On a proplem for generalized Boussinesq–Love equation

Abstract


For a fourth-order equation with two independent variables a variant of the Goursat problem with data on two intersecting characteristics is considered. It includes not only the construction of the desired function, but also the coefficients of the equation. Thus, we are talking about the inverse problem of determining the coefficients of the equation. The method of construction of conditions providing allocation of infinite number of sets of this type equations is offered, for which the problem under consideration is solvable in quadratures. Instead of introducing additional boundary conditions, restrictions on the structure of the equation are proposed, related to the possibilities of its factorization.

Full Text

Указанное в названии сообщения уравнение Буссинеска--Лява имеет вид [1, формула (20)] \begin{equation*} u_{xxyy}-u_{yy}+u_{xx}=0. \end{equation*} Оно возникает при изучении движения волн в периодических слоистых средах [2], а также в упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции. Нашей целью является отыскание условий разрешимости в квадратурах задачи Гурса для уравнения \begin{equation}\label{zheg:1} u_{xxyy}+a_{21}u_{xx}y+a_{12}u_{xyy}+a_{11}u_{xy}+a_{20}u_{xx}+a_{02}u_{yy}+a_{10}u_{x}+a_{01}u_{y}+a_{00}u=0, \end{equation} которое рассматривается в области $D=\{x_0<x<x_1,\, y_0<y<y_1 \}$. Граничные условия для \eqref{zheg:1} имеют при этом вид \begin{equation}\label{zheg:2} \begin{array}{ll} %\begin{array}{c} u(x_0,y)=\varphi(y), & u_{x}(x_0,y)=\varphi_{1}(y), u(x,y_0)=\psi(x), & u_{y}(x,y_0)=\psi_{1}(x), \varphi'(y_0)=\psi_1(x_0), & \varphi(y_0)=\psi(x_0), \multicolumn{2}{c}{\psi'(x_0)=\varphi_1(y_0),} \end{array} \end{equation} при чем коэффициенты в \eqref{zheg:1} считаются неизвестными и вместе с $u(x,y)$ тоже подлежат определению. С различных точек зрения уравнение \eqref{zheg:1} изучалось в работах Д.~Манжерона, М.~Огюсторели, С.~Еасварана, В.~Радочовы, Р.~С.~Жамалова, А.~П.~Солдатова и М.~Х.~Шханукова, Е.~А.~Уткиной (см. библиографию в книгах [3, 4]), а также в работах [5, 6]. В частности, в указанной монографии [3, с. 139–142] методом Римана построено решение задачи \eqref{zheg:1}--\eqref{zheg:2}, но оно представляет собой лишь структурную формулу, поскольку используемая там функция Римана только существует, а конкретный вид ее неизвестен. \smallskip В данном сообщении изучается следующая {\small\sc Задача.} {\it Определить коэффициенты уравнения} \eqref{zheg:1}, {\it при которых его решение в области $D,$ удовлетворяющее граничным условиям} \eqref{zheg:2}, {\it оказывается разрешимым в квадратурах}. \smallskip Имеется значительное количество работ, посвященных обратным коэффициентным задачам (см., например, работы [7–12] и литературу при них). Хорошо известен подход к определению в уравнении неизвестных коэффициентов, основанный на введении дополнительных граничных условий. Предлагаемый здесь подход к отысканию решения этой задачи основан на ограничениях, связанных с возможностями факторизации \eqref{zheg:1}, то есть представлением этого уравнения либо в виде \begin{equation}\label{zheg:3} \Bigl(\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}+\alpha \frac{\partial}{\partial x}+\beta \frac{\partial}{\partial y}+\gamma\Bigr)(u_{xy}+\lambda u_{x}+\mu u_{y}+\nu u)=0. \end{equation} либо в форме, получаемой из \eqref{zheg:3} путем подстановки операторов (второй оператор ставится на первое место, а первый --- на второе). Производя в левой части \eqref{zheg:3} указанные действия, потребуем совпадения полученного выражения с коэффициентами из \eqref{zheg:1}. Для \eqref{zheg:3} найдем \begin{equation}\label{zheg:4} \begin{array}{ll} \alpha+\lambda=a_{21}, & \lambda_{y}+\alpha\lambda=a_{20}, \mu+\beta=a_{12}, & \mu_{x}+\beta\mu=a_{02}; \end{array} \end{equation} \begin{equation}\label{zheg:5} \begin{array}{r} \lambda_{x}+\mu_{y}+\nu+\gamma+\mu\alpha+\beta\lambda=a_{11}, \mu_{xy}+\nu_{x}+\beta(\mu_{y}+\nu)+\alpha\mu_{x}+\gamma\mu=a_{01}, \lambda_{xy}+\nu_{y}+\alpha(\lambda_{x}+\nu)+\beta\lambda_{y}+\gamma\lambda=a_{10}, \nu_{xy}+\alpha\nu_{x}+\beta\nu_{y}+\gamma\nu=a_{00}. \end{array} \end{equation} Для уравнения, получаемого из \eqref{zheg:3} перестановкой операторов, нужно в левой части соотношений \eqref{zheg:4} функции $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ заменить на $\lambda$, $\mu$, $\nu$, а функции $\lambda$,~$\mu$,~$\nu$ в~\eqref{zheg:5} --- на $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Мы не будем выписывать формулы для \eqref{zheg:3} с переставленными операторами, так как порядок рассуждений не изменится. Система \eqref{zheg:4}, \eqref{zheg:5}, как система для отыскания $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, является переопределенной (8 уравнений, 6 неизвестных). Сначала рассмотрим \eqref{zheg:4}. Здесь первая пара уравнений --- система для отыскания функций $\alpha$,~$\lambda$. Подставляя во второе уравнение $\alpha=a_{21}-\lambda$, или $\lambda=a_{21}-\alpha$, получим уравнения Риккати \begin{gather}\label{zheg:6} \lambda_{y}+a_{21}\lambda-\lambda^{2}=a_{20},\quad % %\label{zheg:7} \alpha_{y}-a_{21}\alpha+\alpha^{2}=a_{20}-a_{21y}, \end{gather} которые в общем случае неразрешимы в квадратурах, но в~случае нулевых правых частей являются уравнениями Бернулли, которые разрешимы в явном виде с~точностью до произвольной функции от $x$. Единственные решения выделяются при дополнительных условиях \begin{equation}\label{zheg:8} \alpha(x,y_{0})=\xi(x), \quad \lambda(x,y_{0})=\eta(x), \end{equation} где функции $\xi(x)$, $\eta(x)$ должны быть заданы. Аналогично вторая пара из \eqref{zheg:4} редуцируется к уравнениям \begin{equation}\label{zheg:9} \begin{array}{c} \mu_{x}+a_{12}\mu-\mu^{2}=a_{02}, \quad \beta_{x}-a_{12}\beta+\beta^{2}=a_{02}-a_{12}, \end{array} \end{equation} а роль \eqref{zheg:8} играют формулы \begin{equation}\label{zheg:10} \begin{array}{c} \beta(x_{0},y)=\rho(y), \quad \mu(x_{0},y)=\sigma(y). \end{array} \end{equation} Из изложенного вытекает \smallskip {\small\sc Лемма.} {\it В предположении}, {\it что} \begin{equation}\label{zheg:11} a_{20}\equiv a_{02}\equiv a_{20}\equiv a_{20}-a_{21y}\equiv a_{02}-a_{12x}\equiv 0, \end{equation} {\it и дополнительных условиях} \eqref{zheg:8}, \eqref{zheg:10} {\it функции} $\alpha$, $\beta$, $\lambda$, $\mu$ {\it однозначно определяются в~квадратурах}. \smallskip В условиях данной леммы уравнения \eqref{zheg:5} превращаются в формулы для определения $a_{11}$, $a_{01}$, $a_{10}$, $a_{00}$ через остающиеся пока неизвестными значениями $\gamma$, $\nu$, которые могут быть найдены путем подбора. А именно, взяв в~качестве одной из них определенную функцию, другую найдем из первого уравнения \eqref{zheg:5}. Остальные три соотношения \eqref{zheg:5} предлагается рассматривать как дополнительные требования, достаточные для однозначной разрешимости всей системы \eqref{zheg:4}, \eqref{zheg:5} в~явном виде. Поскольку $\gamma$ или $\nu$ можно фиксировать бесконечным числом способов, можно утверждать, что система \eqref{zheg:4}, \eqref{zheg:5} допускает бесконечное число решений в~достаточных для нас классах гладкости. Сведения об упомянутой гладкости можно найти в учебниках по дифференциальным уравнениям (например, в [13]). Вышеизложенное позволяет представить рассматриваемую задачу в форме двух классических постановок задачи Гурса для уравнений второго порядка: \begin{equation}\label{zheg:12} \begin{array}{c} u_{xy}+\lambda u_{x}+\mu u_{y}+\nu u=v, [2mm] u(x_{0},y)=\varphi(y), \,\, u(x,y_{0})=\psi(x), \,\, \varphi(y_{0})=\psi(x_{0}); \end{array} \end{equation} \begin{equation}\label{zheg:13} \begin{array}{c} v_{xy}+\alpha v_{x}+\beta v_{y}+\gamma v=0, [2mm] v(x_{0},y)=\theta(y), \,\, v(x,y_{0})=\theta_{1}(x), \,\, \theta(y_{0})=\theta_{1}(x_{0}), \end{array} \end{equation} где функции $\theta(y)$, $\theta_{1}(x)$ в силу \eqref{zheg:2} легко вычисляются. Очевидно, что сначала находится решение задачи \eqref{zheg:13}, а затем --- задачи \eqref{zheg:12}. Известен целый ряд вариантов разрешимости подобных задач в квадратурах, записываемых в терминах коэффициентов уравнений. Например, работы [3, с. 19–20], [14, 15] общее число вариантов разрешимости которых равно 16. \smallskip Из приведенных рассуждений следует \smallskip {\small\sc Теорема.} {\it Предложенная методика позволяет выделить бесконечное множество вариантов разрешимости рассматриваемой задачи в квадратурах}. \

About the authors

Valentin Ivanovich Zhegalov

Institute of Mathematics and Mechanics, Kazan (Volga Region) Federal University

Email: Valentin.Zhegalov@kpfu.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Солдатов А. П., Шхануков М. Х., "Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдогиперболических уравнений высокого порядка", Докл. АН СССР, 297:3 (1987), 547-552
  2. Сердюкова С. И., "Экзотическая асимптотика для линейного гиперболического уравнения", Докл. РАН, 389:3 (2003), 305-309
  3. Жегалов В. И., Миронов А. Н., Дифференциальные уравнения со старшими частными производными, Казанск. матем. об-во, Казань, 2001, 226 с.
  4. Жегалов В. И., Миронов А. Н., Уткина Е. А., Уравнения с доминирующей частной производной, Казанск. ун-т, Казань, 2014, 385 с.
  5. Миронов А. Н., "О методе Римана решения задачи Коши", Изв. вузов. Матем., 2005, № 2, 34-44
  6. Миронов А. Н., Миронова Л. Б., "Об инвариантах Лапласа для обобщенного уравнения Буссинеска-Лява", Диффер. уравн., 51:1 (2015), 131-135
  7. Anikonov Yu. E., Belov Yu. Ya., "Determining two unknown coefficients of parabolic type equation", J. Inverse Ill-posed Probl., 9:5 (2001), 469-487
  8. Anikonov Yu. E., "Inverse problems and classes of solutions of evolution equations", J. Inverse Ill-posed Probl., 11:1 (2003), 1-26
  9. Алексеев Г. В., Вахитов И. С., Соболева О. В., "Оценки устойчивости в задачах идентификации для уравнения конвекции-диффузии-реакции", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:12 (2012), 2190-2205
  10. Камынин В. Л., "Обратная задача одновременного определения правой части и младшего коэффициента в параболическом уравнении со многими пространственными переменными", Матем. заметки, 97:3 (2015), 368-381
  11. Кожанов А. И., "Параболические уравнения с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 57:6 (2017), 961-972
  12. Сабитов К. Б., "Начально-граничная и обратные задачи для неоднородного смешанного параболо-гиперболического уравнения", Матем. заметки, 102:3 (2017), 415-435
  13. Сабитов К. Б., Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения, Высш. шк., М., 2005, 670 с.
  14. Жегалов В. И., Сарварова И. М., "К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах", Изв. вузов. Матем., 2013, № 3, 68-73
  15. Жегалов В. И., Созонтова Е. А., "Дополнение к случаям разрешимости задачи Гурса в квадратурах", Диффер. уравн., 53:2 (2017), 270-273

Statistics

Views

Abstract - 13

PDF (Russian) - 2

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies