Accretion of dark energy onto black holes

Abstract


The stationary accretion of dark energy onto black holes is studied. General expressions are derived for the accretion rate of an ideal fluid with an arbitrary equation of state and for scalar fields. The black hole mass was found to decrease for the accretion of phantom energy with p + ρ < 0. We also study the back reaction of accreting matter onto the metrics of a black hole in a perturbative way. The general expressions for corrections to the metric coefficients are found.

Full Text

В последние годы в космологии была принята концепция тёмной энергии. Представляет интерес взаимодействие тёмной энергии с различными объектами, в частности, физика аккреции тёмной энергии на чёрные дыры (ЧД). Тёмная энергия чаще всего моделируется идеальной жидкостью с отрицательным давлением или скалярными полями. История исследований аккреции идеальной жидкости на компактный объект начинается с классической работы Бонди [1], а релятивистское обобщение было выполнено Майклом [2] (см. также в работе [3] дополнение к решению Майкла). Аккреция идеальной жидкости с малой плотностью (пробная жидкость без обратного влияния) на ЧД Шварцшильда была нами исследована в работах [4, 5]. Из законов сохранения uµ T µν;ν = 0 и T 0ν = 0 в метрике Шварц;ν шильда получаем интегралы движения ux2 n = −A, n∞ (ρ + p)(f + u2 )1/2 x2 u = C1 , где n ≡ exp n∞ ρ ρ∞ dρ , ρ + p(ρ ) скорость u = dr/ds < 0 в случае потока к центру (аккреция), A > 0 и C1 — постоянные интегрирования. ˙ Из этих соотношений получаем закон изменения массы M = −4πr 2 T0r 223 Е. О. Б а б и ч е в, В. И. Д о к у ч а е в, Ю. Н. Е р о ш е н к о аккрецирующей ЧД: ˙ M = 4πAM 2 [ρ∞ + p(ρ∞ )], где величины плотности и давления взяты на бесконечности, а константа A может быть вычислена для жидкостей с ∂p/∂ρ > 0 путём нахождения критической точки. Согласно этому решению при аккреции фантомной энергии с ρ∞ + p(ρ∞ ) < 0 масса ЧД уменьшается. Массы всех чёрных дыр стремятся к нулю во Вселенной, заполненной фантомной энергией и приближающейся к Большому разрыву (Big Rip). Подобное уменьшение масс чёрных дыр обусловлено нарушением для фантомной энергии условия энергодоминантности, которое лежит в основе теорем о неуменьшении площади поверхности классических чёрных дыр. Для обобщённого линейного уравнения состояния (1) p = α(ρ − ρ0 ), где α и ρ0 — параметры, можно выписать ряд аналитических решений, когда α = 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 1, 3/2 и 2, описывающих распределение по радиусу и скорость аккрецируемой жидкости [4, 5]. Любая гладкая кривая в локальной окрестности p = p(ρ) своей точки может быть заменена на линейную зависимость (1). Используя (1), можно найти безразмерную константу A: (1 + 3α)(1+3α)/2α . 4α3/2 Легко видеть, что A 4 при 0 < α < 1. Для α = 1 имеем A = 4. Отсюда можно сделать вывод, что для типичных скоростей звука константа A имеет величину порядка единицы. В случае, например, α = 1/3 получаем аналитически распределение плотности аккрецируемой жидкости: A= ρ= ρ0 ρ0 + ρ∞ − 4 4 где x = r/M , z= и a= z+ 1 3(1 − 2x−1 ) 2 a/3 cos (2 π/3 − β/3) , 2 x x > 3, 2 a/3 cos (β/3) , b β = arccos 2 (a/3)3/2 1 , 3(1 − 2/x)2 b= 2 , 3, 2 108 3 − (1 − 2/x) x4 . 27(1 − 2/x) Это решение соответствует термализованному фотонному газу, который может рассматриваться как идеальная жидкость. Расчёты аккреции пробной идеальной жидкости допускают обобщения на случаи вращающейся, движущейся и заряженной ЧД. Поскольку приближение пробной жидкости нарушается при стремлении заряженной ЧД Рейснера—Нордстрема к экстремальному состоянию, необходимо выйти за пределы этого приближения, чтобы учесть обратное влияние вещества на метрику. 224 Аккреция темной энергии на черные дыры Учёт обратного влияния обсуждался в [6]. Возможно, что в рамках данного подхода в будущем можно будет ответить на вопрос, может ли ЧД перейти через критическое состояние и превратиться в голую сингулярность при аккреции фантомной энергии. Мы используем следующий метод последовательных приближений для решения уравнений Эйнштейна Gµν [gµν ] = 8πTµν [gµν , φ]. В (0) нулевом приближении имеем вакуумное решение Gµν gµν = 0. В вакуумной метрике можно исследовать движение пробной жидкости без обратного влияния. В первом приближении в правой части уравнений используется метрика из нулевого приближения (0) (0) (1) Gµν gµν + gµν = 8πTµν gµν , φ(0) . (1) (0) Предполагая, что gµν малы по сравнению с gµν , можно линеаризовать уравнения и найти первые поправки к метрике. Для метрики ds2 = eν(V,r)+2λ(V,r) dV 2 − 2eλ(V,r) dV dr − r 2 dΩ независимые уравнения Эйнштейна имеют вид 1 ν 1 + + 2, 2 r r r eν 1 ˙ 8πT0 = ν, r 2 e−λ , 8πT1 0 = r ν 2λ ν 1 1 + e , + 2− = −eν r2 r r r 8πT0 0 = −eν 8πT1 1 (2) (3) (4) (5) где точка обозначает ∂/∂V , а штрих — ∂/∂r. Обозначим eν(V,r) ≡1−2M (V, r)/r. В нулевом приближении M (V, r) = M0 = const. Согласно общей схеме последовательных приближений левые части уравнений (2)–(5) содержат компоненты тензора энергии-импульса в нулевом приближении, т. е. в пренебрежении обратным влиянием. Из выписанной систе˙ мы уравнений получаем M = 4πT0 0 r 2 , M = A, где A ≡ −4πT0 1 r 2 = const. В этом приближении компоненты тензора энергии-импульса не зависят от времени. Интегрируя и переопределяя переменные, находим поправки r M (V, r) = M0 + AV + 4π r0 T0 0 (r)r 2 dr, r λ(r) = −4π r0 T1 0 rdr, где r0 — радиус горизонта в нулевом приближении. Из подобных выражений, обобщённых на случай ненулевого заряда ЧД Q, можно получить, в частности, смещенный радиус горизонта rh ≈ M0 + AV + 2 M0 − Q2 + 2M0 AV . Для идеальной жидкости 2 M (V, r) ≈ M0 + AV + 2πr0 (ρ − p) (r − r0 ) , λ(r) ≈ πr0 ρ+p (r − r0 ) . u2 (6) 225 Е. О. Б а б и ч е в, В. И. Д о к у ч а е в, Ю. Н. Е р о ш е н к о Поток энергии на ЧД T0 1 = −(ρ + p)u f0 + u2 . Таким образом, как видно из (6), в случае аккреции фантомной жидкости с ρ + p < 0 учёт обратного влияния не изменяет вывод об уменьшении массы ЧД, полученный в [4] в нулевом приближении. Рассмотрим теперь аккрецию скалярного поля и найдем поправки к метрике. Граничное условие на бесконечности следует из характера космологической эволюции поля. В случае стандартного кинетического члена (в гидродинамическом описании он соответствует идеальной жидкости с ультражёстким уравнением состояния) действие имеет вид Scan = √ 1 d4 x −g ∂µ φ∂ µ φ . 2 Решая уравнение Клейна—Гордона φ = 0 в метрике ЧД Шварцшильда, получаем стационарное несингулярное решение r . r0 Поскольку для канонического скалярного поля тензор энергии-импульса имеет вид 1 Tµν = ∂µ φ∂ν φ − (∂φ)2 gµν , 2 можно рассчитать компоненты решения ˙ φ = φc V − r − r0 log T0 0 = ˙ φ2 r2 c 1− 0 2 r2 1+ r0 , r ˙ T1 0 = −φ2 1 + c r0 r 2 ˙ 2 и A = 4π φ2 r0 . Поправки к метрике даются соответствующими выражениями c ˙ для идеальной жидкости после идентификации φ2 → 2ρ∞ . c Рассмотрим теперь поправки к метрике в случае аккреции галилеона с действием √ Sgal = − d4 x −g (∂µ φ∂ µ φ) φ. Тензор энергии-импульса gal Tµν = −2φ,µ φ,ν φ + 2φ,(µ ν) (∂φ) 2 − gµν φ,α α (∂φ) 2 . Решение в случае стационарной сферически-симметричной аккреции r +1 r0 √ √ ˙ φ = φc V − r + 2 r0 r − 2 r0 log . Отсюда 0 ˙ T0 = φ2 c 3 √ , x (1 + x) 0 ˙ T1 = −φ2 √ c 3 x (1 + √ x) Таким образом, поправки к метрике имеют вид 226 2, ˙ 2 A = 12π φ2 r0 . c Аккреция темной энергии на черные дыры ˙ 2 M = M0 + 12π φ2 r0 V + c √ √ 2 3 ˙ + 4π φc r0 6 x − 1 − 3 (x − 1) + 2 x3/2 − 1 − 6 log x + 1 ˙ 2 λ = 12π φ2 r0 − c , √ √ 2 √ + 2 x − 4 log(1 + x) − 1 + 4 log 2 . 1+ x

About the authors

Eugeny O Babichev

Laboratoire de Physique Theorique d’Orsay, Université Paris-Sud 11

Email: eugeny.babichev@th.u-psud.fr
210, Bâtiment, Orsay Cedex, F-91405, France
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Researcher

Viacheslav I Dokuchaev

Institute for Nuclear Research, Russian Academy of Sciences

Email: dokuchaev@lngs.infn.it
7a, 60th October Anniversary Prospect, Moscow, 117312, Russia
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Leading Researcher

Yury N Eroshenko

Institute for Nuclear Research, Russian Academy of Sciences

Email: eroshenko@inr.ac.ru
7a, 60th October Anniversary Prospect, Moscow, 117312, Russia
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Researcher

References

  1. Bondi H. On spherically symmetrical accretion // Monthly Not. Roy. Astr. Soc., 1952. Vol. 112. Pp. 195–204.
  2. F. Curtis Michel Accretion of Matter by Condensed Objects // Astrophys. Space Sci., 1972. Vol. 15, no. 1. Pp. 153–160.
  3. Petrich L. I., Shapiro S. L., Teukolsky S. A. Accretion onto a moving black hole: an exact solution // Phys. Rev. Lett., 1988. Vol. 60, no. 18. Pp. 1781–1784.
  4. Babichev E., Dokuchaev V., Eroshenko Yu. Black Hole Mass Decreasing due to Phantom Energy Accretion // Phys. Rev. Lett., 2004. Vol. 93, no. 2, 021102. 4 pp.
  5. Бабичев Е. О., Докучаев В. И., Ерошенко Ю. Н. Аккреция темной энергии на черную дыру // ЖЭТФ, 2005. Т. 127, № 3. С. 597–609.
  6. Babichev E., Dokuchaev V., Eroshenko Yu. Backreaction of accreting matter onto a black hole in the Eddington–Finkelstein coordinates // Class. Quantum Grav., 2012. Vol. 29, no. 11, 115002, arXiv: 1202.2836 [gr-qc].

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 5

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies