Accretion of dark energy onto black holes

Full Text

В последние годы в космологии была принята концепция тёмной энергии. Представляет интерес взаимодействие тёмной энергии с различными объектами, в частности, физика аккреции тёмной энергии на чёрные дыры (ЧД). Тёмная энергия чаще всего моделируется идеальной жидкостью с отрицательным давлением или скалярными полями. История исследований аккреции идеальной жидкости на компактный объект начинается с классической работы Бонди [1], а релятивистское обобщение было выполнено Майклом [2] (см. также в работе [3] дополнение к решению Майкла). Аккреция идеальной жидкости с малой плотностью (пробная жидкость без обратного влияния) на ЧД Шварцшильда была нами исследована в работах [4, 5]. Из законов сохранения uµ T µν;ν = 0 и T 0ν = 0 в метрике Шварц;ν шильда получаем интегралы движения ux2 n = −A, n∞ (ρ + p)(f + u2 )1/2 x2 u = C1 , где n ≡ exp n∞ ρ ρ∞ dρ , ρ + p(ρ ) скорость u = dr/ds < 0 в случае потока к центру (аккреция), A > 0 и C1 — постоянные интегрирования. ˙ Из этих соотношений получаем закон изменения массы M = −4πr 2 T0r 223 Е. О. Б а б и ч е в, В. И. Д о к у ч а е в, Ю. Н. Е р о ш е н к о аккрецирующей ЧД: ˙ M = 4πAM 2 [ρ∞ + p(ρ∞ )], где величины плотности и давления взяты на бесконечности, а константа A может быть вычислена для жидкостей с ∂p/∂ρ > 0 путём нахождения критической точки. Согласно этому решению при аккреции фантомной энергии с ρ∞ + p(ρ∞ ) < 0 масса ЧД уменьшается. Массы всех чёрных дыр стремятся к нулю во Вселенной, заполненной фантомной энергией и приближающейся к Большому разрыву (Big Rip). Подобное уменьшение масс чёрных дыр обусловлено нарушением для фантомной энергии условия энергодоминантности, которое лежит в основе теорем о неуменьшении площади поверхности классических чёрных дыр. Для обобщённого линейного уравнения состояния (1) p = α(ρ − ρ0 ), где α и ρ0 — параметры, можно выписать ряд аналитических решений, когда α = 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 1, 3/2 и 2, описывающих распределение по радиусу и скорость аккрецируемой жидкости [4, 5]. Любая гладкая кривая в локальной окрестности p = p(ρ) своей точки может быть заменена на линейную зависимость (1). Используя (1), можно найти безразмерную константу A: (1 + 3α)(1+3α)/2α . 4α3/2 Легко видеть, что A 4 при 0 < α < 1. Для α = 1 имеем A = 4. Отсюда можно сделать вывод, что для типичных скоростей звука константа A имеет величину порядка единицы. В случае, например, α = 1/3 получаем аналитически распределение плотности аккрецируемой жидкости: A= ρ= ρ0 ρ0 + ρ∞ − 4 4 где x = r/M , z= и a= z+ 1 3(1 − 2x−1 ) 2 a/3 cos (2 π/3 − β/3) , 2 x x > 3, 2 a/3 cos (β/3) , b β = arccos 2 (a/3)3/2 1 , 3(1 − 2/x)2 b= 2 , 3, 2 108 3 − (1 − 2/x) x4 . 27(1 − 2/x) Это решение соответствует термализованному фотонному газу, который может рассматриваться как идеальная жидкость. Расчёты аккреции пробной идеальной жидкости допускают обобщения на случаи вращающейся, движущейся и заряженной ЧД. Поскольку приближение пробной жидкости нарушается при стремлении заряженной ЧД Рейснера—Нордстрема к экстремальному состоянию, необходимо выйти за пределы этого приближения, чтобы учесть обратное влияние вещества на метрику. 224 Аккреция темной энергии на черные дыры Учёт обратного влияния обсуждался в [6]. Возможно, что в рамках данного подхода в будущем можно будет ответить на вопрос, может ли ЧД перейти через критическое состояние и превратиться в голую сингулярность при аккреции фантомной энергии. Мы используем следующий метод последовательных приближений для решения уравнений Эйнштейна Gµν [gµν ] = 8πTµν [gµν , φ]. В (0) нулевом приближении имеем вакуумное решение Gµν gµν = 0. В вакуумной метрике можно исследовать движение пробной жидкости без обратного влияния. В первом приближении в правой части уравнений используется метрика из нулевого приближения (0) (0) (1) Gµν gµν + gµν = 8πTµν gµν , φ(0) . (1) (0) Предполагая, что gµν малы по сравнению с gµν , можно линеаризовать уравнения и найти первые поправки к метрике. Для метрики ds2 = eν(V,r)+2λ(V,r) dV 2 − 2eλ(V,r) dV dr − r 2 dΩ независимые уравнения Эйнштейна имеют вид 1 ν 1 + + 2, 2 r r r eν 1 ˙ 8πT0 = ν, r 2 e−λ , 8πT1 0 = r ν 2λ ν 1 1 + e , + 2− = −eν r2 r r r 8πT0 0 = −eν 8πT1 1 (2) (3) (4) (5) где точка обозначает ∂/∂V , а штрих — ∂/∂r. Обозначим eν(V,r) ≡1−2M (V, r)/r. В нулевом приближении M (V, r) = M0 = const. Согласно общей схеме последовательных приближений левые части уравнений (2)–(5) содержат компоненты тензора энергии-импульса в нулевом приближении, т. е. в пренебрежении обратным влиянием. Из выписанной систе˙ мы уравнений получаем M = 4πT0 0 r 2 , M = A, где A ≡ −4πT0 1 r 2 = const. В этом приближении компоненты тензора энергии-импульса не зависят от времени. Интегрируя и переопределяя переменные, находим поправки r M (V, r) = M0 + AV + 4π r0 T0 0 (r)r 2 dr, r λ(r) = −4π r0 T1 0 rdr, где r0 — радиус горизонта в нулевом приближении. Из подобных выражений, обобщённых на случай ненулевого заряда ЧД Q, можно получить, в частности, смещенный радиус горизонта rh ≈ M0 + AV + 2 M0 − Q2 + 2M0 AV . Для идеальной жидкости 2 M (V, r) ≈ M0 + AV + 2πr0 (ρ − p) (r − r0 ) , λ(r) ≈ πr0 ρ+p (r − r0 ) . u2 (6) 225 Е. О. Б а б и ч е в, В. И. Д о к у ч а е в, Ю. Н. Е р о ш е н к о Поток энергии на ЧД T0 1 = −(ρ + p)u f0 + u2 . Таким образом, как видно из (6), в случае аккреции фантомной жидкости с ρ + p < 0 учёт обратного влияния не изменяет вывод об уменьшении массы ЧД, полученный в [4] в нулевом приближении. Рассмотрим теперь аккрецию скалярного поля и найдем поправки к метрике. Граничное условие на бесконечности следует из характера космологической эволюции поля. В случае стандартного кинетического члена (в гидродинамическом описании он соответствует идеальной жидкости с ультражёстким уравнением состояния) действие имеет вид Scan = √ 1 d4 x −g ∂µ φ∂ µ φ . 2 Решая уравнение Клейна—Гордона φ = 0 в метрике ЧД Шварцшильда, получаем стационарное несингулярное решение r . r0 Поскольку для канонического скалярного поля тензор энергии-импульса имеет вид 1 Tµν = ∂µ φ∂ν φ − (∂φ)2 gµν , 2 можно рассчитать компоненты решения ˙ φ = φc V − r − r0 log T0 0 = ˙ φ2 r2 c 1− 0 2 r2 1+ r0 , r ˙ T1 0 = −φ2 1 + c r0 r 2 ˙ 2 и A = 4π φ2 r0 . Поправки к метрике даются соответствующими выражениями c ˙ для идеальной жидкости после идентификации φ2 → 2ρ∞ . c Рассмотрим теперь поправки к метрике в случае аккреции галилеона с действием √ Sgal = − d4 x −g (∂µ φ∂ µ φ) φ. Тензор энергии-импульса gal Tµν = −2φ,µ φ,ν φ + 2φ,(µ ν) (∂φ) 2 − gµν φ,α α (∂φ) 2 . Решение в случае стационарной сферически-симметричной аккреции r +1 r0 √ √ ˙ φ = φc V − r + 2 r0 r − 2 r0 log . Отсюда 0 ˙ T0 = φ2 c 3 √ , x (1 + x) 0 ˙ T1 = −φ2 √ c 3 x (1 + √ x) Таким образом, поправки к метрике имеют вид 226 2, ˙ 2 A = 12π φ2 r0 . c Аккреция темной энергии на черные дыры ˙ 2 M = M0 + 12π φ2 r0 V + c √ √ 2 3 ˙ + 4π φc r0 6 x − 1 − 3 (x − 1) + 2 x3/2 − 1 − 6 log x + 1 ˙ 2 λ = 12π φ2 r0 − c , √ √ 2 √ + 2 x − 4 log(1 + x) − 1 + 4 log 2 . 1+ x

About the authors

Eugeny O Babichev

Laboratoire de Physique Theorique d’Orsay, Université Paris-Sud 11

Email: eugeny.babichev@th.u-psud.fr
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Researcher 210, Bâtiment, Orsay Cedex, F-91405, France

Viacheslav I Dokuchaev

Institute for Nuclear Research, Russian Academy of Sciences

Email: dokuchaev@lngs.infn.it
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Leading Researcher 7a, 60th October Anniversary Prospect, Moscow, 117312, Russia

Yury N Eroshenko

Institute for Nuclear Research, Russian Academy of Sciences

Email: eroshenko@inr.ac.ru
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Researcher 7a, 60th October Anniversary Prospect, Moscow, 117312, Russia

References

Supplementary files