On extension of the domain for analytical approximate solution of one class of nonlinear differential equations of the second order in a complex domain

Abstract


In previous research the authors have implemented the investigation of one class of nonlinear differential equations of the second order in the neighborhood of variable exceptional point. The authors have proven the following: the existence of variable exceptional point, theorem of the existence and uniqueness of solution in the neighborhood of variable exceptional point. The analytical approximated solution in the neighborhood of variable exceptional point was built. The authors researched the influence of disturbance of variable exceptional point on an approximated solution. The results obtained for the real domain have been extended to the complex domain $|z|<|\tilde z^*|\leqslant |z^*|$, where $z^*$ is precise value of variable exceptional point, $\tilde z^*$ is approximate value of variable exceptional point. In the present paper, the authors have carried out the investigation of analytical approximate solution of the influence of disturbance of variable exceptional point in the domain $|z|>|\tilde z^*|\geqslant |z^*|$, giving special attention to change of direction of movement along the beam towards the origin of coordinates of a complex domain. These researches are actual due to the variable exceptional point pattern (even fractional degree of critical pole). The received results are accompanied by the numerical experiment and complete the investigation of analytical approximated solution of the considered class of nonlinear differential equations in the neighborhood of variable exceptional point depending on the direction of movement along the beam in a complex domain.

Full Text

1. Применямый метод и принятые допущения. Хорошо известны простейшие нелинейные дифференциальные уравнения Риккати, Абеля, Пенлеве, имеющие широкое применение в разных областях [1–5]. Частный случай нелинейного дифференциального уравнения второго порядка является основой математической модели консольных конструкций [6, 7]. Особенностью перечисленных уравнений является наличие подвижных особых точек, классифицированных Фуксом [8]. Теоретическое обоснование метода аналитического приближенного решения перечисленных дифференциальных уравнений Риккати, Абеля, Пенлеве даны в работах [9–11]. Предложенный в перечисленных работах приближенный метод успешно применяется и для других нелинейных дифференциальных уравнений [12, 13]. 2. Результаты. Рассматривается класс нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальной правой частью пятой степени: ( ) = 0 ( ) 5 ( ) + 1 ( ) 4 ( ) + 2 ( ) 3 ( ) + 3 ( ) 2 ( ) + 4 ( ) ( ) + 5 ( ), где — аналитические функции в рассматриваемой области, = 0, 1, . . . , 5. Замена переменной ( ) 1 ( ) , ( ) = v 4 5 0 0 где 0 = const = 0, приводит исследуемое уравнение к нормальной форме: ( ) = 5 ( ) + ( ), где ( ) = v 51 1 ( ) 4 v v , + ( ) + 0 5 55 4 15 5 4 30 0 3 ( ) = 2 31 ( ) , 52 20 4 ( ) = 2 ( ) = 2 21 ( ) , 5 0 41 ( ) . 53 30 Для задачи Коши ( ) = 5 ( ) + ( ), ( 0 ) = 0 , ( 0 ) = 1 (1) (2) 175 в случае точного значения подвижной особой точки [14] была доказана теорема существования, получено приближенное решение в окрестности подвижной особой точки * в виде * ( ) = ( ) 21 ( * ) 2 , 0 = 0, =0 а также была получена структура приближенного решения 1 ( ) = ( * ) 2 ( * ) 2 , 0 = 0, (3) =0 при этом 1 = 2 = 3 = 4 = 0, а 6 = , где — параметр, играющий роль стыковки двух видов решений на границе некоторой окрестности подвижной особой точки * — конечной суммы регулярного ряда и ряда (3). Этот параметр неявным образом связан с начальным условием (2) задачи Коши (1), (2). Так как существующие методы нахождения подвижной особой точки позволяют находить последнюю лишь приближенно, то возмущение подвижной особой точки отражается на аналитическом приближенном решении (3), в результате чего имеем 1 ( ) = ( * ) 2 ( * ) 2 , 0 = 0, (4) =0 где — возмущенные значения коэффициентов. Было проведено исследование аналитического приближенного решения (4) в области | | < | * | 6 | * |, когда в комплексной плоскости движение по лучу, исходящему из начала координат, проходит в направлении от начала координат. При движении по лучу в направлении к началу координат получаем область | | > | * | > | * |. Выражения (3) и (4) соответственно будут иметь вид * 12 ( ) = ( ) ( * ) 2 , 0 = 0, ( * ) 2 , 0 = 0. =0 и 1 ( ) = ( * ) 2 (5) =0 В этой ситуации полученные результаты будут справедливы и в вещественной области как в частном случае. Теорема. Пусть * — подвижная особая точка ( ) задачи (1), (2) и выполняются следующие условия: 1) ( ) 1 в области = { : | * | < 1 }, 1 = const > 0; 2) : | ( ) ( * )|/ ! 6 , = const, = 0, 1, 2, . . . ; * * 3) | | 6 | |; 4) известны оценки погрешности * и : | * * | 6 * , | | 6 ; 176 v 5) * < 1/(4 5 ( + 1)2 ). Тогда аналитическое приближенное решение (5) задачи (1), (2) в областях { : | * | < | | < | * | + * } { : | * | < 4 }, * * { : | | > | | + } { : | * | < 4 } (6) (7) будет иметь погрешность ( ) 6 0 + 1 + 2 + 3 , где * 0 = | * | 1 = 2 ( + 1)[ 5 ] | * | 1 2 5 v 4 3 , 4 4 2 ( + 1)[ 5 ] | * | 2 , ( + + 2)( + 6) 1 25 ( + 1)| * | 2 =0 ) 3 ( 4 4 1 25 * ( + 1) 2 2 1 2 2 2 = 2 ( + 1) + 2 2 ( + 1) , 1 210 ( + 1)2 5 =0 =0 ( 4 ) 4 1 27 2 3 1 3 2 2 2 + 2(2 ) 2 , 3 = 1 215 2 5 =0 4 = min{ 1 , 2 , 3 }, =0 1 (из [14]), 2 = v 5 4 ( + 1)2 3 = 1 , 8( + + 1)2 { | * |, (6), + 1, = 0, 1, 2, 3, 4, = + + 1, = *, (7), 8 + 1, = 5, 6, 7, 8, { { { | ( ) ( * )| } 0, = 0, 1, 0, = 0, 1, 2, = max | |, sup 2 = 1 = , 1, = 3, 4, 1, = 2, 3, 4, ! { = } { | ( +1) ( )| * , * , , = max sup ! , = { : | * | 6 * }, = 0, 1, 2, . . . ; — параметр, зависящий от условий (2). Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании классического подхода в оценке получаем ( ) = | ( ) ( )| 6 | ( ) ( )| + | ( ) ( )|. Вначале рассмотрим | ( ) ( )|: * 1 * 1 6 2 2 | ( ) ( )| 6 ( ) ( ) =0 =0 1 * 1 2 6 ( ) ( * ) 2 + =0 =0 177 + 1 ( * ) 2 + =0 =0 * 1 6 2 ( ) ( ) * 1 * 1 * 1 6 2 2 2 6 ( ) ( ) ( ) + 6 =0 =0 1 1 * * 1 2 ) | | ( * ) 2 ( * ) 2 . (| | + + =0 =0 Затем рассмотрим 1 1 | | ( * ) 2 ( * ) 2 . =0 Принимая во внимание условие | * | 6 | * | < | | и | 0 | = | 0 | = = 0, имеем v * 1 1 4 3 * * . | 0 | ( ) 2 ( ) 2 6 * | | 4 v 4 3/4 при Учитывая, как выше было отмечено, что [14] | 1 | = | 1 | = | 2 | = | 2 | = | 3 | = | 3 | = | 4 | = | 4 | = 0, получаем * | ( ) ( )| 6 | * | v 4 3 * 1 * 1 2 2 + | | ( ) ( ) + 4 =5 ( ) 1 * 2 . + ( * ) + =5 Для = 5, 6, 7, . . . упростим выражение: ( ) 1 1 1 1 * 2 ( * ) 2 6 ( * ) 2 ( * ) 2 6 ( * ) + ) 2 * ( 6 ( * ) + * 2 . Тогда для оценки приближенного решения (5) получаем * | ( ) ( )| 6 | * | + =5 178 v 4 1 3 + | || * | 2 + 4 = +1 ) 2 * ( | | ( * ) + * 2 + + ( ) 1 | | ( * ) + * 2 = 0 + 1 + 2 + 3 , =5 где | | = . Из последнего следует v * 4 3 0 = . | * | 4 Выражение для 1 следует из теоремы 2 работы [14]. Проведем оценку для 2 . Учитывая структуру ряда (5), проведем суммирование целых и дробных степеней раздельно при условии, что * 6 | * |: 2 = ) 2 * ( * 2 = | | ( * ) + =5 = ) 2 3 * ( * * 2 | 2 1 | ( ) + + =3 + ) * ( * * 1 | 2 | ( ) + = 2,1 + 2,2 . =3 Принимая во внимание закономерность оценок коэффициентов [14]: | 5 | 6 25 ( + 1) , (5 + 2)(5 6) | 5 +2 | 6 25 +2 ( + 1) , (5 + 4)(5 4) | 5 +4 | 6 | 5 +1 | 6 25 +1 ( + 1) , (5 + 3)(5 5) | 5 +3 | 6 25 +3 ( + 1) , (5 + 5)(5 3) 25 +4 ( + 1) , (5 + 6)(5 2) получаем для 2,1 : 2,1 = ) 2 3 * ( | 2 1 | ( * ) + * 2 = =3 = ) 10 7 * ( | 10 5 | ( * ) + * 2 + =1 + ) 10 5 * ( | 10 3 | ( * ) + * 2 + =1 + ) 10 3 * ( * * 2 | 10 1 | ( ) + + =1 + ) 10 1 * ( | 10 +1 | ( * ) + * 2 + =1 179 + = ) 10 +1 * ( | 10 +3 | ( * ) + * 2 = =1 4 ) 10 7+2 * ( 2 | 10 5+2 | ( * ) + * 6 =0 =1 3 4 25 * ( + 1)| * | 2 2 6 2 ( + 1) | * | 1 210 ( + 1)2 | * |5 =0 v при условии | * | < 2 , 2 = 1/(4 5 ( + 1)2 ) из [14]. Аналогичным образом получаем оценку для 2,2 : 2,2 4 25 * ( + 1)| * |2 2 6 2 ( + 1) | * | . 1 210 ( + 1)2 | * |5 =0 Рассмотрим случай | * | < * , тогда 2,1 5 4 25 ( + 1)( * ) 2 2 2 ( + 1) ( * ) . 6 1 210 ( + 1)2 ( * )5 =0 И для 2,2 получим соответственно оценку 2,2 4 25 ( + 1)( * )3 2 6 2 ( + 1) ( * ) . 1 210 ( + 1)2 ( * )5 =0 Перейдем к оценке 3 . Из гипотез оценок для : 5 6 5 +2 6 25 ( + + 1) , (5 + 2)(5 6) 5 +1 6 25 +1 ( + + 1) , (5 + 3)(5 4) 25 +2 ( + + 1) 25 +3 ( + + 1) , 5 +3 6 , (5 + 4)(5 4) (5 + 5)(5 3) 5 +4 6 25 +4 ( + + 1) , (5 + 6)(5 2) где { | ( ) ( * )| } = max | |, sup , ! { } | ( +1) ( )| * = max sup , * , , ! , = { : | * | 6 * }, = 0, 1, 2, . . . . Докажем оценку для 5 в случае + 1 = 5(2 + 1): 10 +5 = | 10 +5 10 +5 | 6 180 1 (10 + 7)(10 1) ( 10 +3 ( 10 +3 ) ( ) ) 10 +3 10 +3 + 10 +3 =0 =0 =0 =0 ( 10 +3 ( 10 +3 ) ( ) ) 10 +3 10 +3 = 10 +3 =0 =0 =0 =0 1 = (10 + 7)(10 1) ( 10 +3 ( 10 +3 ) 10 +3 ( 10 +3 + 10 +3 )( + ) =0 =0 =0 ( ) ) ( + ) ( + )( + ) =0 ( 10 +3 ( 10 +3 ) ) ) ( 10 +3 . 10 +3 =0 =0 =0 =0 Выполнив в последнем соотношении ряд преобразований, с учетом оценок для коэффициентов , полученных в работе [14], и предполагаемых оценок для в конечном итоге получаем 10 +5 6 210 +5 ( + + 1)2 +1 . |(10 + 7)(10 1)| Аналогичные выражения получим и в случаях + 1 = 5 + 1, + 1 = 5 + 2, +1 = 5 +3 и +1 = 5 +4. Таким образом, убеждаемся в справедливости оценки +1 2 +1 ( + + 1)[ 5 ] +1 6 . ( + 3)( 5) В выражении 3 повторим суммирование по целым и дробным степеням: 3 = = ( ) 1 | | ( * ) + * 2 = =5 2 1 |( * ) + * | 1 + =3 2 |( * ) + *| 2 1 2 = =3 = + 4 =0 =1 4 10 5+2 |( * ) + * |5 3+ + 10 4+2 |( * ) + *| 10 5+2 2 6 =0 =1 10 5+2 4 210 5+2 ( + + 1)[ 5 ] 6 |( * ) + * |5 3+ + (10 3 + 2 )(10 11 + 2 ) =0 =1 181 10 4+2 4 10 5+2 210 4+2 ( + + 1)[ 5 ] + |( * ) + *| 2 = (10 2 + 2 )(10 10 + 2 ) =0 =1 ( 10 5+2 4 210 ( + + 1)[ 5 ] 2 5 = 2 |( * ) + * |5 3+ + (10 3 + 2 )(10 11 + 2 ) =0 =1 ) 10 4+2 10 +1 2 ( + + 1)[ 5 ] * * 10 5+2 |( ) + | 2 6 + (10 2 + 2 )(10 10 + 2 ) =1 ( 4 ) 4 1 27 2 3 1 3 2 2 6 2 + 2(2 ) 2 , 1 215 2 5 =0 =0 где { = { 1 = | * |, (6), *, (7), 0, = 0, 1, 2, 1, = 3, 4, = + + 1, { 2 = 0, = 0, 1, 1, = 2, 3, 4. Оценка для выражения 3 справедлива в области | * | < 3 , 3 = 1/[8( + + + 1)2 ]. В ходе преобразований при получении оценки для погрешности приближенного решения (5) получаем области { : | | > | * | + * } { : | * | < 4 }, { : | * | < | | 6 | * | + * } { : | * | < 4 }, при этом | * * | 6 * и 4 = min{ 1 , 2 , 3 }. Следствие. Теорема справедлива в вещественной области, если комплексную переменную заменить на вещественную переменную . В п. 1 изменение на ( ) , в п. 3 — на * < * . Область (6) будет иметь вид * * * * * < < + , а (7) — + < < * + 4 . 3. Пример. Найдем приближенное решение задачи (1), (2) в окрестности подвижной особой точки * в случае ( ) = 0 при начальных данных ( 1 1 ) ( 1 1 ) 2 2 + = 1 + , + = v + v . 2 2 2 2 3 3 Величина возмущения не превышает = 0.5 · 10 5 и = = 0, = 0, так как в нашем случае точное решение совпадает по структуре с приближенным. Точное решение v 3 v ) . = ( 2 1 1 + 23 Найдем радиус окрестности подвижной особой точки: 4 0.1247503745. Точное значение подвижной особой точки v 1 2+ 3 * = + , * = 0.000003, * = 0.5000021213 + 0.9330148232 . 2 4 182 Выберем значение аргумента = 0.5848549351 + 1.0178676370 | * | < 4 . Применяя (5), = 9, вычислим приближенное значение решения при заданном значении аргумента: 9 9 1 = = = = = = 0.5848549351 + 1.0178676370 ; 2.4819018915 1.0280374240 ; 2.4819310056 1.0280456659 ; 3.0258 · 10 5 ; 0.001366; 0.00005. Здесь — значение точного решения; 9 — приближенное решение (5); — абсолютная погрешность приближенного решения 9 ; 9 — оценка погрешности приближенного решения, полученная по теореме; 1 — апостериорная оценка погрешности. Решением обратной задачи теории погрешности для = 5 · 10 5 получаем = 19, но с учетом того, что для номеров = 10, 11, . . . , 19 коэффициенты = 0, в структуре приближенного решения можем ограничиться значением = 9, при котором приближенное решение будет иметь погрешность = 5 · 10 5 . Выводы. В статье сформулирована и доказана теорема, отражающая влияние возмущения подвижной особой точки на приближенное решение одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в окрестности подвижной особой точки в комплексной области, определяемой соотношениями (6) и (7) при направлении движения по лучу к началу координат. Теорема справедлива и в вещественной области при соответствующих изменениях, указанных в следствии. Для оптимизации структуры приближенного решения была использована апостериорная оценка погрешности. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имеем.

About the authors

Victor Nikolaevich Orlov

Moscow State University of Civil Engineering


Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

Tatyana Yuryevna Leontieva


References

  1. Hill J. M., "Radial deflections of thin precompressed cylindrical rubber bush mountings", Int. J. Solids Struct., 20:13 (1977), 93-104
  2. Ockendon J. R., "Numerical and analytical solutions of moving boundary problems", Moving Boundary Problems, eds. D. G. Wilson, A. D. Solomon and P. T. Boggs, Academic Press, New York, 1978, 129-145
  3. Axford R., Differential equations invariant urber two-parameter Lie groups with applications to non-linear diffusion, Los Alamos Technical Reports, Rept. no. LA-4517, 1970, 39 pp.
  4. Kalman R. E., Bucy R. S., "New results in linear filtering and prediction theory", J. Basic Eng., 83:1 (1961), 95-108
  5. Shi M., "On the solution of a one-dimensional Riccati equation related to risk-sencitive portfolio optimization problem", Rep. Fac. Sci. Engrg. Saga. Univ. Math., 34:1 (2005), 17-24
  6. Orlov V. N., Kovalchuk O. A., "Mathematical problems of reliability assurance the building constructions", E3S Web Conf., 97 (2019), 03031
  7. Orlov V. N., "Features of mathematical modelling in the analysis of console-type structures", E3S Web Conf., 97 (2019), 03036
  8. Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, ГИТЛ, М.-Л., 1950, 436 с.
  9. Орлов В. Н., "О приближенном решении первого уравнения Пенлеве", Вестник КГТУ им. А. Н. Туполева, 2008, № 2, 42–46
  10. Орлов В. Н., "Исследование приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки", Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2009, № 4(35), 102–108
  11. Орлов В. Н., "Об одном методе приближенного решения матричных дифференциальных уравнений Риккати", Вестник МАИ, 15:5 (2008), 128–135
  12. Orlov V. N., Kovalchuk O. A., "Mathematical modeling of complex structures and nonlinear differential equations with movable points", IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 456 (2018), 012122
  13. Орлов В. Н., Ковальчук О. А., Линник Е. П., Линник И. И., "Исследование одного класса нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка в области аналитичности", Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2018, № 4(79), 24–35
  14. Орлов В. Н., Леонтьева Т. Ю., "Построение приближенного решения одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в окрестности подвижной особой точки в комплексной области", Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2014, № 4(22), 157–166

Statistics

Views

Abstract - 20

PDF (Russian) - 4

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies