Existence of solutions to quasilinear elliptic equations in the Musielak–Orlicz–Sobolev spaces for unbounded domains

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 24, 4. С. 621-643 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) https://doi.org/10.14498/vsgtu1803 УДК 517.956.25 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений в пространствах Музилака-Орлича-Соболева для неограниченных областей © Л. М. Кожевникова1,2 , А. П. Кашникова1 1 Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал, Россия, 453103, Стерлитамак, проспект Ленина, 49. 2 Елабужский институт (филиал) Казанского (Приволжского) федерального университета, Россия, 423600, Елабуга, ул. Казанская, 89. Аннотация Рассматривается вопрос существования решений задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограничен- ных областях. Ограничения на структуру квазилинейных уравнений формулируются в терминах специального класса выпуклых функций -- обобщенных -функций. А именно, нелинейности определяются функ- циями Музилака-Орлича такими, что дополнительные к ним функции подчиняются 2-условию. Соответствующее пространство Музилака- Орлича-Соболева не обязано быть рефлексивным. Именно этот факт является существенной проблемой, поскольку теорема для псевдомоно- тонных операторов здесь не применима. Для рассматриваемого класса уравнений доказательство теоремы су- ществования проводится на основе абстрактной теоремы для дополни- тельных систем. Важным инструментом, который позволил обобщить имеющиеся результаты существования решений рассматриваемых урав- нений для ограниченных областей на неограниченные области, являет- ся теорема вложения пространств Музилака-Орлича-Соболева. Таким образом, в работе найдены условия на структуру квазилинейных урав- нений в терминах функций Музилака-Орлича, достаточные для раз- решимости задачи Дирихле в неограниченных областях. Кроме того, приведены примеры уравнений, показывающие, что класс нелинейно- стей, рассматриваемый в работе, шире, чем нестепенные и степенные нелинейности. Научная статья cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. Существование решений квазилинейных эл- липтических уравнений в пространствах Музилака-Орлича-Соболева для неограничен- ных областей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 24, 4. С. 621-643. https://doi.org/10.14498/vsgtu1803. Сведения об авторах Лариса Михайловна Кожевникова https://orcid.org/0000-0002-6458-5998 доктор физико-математических наук, профессор; профессор каф. математического анали- за; e-mail: kosul@mail.ru Анастасия Павловна Кашникова; студент; e-mail: a.kashnikova98@yandex.ru © Самарский государственный технический университет 621 К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. Ключевые слова: Музилака-Орлича-Соболева пространство, задача Дирихле, существование решения, нерефлексивное пространство, неогра- ниченная область. Получение: 20 июля 2020 г. / Исправление: 20 сентября 2020 г. / Принятие: 16 ноября 2020 г. / Публикация онлайн: 25 декабря 2020 г. Введение. Пусть -- произвольная неограниченная область простран- ства R = {x = (1, 2, . . . , )}, 2, = R. В работе рассматривается задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго по- рядка вида - div a(x, , ) + 0(x, , ) = (x), x , (1) с однородным краевым условием = 0. (2) Ограничения на функции a(x, 0, s), 0(x, 0, s), входящие в уравнение (1), формулируются в терминах специального класса выпуклых функций, назы- ваемых обобщенными -функциями, они будут приведены ниже. Общая краевая задача вариационного типа для квазилинейного эллипти- ческого уравнения высокого порядка в дивергентной форме с нелинейностя- ми полиномиального вида была рассмотрена Ф. Браудером [1] в произвольной области без условий ограниченности или гладкости границы области. Cоот- ветствующий оператор из рефлексивного банахова пространства в его двой- ственное является псевдомонотонным, и из этого факта следует результат существования решения рассматриваемой задачи. Следуя работе [1] Л. М. Кожевниковой, А. Ш. Камалетдиновым [2] уста- новлено существование слабого решения задачи Дирихле в произвольной об- ласти для анизотропного уравнения (1) с переменными показателями нели- нейностей. Ранее Л. М. Кожевниковой, А. А. Хаджи в работе [3] доказано существование слабого решения задачи Дирихле в произвольной неограни- ченной области для анизотропного эллиптического уравнения (1) с нели- нейностями, определяемыми -функциями. Для квазилинейных эллиптических уравнений в пространствах Музила- ка--Орлича--Соболева известны следующие результаты существования сла- бых решений. В работах [4, 5] доказано существование решений при неко- торых предположениях, таких как 2-условие, а также равномерная вы- пуклость обобщенной -функции , которые гарантируют, что простран- ство Музилака--Орлича--Соболева является рефлексивным. Исследованию вопросов существования решений вариационных краевых задач для квази- линейных эллиптических уравнений в нерефлексивных пространствах (при условии, что дополнительная функция подчиняется 2-условию) посвя- щены работы [6, 7]. Существование слабых решений для дифференциальных уравнений второго порядка с граничным условием Дирихле или Неймана ме- тодом построения супер- и субрешений в рефлексивном и нерефлексивном сепарабельных пространствах установлено в работах [8] и [9] соответственно. 622 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений. . . Содержательный обзор проблем, возникающих в вопросах существования ре- шений нелинейных эллиптических и параболических уравнений в простран- ствах Музилака--Орлича--Соболева, приведен в работе [10]. Следует отметить, что авторам неизвестны результаты исследований су- ществования решений нелинейных уравнений в пространствах Музилака-- Орлича--Соболева для неограниченных областей. В настоящей работе до- казана теорема существования решения задачи (1), (2) для произвольной неограниченной области в пространстве Музилака--Орлича--Соболева, ко- торое может быть нерефлексивным. 1. Пространства Музилака--Орлича--Соболева. В этом параграфе будут приведены необходимые сведения из теории обобщенных -функций и пространств Музилака--Орлича [11-13]. Пусть функция (x, ) : R R+ удовлетворяет следующим условиям: 1) (x, · ) -- -функция по R, то есть она является выпуклой вниз, неубывающей, четной, непрерывной, (x, 0) = 0 для п.в. x и inf x (x, ) > 0 для всех = 0, lim 0 sup x (x, ) = 0, lim inf x (x, ) = ; 2) ( · , ) -- измеримая функция по x для любых R. Такая функция (x, ) называется функцией Музилака--Орлича или обоб- щенной -функцией. Дополнительная функция (x, ·) к функции Музилака--Орлича (x, ·) в смысле Юнга для п.в. x и любых 0 определяется равенством (x, ) = sup 0 ( - (x, ) ) . Отсюда следует неравенство Юнга: || (x, ) + (x, ), , R, x . (3) Пусть (x, ) и (x, ) -- функции Музилака--Орлича. Если для каждой положительной константы имеем lim sup x (x, ) (x, ) = 0, (4) то это обозначается и говорят, что растет медленнее, чем на . Функция Музилака--Орлича удовлетворяет 2-условию, если суще- ствуют константы > 0, 0 0 и функция 1() такие, что для п.в. x и любых || 0 справедливо неравенство (x, 2) (x, ) + (x). 623 К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. 2-условие эквивалентно выполнению для п.в. x и любых || 0 нера- венства (x, ) ()(x, ) + (x), 1(), где -- любое число, большее единицы, () > 0. В настоящей работе предполагается, что дополнительная -функция (x, ) удовлетворяет 2-условию при всех значениях R (т.е. 0 = 0). Таким образом, для любого > 0 имеет место неравенство (x, ) ()(x, ) + (x), 1(), x , R. (5) Существуют три класса Музилака--Орлича: -- () -- обобщенный Музилака--Орлича класс измеримых функций : R таких, что ,() = (x, (x))x < ; -- () -- обобщенное Музилака--Орлича пространство, являющееся наи- меньшим линейным пространством, которое содержит класс (), с нормой Люксембурга , = inf { > 0 , ( ) 1 } ; -- () -- замыкание по норме · , ограниченных измеримых функ- ций с компактным носителем в . Справедливы вложения () () (). Ниже в обозначениях · ,, ,( · ) будем опускать индекс = . Функция Музилака--Орлича (x, ) называется локально интегрируе- мой, если ,() = (x, )x < для любого R и любого измеримого множества такого, что meas < . Если может совпадать c , то (x, ) называется интегриру- емой в . Пусть и -- локально интегрируемые дополнительные обобщенные -функции. Пространство () сепарабельное и ( ())* = (). Если удовлетворяет 2-условию, то () = () = () и () сепа- рабельное. Пространство () рефлексивное тогда и только тогда, когда функции Музилака--Орлича и удовлетворяет 2-условию. Для () справедливы неравенства: () + 1, (6) если 1, то () , (7) если > 1, то (). 624 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений. . . Последовательность функций {}N () модулярно сходится к функции (), если существует положительная константа > 0 такая, что lim ( - ) = 0. Если удовлетворяет 2-условию, то модулярная топология и топология по норме совпадают. Также для двух сопряженных функций Музилака--Орлича и , если () и (), выполняется неравенство Гельдера: (x)(x)x 2 . (8) Определим пространства Музилака--Орлича--Соболева: 1 () = { () | || () } , 1 () = { () | || () } с нормой 1 = + || . Пространство 1 () отождествляется с подпространством произведения ( ())+1 и является замкнутым по топологии ( ( )+1, ( )+1 ) . Пространство °1 () определим как замыкание 0 () по топологии ( ( )+1, ( )+1 ) в 1 (). Наконец, пространство °1 () опреде- лим как замыкание 0 () по норме · 1 в 1 (). Пространства °1 (), °1 () банаховы (см. [12, Theorem 10.2]). Определим также следующие банаховы пространства: -1 () = { = 0 - div f | 0 (), f = (1, . . . , ) ( ()) } , -1 () = { = 0 - div f | 0 (), f = (1, . . . , ) ( ()) } . Справедлива следующая теорема вложения (см. [6, Theorem 4]). Лемма 1. Пусть функция Музилака--Орлича (x, ) удовлетворяет сле- дующим условиям: 1 -1(x, ) +1 = , 1 0 -1(x, ) +1 < (9) и -1 * (x, ) = 0 -1(x, ) +1 , x , 0. Тогда функция *(x, ) является обобщенной -функцией и °1 () * (). Более того, для любой ограниченной подобласти вложение °1 () () существует и компактно для любой функции Музила- ка--Орлича * такой, что ( · , ) интегрируема на . 625 К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. 2. Формулировка результата. Предположим, что функции a(x, 0, s) = = (1(x, 0, s), . . . , (x, 0, s)), 0(x, 0, s) измеримы по x для s = (0, s) = = (0, 1, . . . , ) R+1, непрерывны по s R+1 для почти всех x . Условия M. Пусть для любого w = (0, w) R+1 существуют неот- рицательные функции , 0, 1() и положительные константы , 0, , , такие, что для п.в. x и для любых 0 R, s, t R, s = t справедливы следующие неравенства: a(x, 0, s) · (s - w) + 0(x, 0, s)(0 - 0) (x, 0) + (x, |s|) - (x); (10) (x, |a(x, 0, s)|) (x) + (x, |s|) + (x, 0); (11) (x, |0(x, 0, s)|) 0(x) + 0(x, |s|) + 0(x, 0); (12) (a(x, 0, s) - a(x, 0, t)) · (s - t) > 0. (13) Здесь (x, ) -- функция Музилака--Орлича, интегрируемая в , дополни- тельная к ней функция удовлетворяет 2-условию; (x, ) -- функция Музилака--Орлича, интегрируемая в такая, что , s·t = =1 , |s| = ( =1 2 )1/2 . Условиям M удовлетворяют, например, функции 0(x, 0, s) = (x, 0) + (x, |s|) + 0(x), 0 (), (x, s) = (x, |s|) |s| + (x), (), = 1, . . . , , c непрерывно дифференцируемыми по функциями Музилака--Орлича (x, ), (x, ) (см. Приложение A). Определим дифференциальный оператор A : °1 () -1 () c областью определения (A) = { °1 () | (x, , ) (), = 0, } равенством A(), = ( a(x, , ) · + 0(x, , ) ) x, °1 (). (14) Используя неравенство Гельдера (8), для функций , °1 () выводим неравенства |A(), | 20 + 2|a| 2 ( 0 + |a| ) 1 , следовательно, интегралы в равенстве (14) конечны. Будем считать, что = 0 - div f -1 (), тогда можно определить функционал F: F, = (f · + 0) x, °1 (). 626 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений. . . Определение. Обобщенным решением задачи (1), (2) c = 0 - div f -1 () назовем функцию °1 (), удовлетворяющую интеграль- ному тождеству A(), = F, для любой функции °1 (). В работе доказана следующая Теорема. Пусть выполнены условия M и условия (9). Тогда для любого -1 () существует хотя бы одно решение задачи (1), (2). Замечание 1. Условие (9) накладывает ограничение на рост функции (x, ) при . В качестве примера можно взять функцию (x, ) = = (x)|| ln(1 + ||) + (x)||, [2, ], c интегрируемыми ограниченными функциями , : (0, ). Замечание 2. Следует отметить, что при условии (*) или функция удовлетворяет 2-условию (**) выполнение неравенства (10) для фиксированного w и неравенств (11), (12) влечет справедливость (10) для любого w R+1 (см. [16, Remark 8]). 3. Основные леммы и утверждения. Лемма 2. Пусть {}N, -- такие функции из (), что , N, п.в. в , . Тогда в топологии ( , ) пространства (). Лемма 3. Пусть 0 < < 1 и 0 -- функция Музилака--Орлича такая, что 1 0 -1 0 (x, ) 1+ < , 1 -1 0 (x, ) 1+ = . Тогда обобщенная -функция , определяющаяся как -1 (x, ) = 0 -1 0 (x, ) 1+ < , x , такова, что 0 . Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 3 для -функции приведено в [14, Lem- ma 4.14]. Для функции Музилака--Орлича оно проводится аналогично. Ниже будет использоваться теорема Витали в следующей форме (см. [15, гл. III, 6, теорема 15]). Лемма 4. Пусть {}N, -- измеримые функции в ограниченной обла- сти такие, что п.в. в , , 627 К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. и интегралы | (x)|x, N, равномерно абсолютно непрерывны. Тогда сильно в 1(), . Если и интегрируема в , то по определению (4) найдется 1() такая, что для любых > 0, > 0 имеем (x, ) (x) + (x, ), x , R. (15) Применяя (15), перепишем (11), (12) в виде (x, |a(x, 0, s)|) (x) + (x, |s|) + (x, 0), ( 11) (x, |0(x, 0, s)|) 0(x) + 0(x, |s|) + 0(x, 0), ( 12) где , 0 1(). Утверждение. Пусть выполнены условия M, {}N, °1 () и п.в. в , . (16) Предположим, что (x) = ( a(x, , ) - a(x, , ) ) · ( - ) 0 п.в. в , . (17) Тогда по некоторой подпоследовательности п.в. в , . (18) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь неравенствами (3), (5) и (10), для (0, 1) получаем (x) = ( a(x, 0, s ) - a(x, 0, s) ) · (s - s) a(x, 0, s ) · (s - s) + 0(x, 0, s )(s 0 - s0) - (x, |s |) - (x, |s|)- - (x, ()-1 |a(x, 0, s)|) - (x, |a(x, 0, s)|)- - 2(x, |0(x, 0, s )|) - (x, -1 0) - (x, -1 0) (x, 0) + ( - )(x, |s |) - (x, -1 0)- - 1()(x, |a(x, 0, s)|) - 2(x, |0(x, 0, s )|) - 2(, x). Применяя ( 11), ( 12) c = 1, < /, выводим (x) ( - 3)(x, |s |) - 4()(x, 5() 0) - 6(, x). 628 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений. . . Выбирая < /3, устанавливаем оценку (x) 7(x, |s |) - 4(x, 5| 0|) - 6(x). Обозначим через подмножество точек полной меры, для кото- рых имеют место сходимости (16), (17) и выполнено последнее неравенство. Установим сходимость всюду в , . От противного, пусть в некоторой точке x* нет сходимости. Положим 0 = (x*), 0 = (x*), s = (x*), s = (x*). Тогда имеем (x* ) 7(x* , |s |) - 4(x* , 5| 0|) - 6. Предположим, что последовательность {(x*, |s|)}N не ограничена. Ввиду предположения из последнего неравенства получаем, что {(x*)}N не ограничена, что противоречит (17). Следовательно, последовательность {s}N ограничена. Пусть s* = (* 1, * 2, . . . , * ) -- один из частичных пределов s = ( 1, . . . , ) при , тогда, с учетом (16), имеем 0 0, s s* , . (19) Поэтому из (17), (19) и непрерывности a(x*, 0, s) по s = (0, s) вытекает, что ( a(x* , 0, s* ) - a(x* , 0, s) ) · (s* - s) = 0, следовательно, согласно (13), s = s*. Это противоречит тому, что в точке x* нет сходимости. Таким образом, сходимость (18) установлена. Замечание 3. Заметим, что только в утверждении неравенство (10) при- меняется для любого w R+1. В доказательстве теоремы неравенство (10) используется для фиксированного w R+1. Для простоты полагаем w = 0: a(x, 0, s) · s + 0(x, 0, s)0 (x, 0) + (x, |s|) - (x). (100) 4. Абстрактный результат. Доказательство теоремы основано на утвер- ждениях для дополнительных систем. Система (, 0, , 0) называется дополнительной, если выполняется сле- дующее: - , банаховы и находятся в двойственности относительно непрерыв- ного спаривания · , · ; - 0 -- подпространство в и можно отождествить с помощью спаривания · , · с сопряженным пространством * 0 ; - 0 -- подпространство в и можно отождествить с помощью спаривания · , · с сопряженным пространством * 0 . Пусть (, 0, , 0) -- дополнительная система и : -- отображе- ние с областью определения () , которые удовлетворяют следующим условиям относительно некоторых элементов 0 0 и 0 0: (i) (конечная непрерывность) 0 () и непрерывно для всех конеч- номерных подпространств в 0 по топологии (, 0) в ; 629 К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. (ii) (последовательная псевдомонотонность) для любой последовательности {} , в топологии (, 0), () в топологии (, 0) и lim sup (), , следует, что () = и (), , ; (iii) () остается ограниченным в всегда, когда () остается огра- ниченным в и - 0, () остается ограниченным сверху; (iv) - 0, () - 0 > 0, когда () имеет достаточно большую нор- му в . Важно отметить, что условие (iii) слабее, чем условие того, что пере- водит каждое ограниченное множество в в ограниченное множество в , а также условие (iv) слабее, чем предположение о коэрцитивности, потому что отображение , как правило, не преобразует ограниченное множество в ограниченное множество. Предложение. Пусть (, 0, , 0) -- дополнительная система, 0, 0 сепарабельные и отображение : () удовлетворяет условиям (i)-(iv). Тогда 0 содержится в () [16, Proposition 1]. 5. Доказательство существования решения. Лемма 5. Пусть выполнены условия (11), (12), тогда отображение A : s = (0, s) a(x, s) = ( 0(x, 0, s), a(x, 0, s) ) переводит ( ())+1 в ( ())+1 и является конечнонепрерывным на ( ())+1 по топологии (( )+1, ( )+1) в ( ())+1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть s = (0, s) ( ())+1, запишем ( 11) с = = = 1, получим (x, |a(x, 0, s)|) (x) + (x, |s|) + (x, 0). (20) Отсюда следует, что a(x, 0, s) ( ()) . Аналогично устанавливается, что 0(x, 0, s) (). Пусть = {s1, s2, . . . , s} симплекс в ( ())+1, тогда s = =1 s , где 0, =1 = 1. Покажем, что отображение A непрерывно для каж- дого симплекса . Применяя (20), для (0, s) выводим (x, |a(x, 0, s)|) (x) + ( x, =1 s ) + ( x, =1 s 0 ) (x) + =1 (x, |s |) + =1 (x, | 0|). 630 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений. . . Поскольку (x, |s|), (x, | 0|), = 1, . . . , , принадлежат пространству 1(), функция (x, |a(x, s)|) ограничена в 1() для s . Отсюда бла- годаря неравенству (6) a(x, s) ограничена в ( ()) для s . Аналогич- но устанавливается, что 0(x, s) ограничена в () для s . Применяя лемму 2, устанавливаем непрерывность отображения A на симплексе по топологии ( ( )+1, ( )+1 ) . Доказательство теоремы. Благодаря 2-свойству на функцию сис- тема ( °1 (), °1 (), -1 (), -1 () ) (21) является дополнительной [14, Lemma 1.2]. Спаривание между °1 () и -1 () задается формулой , = (f · + 0)x. Для системы (21) проверим условия (i)-(iv) предложения (0 = 0). Из леммы 5 следует условие (i). Далее проверим условия (ii). Пусть {} °1 () и выполнено следу- ющее: 1) в топологии ( ( )+1, ( )+1 ) ; 2) A() G -1 () в топологии ( ( )+1, ( )+1 ) ; 3) lim supA(), G, . Докажем, что lim A(), = G, , G = A(), (A). Разобьем доказательство условия (ii) на несколько этапов. 1. Докажем ограниченность {a(x, , )}N в ( ())+1. Из 1) по тео- реме Банаха--Штейнгауза следует, что {}N ограничена: 1 = + | | 1, N. (22) Отсюда следует 1 1 + 1 1 || 1, а значит, согласно (7), имеем ( 1 1 ) + ( 1 1 | | ) 1, N. (23) Кроме этого, применяя лемму 1, устанавливаем * 21 21 = = 3. Отсюда благодаря (7) получим * ( 1 3 ) 1, N. (24) Поскольку *, для любого * > 0 имеем неравенство (см. (15)) (x, ) * (x) + *(x, * ), R, x , * 1(). (25) Применяя ( 12) c = 1 и (25), выводим неравенство (|0(x, , )|) 0 + 0* 1 + 0 ( | |) + 0* (* | |). 631 К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. Отсюда ввиду (6) получаем 0(x, , ) 4 + 0 ( | |) + 0* (* | |). Выбирая и * так, чтобы выполнялись неравенства < -1 1 и * < -1 3 , и применяя (23), (24), выводим 0(x, , ) 4 + 0 (|| 1 ) + 0* ( 3 ) 5. (26) Ограниченность {0(x, , )}N в () установлена. Докажем ограни- ченность {a(x, , )}N в ( ()). По свойству (13) для °1 () имеем ( a(x, , ) - a(x, , ) ) · ( - ) 0. Отсюда выводим a(x, , ) · x a(x, , ) · x + 0(x, , ) x- - 0(x, , ) x - a(x, , ) · ( - )x = = A( ), - 0(x, , ) x - a(x, , ) · ( - )x. (27) Оценим второе и третье слагаемые правой части (27). Применяя неравен- ство Гельдера и учитывая (22), (26), выводим 0(x, , ) x 20(x, , ) 6, (28) a(x, , ) · ( - )x 2a(x, , ) - 2a(x, , ) 7. (29) Используя ( 11) ( = 1, < (1)-1), (6) и (23), имеем a(x, , ) 1 + 1 + (||) + (-1 1 ) 8. (30) Соединяя (27), (28), (29), (30) и учитывая 3), устанавливаем, что после- довательность {a(x, , )}N ограничена по топологии ( ( ), ( ) ) в ( ()). Отсюда из принципа равномерной ограниченности следует, что {a(x, , )}N ограничена по норме пространства ( ()). 2. Поскольку {(x, , )}N, = 0, , ограничены в (), то (x, , ) в топологии ( , ), (), = 0, . (31) 632 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений. . . Следовательно, линейный функционал G -1 () можно отождествить с g = (0, g) ( ())+1 = ( ())+1, то есть G, = (g · + 0)x, °1 (). (32) 3. Покажем, что , п.в в . Зафиксируем произволь- ное > 0, обозначим () = {x | |x| < }. Согласно лемме 1, про- странство °1 (( + 1)) компактно вложено в (( + 1)) для любой функции Музилака--Орлича (x, ) такой, что *. Согласно лемме 3, * и пространство °1 (( + 1)) компактно вложено в простран- ство (( + 1)). Пусть () = min ( 1, max(0, + 1 - ) ) . Пользуясь (22), выводим неравен- ства 1 + + 2 + 9, = 1, 2, . . . . Следовательно, последовательность функций {} =1 ограничена в про- странстве °1 (( + 1)). Ввиду компактности вложения °1 (( + 1)) (( + 1)) имеют место выборочные сильные сходимости в (( + 1)), , из которых следуют сильные сходимости в (()), , (33) а также выборочная сходимость почти всюду в (). Диагональным процессом устанавливается сходимость (16): п.в. в , . Далее докажем справедливость (18): п.в. в , . Для этого установим (17). Тогда, применяя утверждение, выводим (18). Вви- ду условия (13) (x) 0, x , поэтому достаточно показать lim sup (x)x , 0, , (34) = { x () | || , || } . Представим (x) = (x) + (x) + (x), где (x) = 0(x, , )( - ) + a(x, , )( - ); 633 К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. (x) = a(x, , ) · ( - ); (x) = 0(x, , )( - ). Утверждение (34) будет доказано, если установим следующее: lim sup (x)x ; (35) lim (x)x = 0; (36) lim (x)x = 0. (37) 4. Докажем (35), для этого запишем (x)x = ( 0(x, , ) + a(x, , ) · ) x - - ( 0(x, , ) + a(x, , ) · ) x - - ( 0(x, , ) + a(x, , ) · ) x = = 1() + 2(, ) + 3(, ). (38) По предположению 3) и (32) имеем lim sup 1() G, = (0 + g · )x. (39) По условию (100) имеем 2(, ) - ( (x, ) + (x, | |) ) x + + (x)x (x)x. (40) Кроме этого, можно записать 3(, ) = - ( 0(x, , ) + a(x, , ) · ) x, где -- характеристическая функция множества . Поскольку функция (x, ) интегрируема по x , R, то > 0 (x, )x (x, )x < , следовательно, (). 634 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений. . . Аналогично устанавливается, что ( ()). Тогда ввиду слабой сходимости (31) имеем lim 3(, ) = - (0 + g · )x. (41) Соединяя (38), (39), (40), (41), выводим lim sup (x)x (0 + g · )x + (x)x, где 0+g · 1(). Ввиду абсолютной непрерывности интегралов в пра- вой части последнего неравенства имеем (35). 5. Докажем (36), для этого достаточно показать, что a(x, , ) a(x, , ) в (), . (42) Воспользуемся (20): (x, |a(x, , )|) (x) + (x, ||) + (x, ) (x) + 2 (x, ). Отсюда следует, что a(x, , ) ( ()), но удовлетворяет 2-усло- вию, значит a(x, , ) ( ()) . (43) Далее, применяя ( 11), получим (x, a(x, , )) (x) + (x, |)|) + (x, | |). Учитывая (23) и выбирая < -1 1 , для любого измеримого подмножества получим (x, a(x, , ))x {:|x|<} ( (x) + (x, ) ) x + + ( x, 1 ) x {:|x|<} 1(x)x + 10, где 1 1(). Отсюда следует, что a(x, , ) ( ()) и равномерная абсолютная непрерывность интегралов (x, a(x, , ))x. Кроме того, ввиду непрерывности a(x, 0, s) по 0 и сходимости (16) имеем a(x, , ) a(x, , ), , п.в. в . Применяя теорему Витали (лемма 4) для ограниченной области , уста- навливаем модулярную сходимость, из которой следует сходимость (42). 635 К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. Далее имеем (x)x = (x, , ) · ( - )x = = ( a(x, , ) - a(x, , ) ) · ( - )x+ + a(x, , ) · ( - )x 2a(x, , ) - a(x, , ) ( - ) + + a(x, , ) · ( - )x . Первое слагаемое стремится к 0 при благодаря (42) и (22). Второе слагаемое стремится к 0 при ввиду (43) и слабой сходимости 1). Таким образом, (36) доказано. 6. Докажем (37). Ввиду сходимости (33) имеем в (), . (44) Применяя неравенство Гельдера, (26), выводим (x)x 2 - 0(x, , ) 11 - . Отсюда, применяя (44), устанавливаем (37). 7. Благодаря сходимостям (16), (18) ввиду непрерывности (x, 0, s), = 0, , по (0, s), имеем (x, , ) (x, , ) п.в. в , , = 0, . . . , . Поскольку {(x, , )}N, = 0, , ограничены в (), по лемме 2 име- ем (x, , ) (x, , ) в топологии ( , ), , = 0, . . . , . (45) Сравнивая (45) с (31), устанавливаем (x, , ) = (), = 0, . . . , . Отсюда заключаем, что (A) и A() = G (см. (32)). 8. Докажем, что A(), G, = A(), . Ввиду условия 3) имеем lim supA( ), A(), , потому достаточно показать, что lim infA( ), A(), . (46) 636 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений. . . Тогда A(), lim infA( ), lim supA( ), A(), . Из условия (13) имеем a(x, , ) · a(x, , ) · ( - ) + a(x, , ) · . (47) Далее выводим A( ), = (a(x, , ) · + 0(x, , ) )x = = a(x, , ) · x + 0(x, , ) x + + ( a(x, , ) · + 0(x, , ) ) x. Применяя (47), (100), получаем A( ), a(x, , ) · ( - )x + + a(x, , ) · x + 0(x, , ) x - (x)x = = 1() + 2() + 3() - (x)x. Ввиду сильной сходимости (42) и слабой сходимости 1) имеем lim 1() = 0. Благодаря слабой сходимости (45) и принадлежности ( ()) на- ходим lim 2() = a(x, , ) · x. Применяя слабую сходимость (45) и сильную сходимость (33), устанавливаем lim 3() = 0(x, , )x. Таким образом, имеем lim infA( ), ( a(x, , ) · + 0(x, , ) ) x - (x)x A(), - ( a(x, , ) · + 0(x, , ) + (x) ) x. 637 К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. Ввиду того, что a(x, , ) · + 0(x, , ) + (x) 1() и интеграл абсолютно непрерывен, устремляя , устанавливаем (46). (iii) Покажем, что если (A), 1 1, A(), 12, то A() ограничено в -1 (). Методом, аналогичным шагу 1 в (ii), заключаем, что последовательность {0(x, , ), a(x, , )}N ограничена в ( ())+1. Отсюда следует, что A() ограничена в -1 (). (iv) Осталось показать, что A() - F, > 0 для любого (A) с до- статочно большой нормой 1 и любого F -1 (). Рассмотрим множество = { (A) A() - F, 0 } . Покажем, что ограничено в °1 (), тогда, если 1 достаточно боль- шая, то / , то есть A() - F, > 0. Для имеем ((a(x, , ) - f) · + (0(x, , ) - 0)) x 0. (48) Применяя (100), выводим a(x, , ) · + 0(x, , ) (x, ) + (x, ||) - (x). Отсюда, учитывая (48) и применяя неравенство Юнга, находим ( (x, ) + (x, ||) ) x ( a(x, , ) · + 0(x, , ) + (x) ) x (f · + 0 + (x))x ( ( x, |f| 2 ) + ( x, 0 2 )) x + + ( (x, ||) + (x, ) ) x + (x)x. Выберем < min(, ), получим ( (x, ) + (x, ||) ) x 16. Отсюда следует, что 1 17. Ограниченность множества установлена. Таким образом, для дополнительной системы (21) выполнены все условия предложения, теорема доказана. Приложение A. Здесь покажем, что функции 0(x, 0, s) = (x, 0) + (x, |s|) + 0(x), 0 (), (x, s) = (x, |s|) |s| + (x), (), = 1, . . . , , 638 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений. . . c непрерывно дифференцируемыми по функциями Музилака--Орлича (x, ), (x, )1 подчиняются условиям M. Для функции Музилака--Орлича (x, ) имеет место интегральное пред- ставление (x, ) = || 0 (x, ), (49) где (x, ) : R+ R+, причем (x, · ) неубывающая, непрерывная, (x, 0) = 0 для п.в. x и inf x (x, ) > 0 для всех > 0, lim inf x (x, ) = . Из (49) для x , R следуют простейшие неравенства: (x, ) (x, ), (50) (x, ) (x, 2), (51) (x, (x, )) (x, ). (52) Кроме этого, из условия следует , поэтому найдется функ- ция 1() такая, что (x, ) (x) + (x, ), x , R. (53) Соединяя (53), (52), (51), выводим (x, (x, )) (x, 2) + (x). (54) Применяя (15) и выбирая < 1/2, для любых > 0, x , R получаем неравенство (x, (x, )) (x, 2 ) + (x) + (x) (x, ) + (x) (55) с функцией 1(). Благодаря (5), (54), (52), (51) выводим неравенства (x, |0(x, 0, s)|) 1((x, (x, 0)) + (x, (x, |s|)) + (x, 0)) + 3(x) 1(x, 20) + 1(x, 2|s|) + 0(x), (x, |a(x, 0, s)|) 2(x, (x, |s|)) + 2(x, |f|) + 2(x) 2(x, 2|s|) + (x), 0, 1(). Таким образом, оценки (11), (12) установлены. Далее проверим справедливость неравенства (10). Применяя неравенство Юнга и (5), выводим 1 Функции , , интегрируемы в ; удовлетворяет 2-условию; . 639 К о ж е в н и к о в а Л. М., К а ш н и к о в а А. П. 0(x, 0, s)(0 - 0) + a(x, 0, s) · (s - w) ( (x, 0) + (x, |s|) + 0(x) ) (0 - 0) + ( (x, |s|) s |s| + f(x) ) · (s - w) (x, 0)0 + ( (x, |s|) + 0)0 - ( (x, 0) + (x, |s|) + 0 ) 0 + + (x, |s|)|s| - |f||s| - (x, |s|)|w| - |f||w| (x, 0)0 - 2(x, 0) - 1()(x, (x, |s|)) - (x, (x, 0)) + + (x, |s|)|s| - (x, |s|) - (x, (x, |s|)) - - 2 ( )((x, 0) + (x, |f|) ) - 3 ( (x, 4()0) + (x, 4()|w|) ) - (x). Используя неравенства (52), (55), (50), получаем 0(x, 0, s)(0 - 0) + a(x, 0, s) · (s - w) (1 - 3)(x, 0) + (1 - 2 - 1())(x, |s|) - (x). Выбирая < 1/3, < 1/(31), устанавливаем неравенство (10) для любого w R+1. Кроме того, если (x, ) строго возрастающая, то условие (13) также выполнено. Действительно, применяя неравенство Коши--Буняковского, вы- водим ( a(x, 0, s) - a(x, 0, t) ) · (s - t) = ( (x, |s|) s |s| - (x, |t|) t |t| ) · (s - t) ( (x, |s|) - (x, |t|) ) (|s| - |t|). Отметим, что последнее неравенство строгое для неколлинеарных векторов s, t и ввиду монотонности (x, ) условие (13) выполнено. Для коллинеар- ных векторов s = t условие (13) также справедливо. Конкурирующие интересы. Мы заявляем, что у нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разра- ботке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответствен- ность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фунда- ментальных исследований (проект 18-01-00428_a). Библиографический список 1. Browder F. E. Pseudo-monotone operators and nonlinear elliptic boundary value problems on unbounded domains // Proc. Nati. Acad. Sci. USA, 1977. vol. 74, no. 7. pp. 2659-2661. https://doi.org/10.1073/pnas.74.7.2659. 2. Кожевникова Л. М., Камалетдинов А. Ш. Существование решений анизотропных эл- липтических уравнений с переменными показателями нелинейностей в неограниченных областях // Вестн. Волгогр. гос. ун-та, Сер. 1. Мат. Физ., 2016. 5(36). С. 29-41. https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2016.5.4. 640 Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений. . . 3. Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. Существование решений анизотропных эллиптиче- ских уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Матем. сб., 2015. Т. 206, 8. С. 99-126. https://doi.org/10.4213/sm8482. 4. Mihilescu M., Rdulescu V. Neumann problems associated to nonhomogeneous differen- tial operators in Orlicz-Sobolev spaces // Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 2008. vol. 58, no. 6. pp. 2087-2111, arXiv: 0712.2185 [math.AP]. https://doi.org/10.5802/aif.2407. 5. Fan X., Guan C.-X. Uniform convexity of Musielak-Orlicz-Sobolev spaces and applica- tions // Nonlinear Anal., 2010. vol. 73, no. 1. pp. 163-175. https://doi.org/10.1016/j. na.2010.03.010. 6. Benkirane A., Sidi El Vally M. An existence result for nonlinear elliptic equations in Mu- sielak-Orlicz-Sobolev spaces // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 2013. vol. 20, no. 1. pp. 57-75. https://doi.org/10.36045/bbms/1366306714. 7. Sidi El Vally M. Strongly nonlinear elliptic problems in Musielak-Orlicz-Sobolev spaces // Adv. Dyn. Syst. Appl., 2013. vol. 8, no. 1. pp. 115-124. 8. Fan X. Differential equations of divergence form in Musielak-Sobolev spaces and a sub- supersolution method // J. Math. Anal. Appl., 2012. vol. 386, no. 2. pp. 593-604. https:// doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.08.022. 9. Dong G., Fang X. Differential equations of divergence form in separable Musielak-Orlicz- Sobolev spaces // Bound. Value Probl., 2016. vol. 2016, 106. https://doi.org/10.1186/ s13661-016-0612-9. 10. Chlebicka I. A pocket guide to nonlinear differential equations in Musielak-Orlicz spaces // Nonlinear Anal., 2018. vol. 175. pp. 1-27. https://doi.org/10.1016/j.na.2018.05.003. 11. Diening L., Harjulehto P., Hst P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents / Lecture Notes in Mathematics. vol. 2017. Berlin: Springer, 2011. ix+509 pp. https://doi.org/10.1007/978-3-642-18363-8. 12. Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Space / Lecture Notes in Mathematics. vol. 1034. Berlin: Springer, 1983. vi+226 pp. https://doi.org/10.1007/BFb0072210. 13. Рутицкий Я. Б., Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматлит, 1958. 271 с. 14. Gossez J.P. Nonlinear elliptic boundary value problems for equations with rapidly (or slowly) increasing coefficients // Trans. Amer. Math. Soc., 1974. vol. 190, no. 1. pp. 163-205. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1974-0342854-2. 15. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 895 с. 16. Gossez J.-P., Mustonen V. Variational inequalities in Orlicz-Sobolev spaces // Nonlinear Anal., 1987. vol. 11, no. 3. pp. 379-392. https://doi.org/10.1016/0362-546X(87)90053-8. 641 Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 621-643 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) https://doi.org/10.14498/vsgtu1803 MSC: 35J20, 35J25, 35J62 Existence of solutions to quasilinear elliptic equations in the Musielak-Orlicz-Sobolev spaces for unbounded domains © L. M. Kozhevnikova1,2 , A. P. Kashnikova1 1 Sterlitamak Branch of Bashkir State University, 49, Lenin Avenue, Sterlitamak, 453103, Russian Federation. 2 Elabuga Branch of Kazan (Volga Region) Federal University, 89, Kazanskaya st., Elabuga, 423600, Russian Federation. Abstract The paper considers the existence of solutions of the Dirichlet problem for nonlinear elliptic equations of the second order in unbounded domains. Re- strictions on the structure of quasilinear equations are formulated in terms of a special class of convex functions (generalized -functions). Namely, nonlinearities are determined by the Musilak-Orlicz functions such that the complementaries functions obeys the condition 2. The corresponding Musielak-Orlicz-Sobolev space does not have to be reflexive. This fact is a significant problem, since the theorem for pseudomonotone operators is not applicable here. For the class of equations under consideration, the proof of the existence theorem is based on an abstract theorem for additional systems. An impor- tant tool which allowed to generalize available results on the existence of solutions of the considered equations for bounded domains to the case of unbounded domains is an embedding theorem for Musielak-Orlicz-Sobolev spaces. Thus, in this paper, we find conditions on the structure of quasi- linear equations in terms of the Musielak-Orlicz functions sufficient for the solvability of the Dirichlet problem in unbounded domains. In addition, we provide examples of equations which demonstrate that the class of nonlin- earities considered in the paper is wider than non-power nonlinearities and variable exponent nonlinearities. Keywords: Musielak-Orlicz-Sobolev spaces, Dirichlet problem, existence solution, non-reflective space, unbounded domain. Received: 20th July, 2020 / Revised: 20th September, 2020 / Accepted: 16th November, 2020 / First online: 25th December, 2020 Competing interests. We declare that we have no conflicts of interest in the authorship and publication of this article. Research Article cb The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as: K o z h e v n i k o v a L. M., K a s h n i k o v a A. P. Existence of solutions to quasilinear elliptic equations in the Musielak-Orlicz-Sobolev spaces for unbounded domains, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 621-643. https://doi.org/10.14498/vsgtu1803 (In Russian). Authors' Details: Larisa M. Kozhevnikova https://orcid.org/0000-0002-6458-5998 Doctor Phys. & Math. Sci., Professor; Professor; Dept. of Mathematical Analysis; e-mail: kosul@mail.ru Anastasiya P. Kashnikova; Student; e-mail: a.kashnikova98@yandex.ru 642 © Samara State Technical University Existence of solutions to quasilinear elliptic equations Authors' contributions and responsibilities. Each author has participated in the article concept development and in the manuscript writing. The authors are absolutely responsible for submitting the final manuscript in print. Each author has approved the final version of manuscript. Funding. This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00428_a). References 1. Browder F. E. Pseudo-monotone operators and nonlinear elliptic boundary value problems on unbounded domains, Proc. Nati. Acad. Sci. USA, 1977, vol. 74, no. 7, pp. 2659-2661. https://doi.org/10.1073/pnas.74.7.2659. 2. Kozhevnikova L. M., Kamaletdinov A. Sh. Existence of solutions of anisotropic elliptic equations with variable exponents of nonlinearity in unbounded domains, Vestn. Volgogr. Gos. Univ., Ser. 1. Math. Phys., 2016, no. 5(36), pp. 29-41 (In Russian). https://doi.org/ 10.15688/jvolsu1.2016.5.4. 3. Kozhevnikova L. M., Khadzhi A. A. Existence of solutions of anisotropic elliptic equations with nonpolynomial nonlinearities in unbounded domains, Sb. Math., 2015, vol. 206, no. 8, pp. 1123-1149. https://doi.org/10.1070/SM2015v206n08ABEH004491. 4. Mihilescu M., Rdulescu V. Neumann problems associated to nonhomogeneous differen- tial operators in Orlicz-Sobolev spaces, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 2008, vol. 58, no. 6, pp. 2087-2111, arXiv: 0712.2185 [math.AP]. https://doi.org/10.5802/aif.2407. 5. Fan X., Guan C.-X. Uniform convexity of Musielak-Orlicz-Sobolev spaces and applications, Nonlinear Anal., 2010, vol. 73, no. 1, pp. 163-175. https://doi.org/10.1016/j.na.2010. 03.010. 6. Benkirane A., Sidi El Vally M. An existence result for nonlinear elliptic equations in Mu- sielak-Orlicz-Sobolev spaces, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, 2013, vol. 20, no. 1, pp. 57-75. https://doi.org/10.36045/bbms/1366306714. 7. Sidi El Vally M. Strongly nonlinear elliptic problems in Musielak-Orlicz-Sobolev spaces, Adv. Dyn. Syst. Appl., 2013, vol. 8, no. 1, pp. 115-124. 8. Fan X. Differential equations of divergence form in Musielak-Sobolev spaces and a sub- supersolution method, J. Math. Anal. Appl., 2012, vol. 386, no. 2, pp. 593-604. https:// doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.08.022. 9. Dong G., Fang X. Differential equations of divergence form in separable Musielak-Orlicz- Sobolev spaces, Bound. Value Probl., 2016, vol. 2016, 106. https://doi.org/10.1186/ s13661-016-0612-9. 10. Chlebicka I. A pocket guide to nonlinear differential equations in Musielak-Orlicz spaces, Nonlinear Anal., 2018, vol. 175, pp. 1-27. https://doi.org/10.1016/j.na.2018.05.003. 11. Diening L., Harjulehto P., Hst P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents, Lecture Notes in Mathematics, vol. 2017. Berlin, Springer, 2011, ix+509 pp. https://doi.org/10.1007/978-3-642-18363-8. 12. Musielak J. Orlicz Spaces and Modular Space, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1034. Berlin, Springer, 1983, vi+226 pp. https://doi.org/10.1007/BFb0072210. 13. Krasnosel'skii M. A., Rutickii Ja. B. Convex functions and Orlicz spaces. Groningen, Noord- hoff, 1961, xi+249 pp. 14. Gossez J.P. Nonlinear elliptic boundary value problems for equations with rapidly (or slowly) increasing coefficients, Trans. Amer. Math. Soc., 1974, vol. 190, no. 1, pp. 163-205. https:// doi.org/10.1090/S0002-9947-1974-0342854-2. 15. Dunford N., Schwartz J. T. Linear Operators. I: General Theory, Pure and Applied Math- ematics, vol. 7. New York, Interscience Publ., 1958, xiv+858 pp. 16. Gossez J.-P., Mustonen V. Variational inequalities in Orlicz-Sobolev spaces, Nonlinear Anal., 1987, vol. 11, no. 3, pp. 379-392. https://doi.org/10.1016/0362-546X(87)90053-8. 643

About the authors

Larisa Mikhailovna Kozhevnikova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University; Elabuga Branch of Kazan (Volga Region) Federal University

Email: kosul@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Anastasiya Pavlovna Kashnikova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

References

Supplementary files