, предложенный в [5], который заключается в подборе новых переменных, останавливающих границы и сохраняющих инвариантность уравнения. В [6] решение ищется в виде суперпозиции двух волн, бегущих навстречу друг другу. В результате этого автору удалось решить волновое уравнение с граничными условиями первого рода, заданными на одной движущейся и одной неподвижной границах. Эффективен также метод, используемый в [7] и заключающийся в замене геометрической переменной на чисто мнимую, что позволяет свести волновое уравнение к уравнению Лапласа и применить для решения методику теории функций комплексного переменного. Решения, полученные с помощью перечисленных методов, ограничены граничными условиями первого рода. К недостаткам методов относится также то, что в случае двух движущихся границ начальные условия, заданные при t = 0, не могут быть учтены. Перечисленных недостатков лишен развиваемый в данной статье метод решения таких задач, в котором сочетается методика, используемая в [5, 6]. Пусть движение системы описывается волновым уравнением Uτ τ (ξ, τ ) − Uξξ (ξ, τ ) = 0 (1) 145 А н и с и м о в В. Н., Л и т в и н о в В. Л., К о р п е н И. В. при граничных условиях первого рода U (l1 (τ ), τ ) = F1 (τ ), l1 (0) = 0; U (l2 (τ ), τ ) = F2 (τ ), l2 (0) = 1, l2 (τ ) > l1 (τ ) (2) и начальных условиях U (ξ,0) = Φ0 (ξ), (3) Uτ (ξ,0) = Φ1 (ξ). Здесь τ 0 — безразмерное время; ξ ∈ [0, 1] — безразмерная пространственная координата (l1 (τ ) ξ l2 (τ )); l1 (τ ), l2 (τ ) — законы движения границ; Φ0 (ξ), Φ1 (ξ), F1 (τ ), F2 (τ ) — заданные функции, допускающие разрывы первого рода. Для решения задачи используем представление Даламбера. Общее решение уравнения (1) имеет вид (4) U (ξ, τ ) = g(τ + ξ) + G(τ − ξ), где g(z) и G(z) — произвольные функции, которые необходимо определить из начальных и граничных условий, z — независимая переменная. Подставляя решение (4) в граничные (2) и начальные (3) условия, получим g(τ + l1 (τ )) + G(τ − l1 (τ )) = F1 (τ ), g(τ + l2 (τ )) + G(τ − l2 (τ )) = F2 (τ ); g(ξ) + G(−ξ) = Φ0 (ξ), 0 g (ξ) + G (−ξ) = Φ1 (ξ), 0 ξ ξ (5) 1, 1. (6) Из системы (6) найдём функции g(ξ) и G(ξ): ξ 1 Φ1 (ζ)dζ , 0 Φ0 (ξ) + 2 0 ξ 1 Φ1 (−ζ)dζ , −1 G(ξ) = Φ0 (−ξ) + 2 0 g(ξ) = ξ 1; (7) ξ 0. В отличие от метода А. И. Весницкого [5], где в дифференциальное уравнение вводятся новые переменные, останавливающие границы и сохраняющие инвариантность уравнения, для упрощения задачи введём в систему (5) новые функции g(z) = r(ϕ(z)); G(z) = R(ψ(z)). (8) Тогда система уравнений (5) примет вид r(ϕ(τ + l1 (τ ))) + R(ψ(τ − l1 (τ ))) = F1 (τ ); r(ϕ(τ + l2 (τ ))) + R(ψ(τ − l2 (τ ))) = F2 (τ ). Введём обозначения в первом уравнении системы (9): ϕ(τ + l1 (τ )) = z; 146 ψ(τ − l1 (τ )) = z, (9) Об одном методе получения аналитического решения волнового уравнения . . . а во втором уравнении этой системы — ϕ(τ + l2 (τ )) = z; ψ(τ − l2 (τ )) = z − 1. Другими словами, если функции ϕ(z) и ψ(z) удовлетворяют системе ϕ(τ + l1 (τ )) = ψ(τ − l1 (τ )); ϕ(τ + l2 (τ )) = ψ(τ − l2 (τ )) + 1, (10) то система (5) принимает вид r(z) + R(z) = θ1 (z); r(z) + R(z − 1) = θ2 (z), (11) ¯ ¯ где θ1 (z) = F1 (0,5ϕ(z) + 0,5ψ(z)); θ2 (z) = F2 (0,5ϕ(z) + 0,5ψ(z − 1)). Здесь ϕ(z), ¯ ¯ ¯ ¯ — функции, обратные к ϕ(z) и ψ(z). ψ(z) Заметим, что из системы (10) функции ϕ(z) и ψ(z) определяются с точностью до константы в том смысле, что если ϕ(z) и ψ(z) — решение системы (10), то ϕ(z) + C и ψ(z) + C также являются решением (здесь C — произвольная постоянная). Поэтому для определённости можно выбрать такую функцию ψ(z), что ψ(−1) = −1. При этом из второго уравнения системы (10) при τ = 0 следует, что ϕ(1) = 0. Из первого уравнения системы (10) при τ = 0 получим ϕ(0) = ψ(0). С учётом замены (8) начальные условия (6) примут вид r(z) = g(ϕ(z)), ¯ ϕ(0) ¯ R(z) = G(ψ(z)), −1 z z 0; ψ(0), (12) где функции g(z) и G(z) определяются выражениями (7). Таким образом, начальная задача (1)–(3) сведена к системе разностных уравнений (11) с одним постоянным смещением при начальных условиях (12). Из первого уравнения системы (11) получим (13) R(z) = θ1 (z) − r(z). После подстановки (13) во второе уравнение (11) будем иметь (14) r(z) − r(z − 1) = θ(z), где θ(z) = θ2 (z) − θ1 (z − 1). Для решения задачи (14), (12) применим интегральное преобразование Лапласа: r(p) = ¯ ¯ θ(p) + e−p 1 − e−p 0 −1 r(z)e−pz dz , (1 − e−p ) ¯ где θ(p) — изображение функции θ(z). Оригинал данного изображения имеет вид 2πni(z−ζ) e θ(ζ) r(z) = 0 ∞ ∞ z n=−∞ e2πniz dζ + n=−∞ 0 r(ζ)e−2πniζ dζ. −1 147 А н и с и м о в В. Н., Л и т в и н о в В. Л., К о р п е н И. В. Объединяя члены при положительных и отрицательных n, получим ∞ z z θ(ζ)dζ + 2 r(z) = 0 θ(ζ) cos[2πn(z − ζ)]dζ+ n=1 0 ∞ 0 0 r(ζ) cos[2πn(z − ζ)]dζ. (15) r(ζ)dζ + 2 + −1 n=1 −1 Рассмотрим свободные колебания системы (θ(z) = 0). В этом случае из (4) с учётом (8), (13) и (15) следует, что ∞ ∗ Vn (ξ, τ ), U (ξ, τ ) = (16) n=1 где ∗ Vn (ξ, τ ) = sin{πn[ϕ(τ + ξ) − ψ(τ − ξ)]}× ∗ × (A∗ cos{πn[ϕ(τ + ξ) + ψ(τ − ξ)]} − Bn sin{πn[ϕ(τ + ξ) + ψ(τ − ξ)]}) ; (17) n 0 0 A∗ = 4 n r(ζ) sin(2πnζ)dζ; ∗ Bn = 4 −1 r(ζ) cos(2πnζ)dζ. −1 ∗ Функцию Vn (ξ, τ ) будем называть n-ным собственным колебанием системы, а функцию ω(ξ, τ ) = (∂/∂τ ){πn[ϕ(τ + ξ) + ψ(τ − ξ)]} — мгновенной собственной частотой n-ного собственного колебания. Функция sin {πn[ϕ(τ +ξ) − ψ(τ −ξ)]} характеризует форму колебаний, и её принято называть n-ной динамической модой системы. Рассмотрим теперь вынужденные колебания системы. При нулевых начальных условиях из (4) с учётом (8), (13) и (15) получим ∞ (18) Vn (ξ, τ ) + D(ξ, τ ), U (ξ, τ ) = n=1 где Vn (ξ, τ ) = 4 sin{πn[ϕ(τ + ξ) − ψ(τ − ξ)]}× ψ(τ −ξ) θ(ζ) sin(2πnζ)dζ− × (cos{πn[ϕ(τ + ξ) + ψ(τ − ξ)]} 0 ψ(τ −ξ) θ(ζ) cos(2πnζ)dζ; (19) − 4 sin{πn[ϕ(τ + ξ) + ψ(τ − ξ)]} 0 ϕ(τ +ξ) θ(ζ)dζ + θ1 (ψ(τ − ξ))+ D(ξ, τ ) = ψ(τ −ξ) ∞ ϕ(τ +ξ) θ(ζ) cos{2πn[ϕ(τ + ξ) − ζ]}dζ. (20) +2 n=1 148 ψ(τ −ξ) Об одном методе получения аналитического решения волнового уравнения . . . Выражение (20) представляет собой ряд Фурье для функции D(ξ, τ ) = θ1 (ψ(τ − ξ)), θ(ϕ(τ + ξ)) + θ1 (ψ(τ − ξ)), ξ = l1 (τ ); l1 (τ ) < ξ < l2 (τ ). При решении задач на резонансные свойства рассматриваются, главным образом, резонансные явления в механических объектах с движущимися границами, когда амплитуда колебаний во много раз превосходит амплитуду возмущающего воздействия. Поэтому в равенстве (18) функцией D(ξ, τ ) можно пренебречь как функцией одного порядка малости с функциями F1 (τ ) и F2 (τ ), характеризующими возмущающие воздействия. Сравнивая выражения (16) и (18), (17) и (19), нетрудно заметить, что вынужденные колебания представляют собой суперпозицию собственных колебаний с изменяющимися во времени амплитудами: ψ(τ −ξ) ψ(τ −ξ) θ(ζ) sin(2πnζ)dζ; An = 4 θ(ζ) cos(2πnζ)dζ. Bn = 4 (21) 0 0 Заметим, что из всех видов внешних воздействий наиболее распространенными являются гармонические нагрузки. Ограничимся рассмотрением случая, когда θ(z) = B cos W (z), где функция W (z) класса C 1 , а B — константа, характеризующая интенсивность нагрузки. В этом случае равенства (21) можно переписать следующим образом: ψ(τ −ξ) ψ(τ −ξ) sin Φn2 (ζ)dζ , sin Φn1 (ζ)dζ + An = 2B 0 0 ψ(τ −ξ) ψ(τ −ξ) cos Φn2 (ζ)dζ , cos Φn1 (ζ)dζ + Bn = 2B 0 0 где Φn1 (ζ) = 2πnζ − W (ζ); Φn2 (ζ) = 2πnζ + W (ζ). Так как функции 2πnζ и W (ζ) монотонно возрастают, фаза Φn2 (ζ) быстро изменяется, что приводит к осциллированию с небольшой амплитудой соответствующих интегралов. Фаза же Φn1 (ζ) может изменяться очень медленно. При этом наблюдается резонансное явление, которое характеризуется ростом интегралов, содержащих фазу Φn1 (ζ). Из изложенного следует, что при возникновении резонанса рост амплитуды связан с возрастанием интегралов с фазой Φn1 (ζ), интегралами же с фазой Φn2 (ζ) можно пренебречь. Тогда пол2 ная амплитуда, определяемая по формуле A2 (τ ) = A2 +Bn , в точке ξ = ξ0 (τ ), n n соответствующей максимальному размаху колебаний, будет иметь вид   2 2  b(τ ) b(τ ) sin Φn (ζ)dζ A2 (τ ) = 4B 2 cos Φn (ζ)dζ + , n   0 0 где b(τ ) = ψ(τ − ξ0 (τ )), Φn (ζ) = 2πnζ − W (ζ). 149 А н и с и м о в В. Н., Л и т в и н о в В. Л., К о р п е н И. В. Возможность решения задачи (1)–(3) зависит от степени сложности граничных условий, а также возможности решения системы (10). Для решения таких систем в [5] использован обратный метод: по заданным ϕ(z) и ψ(z) из получающейся системы уравнений находятся законы движения границ l1 (τ ) и l2 (τ ). При задании функций ϕ(z) и ψ(z) в них вводится несколько произвольных постоянных. Зависимость найденных законов движения l1 (τ ) и l2 (τ ) от величин этих констант позволяет аппроксимировать достаточно разнообразные законы движения границ законами, полученными из решения обратной задачи. Совокупность обратных решений достаточно широка [8]. Для примера приведём два таких решения: 1) для функций ϕ(z) = B(e−αz − 1) − C(e−α − 1) − 1, B = C + (e−α − 1)−1 ; ψ(z) = C(eαz − 1) − C(e−α − 1) − 1 из системы (10) находятся следующие законы движения границ: l1 (τ ) = α−1 ln[(Be−ατ − Ceατ )/(B − C)]; l2 (τ ) = 1 + l1 (τ ); здесь α, B, C, v — постоянные величины; 2) для функций ϕ(z) = ψ(z) = Ln[(vz + 1)/(1 − v)] −1 Ln[(1 + v)/(1 − v)] находятся следующие законы движения границ: l1 (τ )=0; l2 (τ )=vτ +1. Первое из решений может быть использовано при изучении колебаний гибких звеньев передач [2]. Второе — при изучении колебаний канатов грузоподъемных установок при равномерном подъёме (спуске). В заключение отметим, что приведённая в настоящей работе методика позволяет получить выражение для амплитуды колебаний, соответствующих n-ной динамической моде в случае граничных условий первого рода. Кроме того, описанный выше метод позволяет также рассмотреть следующий класс краевых условий [8]: Uτ (l1 (τ ), τ ) = F1 (τ ), Uξ (l2 (τ ), τ ) = F2 (τ ); U (l1 (τ ), τ ) = F1 (τ ), Uξ (l2 (τ ), τ ) = F2 (τ ); U (l1 (τ ), τ ) = F1 (τ ), Uτ (l2 (τ ), τ ) = F2 (τ ). (22) Насколько известно, решения волнового уравнения при граничных условиях (22) другими известными аналитическими методами получить крайне сложно.

About the authors

Valeriy N Anisimov

Syzran' Branch of Samara State Technical University

Email: anisimov170159@mail.ru
45, Sovetskaya str., Syzran', Samara region, 446001, Russia
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of General Theoretical Disciplines

Vladislav L Litvinov

Syzran' Branch of Samara State Technical University

Email: vladlitvinov@rambler.ru
45, Sovetskaya str., Syzran', Samara region, 446001, Russia
Teacher, Dept. of General-Theoretical Disciplines

Inna V Korpen

Syzran' Branch of Samara State Technical University

45, Sovetskaya str., Syzran', Samara region, 446001, Russia
(Ph. D. (Educat.)), Associate Professor, Dept. of General-Theoretical Disciplines

References

  1. Савин Г. Н., Горошко О. А. Динамика нити переменной длины: Киев, 1962. 332 с.
  2. Самарин Ю. П., Анисимов В. Н. Вынужденные поперечные колебания гибкого звена при разгоне // Изв. вузов. Машиностроение, 1986. № 12. С. 17–21.
  3. Анисимов В. Н., Литвинов В. Л. Исследование резонансных свойств механических объектов с движущимися границами при помощи метода Канторовича–Галёркина // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 1(18). С. 149–158.
  4. Горошко О. А., Савин Г. Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев: Наукова думка, 1971. 270 с.
  5. Весницкий А. И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Физматлит, 2001. 320 с.
  6. Весницкий А. И. Обратная задача для одномерного резонатора изменяющего во времени свои размеры // Изв. вузов. Радиофизика, 1971. Т. 14, № 10. С. 1538–1542.
  7. Барсуков К. А., Григорян Г. А. К теории волновода с подвижными границами // Изв.вузов. Радиофизика, 1976. № 2. С. 280–285.
  8. Анисимов В. Н., Литвинов В. Л. Резонансные свойства механических объектов с движущимися границами. Самара: СамГТУ, 2009. 131 с.

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 6

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies