Численный метод структурной и параметрической идентификации математической модели неполной обратимости деформации ползучести
- Авторы: Радченко В.П.1, Зотеев В.Е.1, Афанасьева Е.А.1
-
Учреждения:
- Самарский государственный технический университет
- Выпуск: Том 28, № 1 (2024)
- Страницы: 73-95
- Раздел: Механика деформируемого твердого тела
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/636534
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu2071
- EDN: https://elibrary.ru/KRTZPA
- ID: 636534
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Разработан новый численный метод параметрической и структурной идентификации физически нелинейной теории обратимости деформации ползучести, справедливой в пределах первой и второй стадий. В качестве базовой экспериментальной информации используется серия кривых стационарной ползучести. Задача сведена к нелинейному регрессионному анализу определения оценок случайных параметров на основе временных рядов последовательности результатов наблюдений деформации ползучести при различных постоянных напряжениях с использованием разностных уравнений. Полученные соотношения между коэффициентами разностного уравнения и параметрами нелинейной регрессии позволяют свести задачу к оценке коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели. Разработаны соответствующие итерационные алгоритмы уточнения оценок параметров с любой заданной точностью. Выполнена параметрическая и структурная идентификация теории неполной обратимости деформации ползучести для стали ЭИ736 (500 ∘C) и сплавов ЭИ437А (700 ∘C), ВЖ98 (900 ∘C), ЭП693 (700 ∘C). Приводятся численные значения оценок параметров моделей для этих сплавов. Выполнена проверка адекватности построенных математических моделей, наблюдается соответствие расчетных и экспериментальных данных. Экспериментальные данные для всех рассмотренных материалов принадлежат соответствующим расчетным доверительным интервалам для деформации ползучести, что свидетельствует о достоверности полученных оценок параметров моделей.
Полный текст
Введение
Во многих работах, например [1–4], отмечалось существенное влияние случайных микронеоднородных возмущений механических характеристик материала на поля напряжений и деформаций и, как следствие этого, — построение соответствующих стохастических реологических моделей для расчетов на прочность. Особую актуальность эта проблема приобретает при построении моделей ползучести, где разброс реологической деформации составляет до 50–70 %, и такие результаты приходится рассматривать как приемлемые [1, 4–6]. Как правило, построение стохастических уравнений ползучести базируется на обобщении соответствующих детерминированных соотношений, в которых часть параметров и функций полагаются случайными, а остальные — детерминированными [5–9]. С использованием стохастических уравнений установившейся ползучести решен ряд краевых задач для элементов конструкций из микронеоднородных материалов [10–15]. Анализ экспериментальных данных по ползучести материалов, представленных в работах [1, 16–22], показывает, что поведение реономных материалов отличается большим разнообразием. Описание всех особенностей их деформирования не укладывается в рамки наиболее употребительных определяющих уравнений на основе теорий упрочнения, течения, старения, кинетических уравнений Ю. Н. Работнова и других [23]. Основной недостаток подавляющего большинства теорий ползучести заключается в невозможности описать частичную обратимость деформации ползучести после полной разгрузки. Разновидности теории наследственности не приспособлены для описания отмеченного эффекта, поскольку теоретическая величина возврата оказывается слишком большой по сравнению с экспериментально наблюдаемой [19, 20]. К тому же область применимости большинства теорий ограничена случаем подобия стационарных кривых ползучести в целом. Вариант теории ползучести в пределах первой и второй стадий, учитывающей частичную обратимость реологической деформации, предложен Ю. П. Самариным [22] и обобщен в более поздней работе [20] для учета всех трех стадий ползучести.
Однако все представленные в работах [1, 16–23] уравнения состояния являются детерминированными, процедуры идентификации параметров моделей, как правило, являются эвристическими и многоступенчатыми с использованием некоторого набора характерных точек на кривых стационарной ползучести. Отсутствие алгоритмов статистической обработки экспериментальных данных и статистического анализа результатов вычислений не позволяют строго оценить адекватность построенных моделей ползучести и достоверность оценок их параметров. В связи с этим целью данной работы является разработка метода идентификации параметров реологической модели неполной обратимости деформации ползучести [22], который принципиально устраняет вышеизложенные недостатки известных методов.
1. Численный метод параметрической идентификации аппроксимации кривых ползучести при постоянных напряжениях
В соответствии с теорией неполной обратимости деформации ползучести при переменных напряжениях $\sigma=\sigma(t) \geqslant 0$ при наличии первой и второй стадий имеем следующую математическую модель [22]:
\[ \begin{equation}
\begin{gathered}
p(t)=u(t)+v(t)+w(t), \\
\begin{cases}
\displaystyle
u(t)= \sum\limits_{i=1}^s u_i(t),\\
\dot u_i(t)=\alpha_i \Bigl[ \beta b_i \varphi_i \Bigl(\dfrac{\sigma(t)}{\sigma_*}\Bigr)-u_i(t)\Bigr],\\
\displaystyle
v(t)=\sum\limits_{i=1}^s v_i(t),\\
\dot v_i(t)=
\begin{cases}
\alpha_i \Bigl[ (1-\beta) b_i \varphi_i \Bigl(\dfrac{\sigma(t)}{\sigma_*}\Bigr)-v_i\Bigl(\dfrac{\sigma(t)}{\sigma_*}\Bigr)\Bigr], \\
(1-\beta)b_i \varphi_i \Bigl(\dfrac{\sigma(t)}{\sigma_*}\Bigr) > v_i(t), \\
0, (1-\beta)b_i \varphi_i \Bigl(\dfrac{\sigma(t)}{\sigma_*}\Bigr) \leqslant v_i(t); \\
\end{cases}
\end{cases} \\
\dot w(t)=f \Bigl(\frac{\sigma(t)}{\sigma_*}\Bigr),
\end{gathered}
\end{equation} \tag{1} \]
где $p(t)$ — деформации ползучести; $u(t)$, $v(t)$, $w(t)$ — вязкоупругая, вязкопластическая и вязкая компонента $p(t)$ соответственно; $u_i(t)$, $v_i(t)$ — компоненты вязкоупругой и вязкопластической компонент соответственно; $\sigma_*$, $\alpha_i$, $b_i$, $\beta \in [0{,}1]$ — параметры модели; $\varphi_i ( {\sigma}/{\sigma_*} )$ и $f ( {\sigma}/{\sigma_*} )$ — функции от безразмерных напряжений.
Из (1) следует, что $u(t)+v(t)$ описывает деформацию, накопленную на первой стадии ползучести при постоянном напряжении, при этом при $\beta=1$ эта деформация полностью обратима после разгрузки, а при $\beta=0$ — полностью необратима.
Исходной информацией для определения параметров и функций соотношений (1) являются экспериментально полученные кривые стационарной ползучести при действии постоянного напряжения с последующей разгрузкой:
\[ \begin{equation*}
\sigma (t) =
\begin{cases}
\sigma^j, & 0 < t \leqslant T, \\
0, & t > T, \; j=\overline{1,m}.
\end{cases}
\end{equation*} \]
$m$ — количество кривых ползучести, $\sigma^j=\mathrm{const}$. Величина $\sigma_*$ в (1) полагается равной одному из напряжений $\sigma^j$, т.е. $\sigma_*=\sigma^j$, $1 \leqslant j \leqslant m$.
Модель (1) применима при следующих ограничениях: материал является нестареющим; напряжение $\sigma(t)$ не изменяет знака и не достигает предела текучести, третья стадия отсутствует, температура постоянна.
При постоянном напряжении $\sigma=\sigma^j= \mathrm{const}$ $(0 \leqslant t \leqslant T )$ интегрирование (1) дает аналитическое выражение для кривой ползучести вида
\[ \begin{equation}
p(t)= \sum\limits_{i=1}^s a_i \bigl[1-\exp(-\alpha_it)\bigr]+ct,
\end{equation} \tag{2} \]
где $a_i=b_i \varphi_i ( {\sigma^j}/{\sigma_*})$, $c=f({\sigma^j}/{\sigma_*})$.
Ставится задача достоверной оценки параметров аппроксимации (2) по результатам эксперимента $p(t_k)$, $k=0, 1, 2, \dots, N-1$, где $N$ — объем выборки результатов наблюдений, полученных в ходе промышленного или научно-технического эксперимента. Аппроксимация (2) содержит $2s+1$ параметров (как правило, количество экспоненциальных составляющих $s \leqslant 3$), достоверная оценка которых по результатам наблюдений является основной проблемой параметрической идентификации. При этом одновременно решается задача структурной идентификации, под которой понимается оценка числа экспоненциальных составляющих $s$ в модели (2).
Одним из известных методов решения этой задачи является метод, в основе которого лежит последовательное выделение экспоненциальных составляющих при аппроксимации кривых ползучести [24]. Однако этот метод имеет ряд существенных недостатков: требование выпуклости и монотонности функции, описывающей экспериментальную кривую ползучести, что не всегда выполняется в практике эксперимента и предварительно необходимо выполнять методы непараметрического выравнивания опытных данных; применение интерполяции к предварительно сглаженным экспериментальным данным, что существенно искажает оценки параметров экспоненциальных составляющих при наличии случайной помехи в результатах наблюдений. Однако основным недостатком этого метода является детерминированный подход к решению задачи идентификации.
Принципиально устранить указанный недостаток можно на основе численных методов нелинейного регрессионного анализа [26, 27]. При таком подходе задача параметрической идентификации решается на основе нелинейной регрессионной зависимости, построенной с учетом функциональной зависимости (2):
\[ \begin{equation}
y_k= \sum\limits_{i=1}^s a_i \left(1-\exp(-\alpha_i t_k)\right)+ct_k+\varepsilon_k, \quad
k=0, 1, 2, \dots , N-1,
\end{equation} \tag{3} \]
где $y_k=p(t_k)$ — результаты эксперимента объемом $N$, $\varepsilon_k$ — случайное возмущение в результатах наблюдений, $0 \leqslant k \leqslant N-1$. При этом среднеквадратичные оценки параметров модели (3) находятся из условия минимизации величины отклонения построенной модели $\hat{y}_k=\displaystyle \sum\limits_{i=1}^s \hat{a}_i \bigl(1-\exp(-\hat{\alpha}_i t_k)\bigr)+\hat{c}t_k$ от результатов наблюдения $y_k$, $0 \leqslant k \leqslant N-1$:
\[ \begin{equation}
\|y-\hat{y}\|^2=\|e\|^2 \to \min.
\end{equation} \tag{4} \]
Нелинейный характер регрессионной модели (3) обуславливает одну из основных проблем при оценивании параметров модели — проблему выбора начального приближения вектора оценок, обеспечивающего сходимость итерационной процедуры уточнения среднеквадратичных оценок к параметрам, удовлетворяющим критерию (4). Кроме того, большое число идентифицируемых переменных, а также неравномерность вклада различных экспоненциальных составляющих в наблюдаемый выходной сигнал может привести к проблеме вычислительной устойчивости оценок, без решения которой невозможно не только обеспечить достоверность результатов, но даже реализовать необходимые алгоритмы вычислений.
В работах [28, 29] задача параметрической идентификации аппроксимации кривой ползучести с экспоненциальным ядром решается на основе разностных уравнений. При таком подходе строится модель временного ряда, описывающая последовательность результатов наблюдений деформации ползучести. Известные соотношения между коэффициентами разностного уравнения и параметрами нелинейной регрессии позволяют свести задачу к оценке коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели [30]. Это дает возможность не только решить проблему выбора начального приближения вектора оценок, но и непосредственно находить оценки параметров модели кривой ползучести, а также проводить статистический анализ результатов вычислений.
По сравнению с известным методом [22] построенная на основе разностных уравнений модель более адекватна результатам наблюдений, среднеквадратичные оценки параметров более достоверны и для них могут быть найдены доверительные интервалы, однако, несмотря на это, проблема устойчивости вычисления оценок остается по-прежнему актуальной. Кроме того, метод [28, 29] не позволяет решить задачу структурной идентификации — определить число экспоненциальных составляющих в модели на основе статистических методов обработки результатов наблюдений.
В данной работе рассматривается новый численный метод оценки параметров математической модели кривой ползучести, в котором учтены основные достоинства обоих известных методов:
- последовательное выделение из модели (3) каждой экспоненциальной составляющей $a_i \exp(-\alpha_i t_k)$, $i=1, 2, 3$, как в известном методе [22];
- параметрическая идентификация на основе разностных уравнений каждой отдельной экспоненциальной составляющей, в том числе статистический анализ результатов расчета.
Такой подход не только позволяет существенно повысить устойчивость вычислений, а, следовательно, и эффективность оценок параметров $a_i$ и $\alpha_i$, но и дает возможность определить количество составляющих, в совокупности обеспечивающих заданную адекватность построенной модели $\hat{y}(t)$ результатам эксперимента (например, не менее $R^2=97\,\%$, где $R^2$ — коэффициент детерминации).
Следует отметить, что поскольку в алгоритме метода используются разностные уравнения, описывающие экспоненциальные составляющие, перед его применением следует провести предварительную обработку кривой ползучести, которая заключается в формировании равномерной выборки результатов эксперимента $y_k$, $0 \leqslant k \leqslant N-1$, с шагом $\tau$, равным наименьшему промежутку времени измерений деформации ползучести. Объем выборки $N$, сформированной в результате предварительной обработки, вычисляется по формуле $N= [ {t_{\max}}/{\tau}]$, где $t_{\max}$ — заданное время наблюдений.
Предлагаемый численный метод включает следующие основные этапы.
Этап 1. На первом этапе строится аппроксимация второй стадии ползучести:
\[ \begin{equation}
\hat{y}^{}_{1k}=A+c t_k.
\end{equation} \tag{5} \]
В равенстве (5) параметр $A$ равен сумме коэффициентов в экспоненциальных составляющих: $A=\sum_{i=1}^s a_i$. Параметрическая идентификация линейной модели (5) проводится на множестве точек $t_k$, $n_1\leqslant k\leqslant N-1$, в которых экспоненциальной составляющей можно пренебречь:
\[ \begin{equation}
y_k=A-\sum\limits_{i=1}^sa_i \exp (-\alpha_i t_k ) + ct_k + \varepsilon_k \approx A+ct_k+\varepsilon_k,
\quad k= n_1 , n_1+1 , \dots, N-1.
\end{equation} \tag{6} \]
Момент времени $t_k$ $(k \geqslant n_1)$, начиная с которого экспоненты считаются полностью затухающими и не влияют на вторую стадию, определяется из условия
\[ \begin{equation*}
{\Delta y'_k \over \max |y'_k|} \approx {y_k-2y_{k-1}+y_{k-2} \over y_1}< 0.001, \quad
k= 2, 3, \dots, N-1.
\end{equation*} \]
Среднеквадратичные оценки параметров линейной регрессии (6) находятся из условия
\[ \begin{equation*}
\|y-\hat{y}_1\|^2=\sum \limits_{k=n_1}^{N-1} (y_k-\hat{y}_{1k})^2 =\sum \limits_{k=n_1}^{N-1}(y_k-\hat{A}-\hat{c}t_k)^2 \to \min
\end{equation*} \]
на основе решения нормальной системы уравнений
\[ \begin{equation*}
\begin{cases}
\displaystyle
\hat{A} \cdot (N-n_1 )+\hat{c} \cdot \sum _{k=n_1}^{N-1} t_k = \sum _{k=n_1}^{N-1} y_k; \\
\displaystyle
\hat{A} \cdot \sum _{k=n_1}^{N-1} t_k +\hat{c} \cdot \sum _{k=n_1}^{N-1} t_k^2 = \sum _{k=n_1}^{N-1}t_k y_k
\end{cases}
\end{equation*} \]
по формулам
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\hat{A} = {\sum \limits_{k=n_1}^{N-1}y_k \cdot \sum \limits_{k=n_1}^{N-1}t^2_k - \sum \limits_{k=n_1}^{N-1}t_ky_k \cdot \sum \limits_{k=n_1}^{N-1}t_k\over (N-n_1 )\sum \limits_{k=n_1}^{N-1}t^2_k -
\Bigl(\sum \limits_{k=n_1}^{N-1}t_k\Bigr)^2}, \\
\displaystyle
\hat{c}={ (N-n_1 )\sum \limits_{k=n_1}^{N-1}t_ky_k - \sum \limits_{k=n_1}^{N-1}y_k \cdot \sum \limits_{k=n_1}^{N-1}t_k \over \sum \limits_{k=n_1}^{N-1}t^2_k - \Bigl(\sum \limits_{k=n_1}^{N-1}t_k\Bigr)^2}.
\end{array}
\end{equation} \tag{7} \]
Результатом расчетов, выполненных на первом этапе алгоритма рассматриваемого численного метода, является построенная аппроксимация для второй стадии ползучести:
\[ \begin{equation}
\hat{y}_{1k}=\hat{A}+\hat{c}t_k, \quad k=0, 1, 2, \dots, N-1.
\end{equation} \tag{8} \]
Этап 2. На втором этапе находятся среднеквадратичные оценки параметров первой экспоненциальной составляющей:
\[ \begin{equation}
f_k=-a_1 \exp [-\alpha_1 \tau (k-1)], \quad k=1, 2, \dots, N.
\end{equation} \tag{9} \]
Вначале формируется выборка результатов расчета $y^{(1)}_k=y_k-\hat{y}_{1k}$, $k=0, 1, 2, \dots, N-1$. Среднеквадратичные оценки параметров $a_1$ и $\alpha_1$ вычисляются на основе нелинейной регрессии
\[ \begin{equation*}
y^{(1)}_k=- a_1 \exp (- \alpha_1 \tau k) + \varepsilon_k, \quad k=0, 1, 2, \dots, N-1,
\end{equation*} \]
из условия $\|\hat{\varepsilon}\|^2=\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{N-1}\bigl[y^{(1)}_k+\hat{a}_1 \exp (-\hat{\alpha}_1 \tau k)\bigr]^2 \to \min$.
В формате данного метода эта задача решается с использованием разностного уравнения, построенного на основе дискретной функции (9):
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
f_1=\lambda_2; &\\
f_k=\lambda_1f_{k-1}, & k= 1, 2, \dots, N,
\end{cases}
\end{equation} \tag{10} \]
где $\lambda_1= \exp(-\alpha_1 \tau)$, $\lambda_2=-a_1$.
Введем обозначения: $z_k=y^{(1)}_k$, $0 \leqslant k\leqslant N-1$. Тогда с учетом равенства $f_{k+1}=z_k-\varepsilon_k$, $0 \leqslant k\leqslant N-1$, из системы (10) получаем
\[ \begin{equation}
\begin{cases}
z_0=\lambda_2+\eta_0; &\\
z_k=\lambda_1 z_{k-1}+\eta_k, & k= 1, 2, \dots, N-1;\\
\eta_0=\varepsilon_0; &\\
\eta_k=\varepsilon_k-\lambda_1\varepsilon_{k-1}, & k= 1, 2, \dots, N-1
\end{cases}
\end{equation} \tag{11} \]
или в матричной форме:
\[ \begin{equation*}
z=F \lambda+\eta,
\end{equation*} \]
где $z=\bigl(z_0,z_1, \dots, z_{N-1}\bigr)^\top$, $\eta=\bigl(\varepsilon_0, \varepsilon_1-\lambda_1 \varepsilon_0, \varepsilon_2-\lambda_1\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_{N-1}-\lambda_1\varepsilon_{N-2}\bigr)^\top$, $\lambda=\left(\lambda_1, \lambda_2\right)^\top$, $F=
\begin{bmatrix}
1& 0 & 0 & \dots & 0\\
0& z_0 & z_1 & \dots & z_{N-2}
\end{bmatrix}^\top$, ${}^\top$ — символ транспонирования.
Начальные оценки параметров нелинейной регрессии (11) находятся из условия $\|\hat{\eta}\|^2=\|z-F\lambda\|^2 \to \min$ по формуле $\hat{\lambda}^{(0)}= (F^\top F )^{-1}F^\top z$, откуда получаем оценки
\[ \begin{equation}
\hat{\lambda}_1^{(0)}= {\sum\limits_{k=1}^{N-1}z_kz_{k-1}\over \sum\limits_{k=1}^{N-1}z^2_{k-1}}, \qquad \hat{\lambda}_2^{(0)}=z_0.
\end{equation} \tag{12} \]
Для уточнения среднеквадратичных оценок параметров математической модели (11) с учетом выполнения условия $\|\hat{\varepsilon}\|^2 \to \min$ рассмотрим нелинейную регрессию относительно коэффициентов разностного уравнения
\[ \begin{equation}
z_{k-1}=f_k(\lambda_1, \lambda_2)+ \varepsilon_k, \quad k= 1, 2, \dots, N,
\end{equation} \tag{13} \]
где нелинейная дискретная функция $f_k(\lambda_1, \lambda_2)$ описывается рекуррентной формулой (10).
Итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок нелинейной регрессии (13) описывается формулой [26, 27, 30]
\[ \begin{multline}
\hat{\lambda}^{(i+1)}=\hat{\lambda}^{(i)}+
\bigl[ \bigl(W (\hat{\lambda}^{(i)} )\bigr)^\top W (\hat{\lambda}^{(i)} )\bigr]^{-1}
\bigl(W (\hat{\lambda}^{(i)} )\bigr)^\top
\bigl[y^{(1)}-f (\hat{\lambda}^{(i)} )\bigr],
\\
i=0, 1, 2, \dots,
\end{multline} \tag{14} \]
где $W (\lambda_1, \lambda_2 )$ — матрица Якоби размера $ [N {\times} 2 ]$, элементы которой имеют вид
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{l}
\displaystyle
w_{1k} (\lambda_1, \lambda_2 )={\partial f_k (\lambda_1, \lambda_2 )\over \partial \lambda_1}=
\begin{cases}
\qquad \qquad \qquad 0, & k=1;\\
f_{k-1} (\lambda_1, \lambda_2 )+\lambda_1w_{1,k-1} (\lambda_1, \lambda_2 ), &
2\leqslant k\leqslant N;
\end{cases}
\\
\displaystyle
w_{2k} (\lambda_1, \lambda_2 )={\partial f_k (\lambda_1, \lambda_2 )\over \partial \lambda_2}=
\begin{cases}
\qquad \quad 0, & k=1;\\
\lambda_1w_{2,k-1} (\lambda_1, \lambda_2 ),& 2\leqslant k\leqslant N.
\end{cases}
\end{array}
\end{equation*} \]
Начальное приближение в рекуррентной формуле (14) находится по формулам (12). Процесс уточнения среднеквадратичных оценок $\hat{\lambda}^{(i)}$ заканчивается при выполнении условия
\[ \begin{equation}
\|\hat{\lambda}^{(i+1)}-\hat{\lambda}^{(i)}\|<0.001 \|\hat{\lambda}^{(i)}\|.
\end{equation} \tag{15} \]
С учетом полученных среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения можно найти оценки параметров первой экспоненциальной составляющей:
\[ \begin{equation}
\hat{a}_1=-\hat{\lambda}^{(i)}_2, \quad \hat{\alpha}_1=-\dfrac{1}{\tau} \ln \hat{\lambda}^{(i)}_1.
\end{equation} \tag{16} \]
и записать ее зависимость в виде
\[ \begin{equation}
\hat{y}^{(1)}_k=-\hat{a}_1 \exp (-\hat{\alpha}_1t_k), \quad k= 0, 1, 2, \dots, N-1.
\end{equation} \tag{17} \]
На основе полученных выше результатов можно перейти к решению задачи уточнения среднеквадратичных оценок параметров нелинейной регрессии (3) при использовании одной экспоненциальной составляющей.
На этом шаге с учетом найденных ранее оценок коэффициентов разностного уравнения $\hat{\lambda}^{(i)}_1$ и $\hat{\lambda}^{(i)}_2$ (формула (14)), а также оценки $\hat{c}$ (формула (7)) вычисляется вектор $\hat{\mu}^{(0)}= \bigl(\hat{a}^{(0)}_1, \hat{\alpha}^{(0)}_1, \hat{c}^{(0)}\bigr)^\top$ начальных оценок параметров функциональной зависимости
\[ \begin{equation*}
f_k(\mu)=a_1\bigl[1-\exp (-\alpha_1t_k)\bigr]+ct_k, \quad k=0, 1, 2, \dots, N-1,
\end{equation*} \]
по формулам
\[ \begin{equation*}
\hat{a}^{(0)}_1=-\hat{\lambda}^{(i)}_2, \quad
\hat{\alpha}^{(0)}_1=-\dfrac{1}{\tau} \ln \hat{\lambda}^{(i)}_1, \quad
\hat{c}^{(0)}=\hat{c}.
\end{equation*} \]
Далее находятся элементы матрицы Якоби $W(\mu)$ размера $ [N {\times} 3]$:
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{l}
w_{k1}(\mu)=\dfrac{\partial f_k (\mu)}{\partial a_1}=1-\exp(-\alpha_1t_k), \quad k=0, 1, \dots, N-1; \\
w_{k2}(\mu)=\dfrac{\partial f_k (\mu)}{\partial \alpha_1}=a_1t_k\exp(-\alpha_1t_k), \quad k=0, 1, \dots, N-1; \\
w_{k3}(\mu)=\dfrac{\partial f_k (\mu)}{\partial c}=t_k, \quad k=0, 1, \dots, N-1.
\end{array}
\end{equation*} \]
Итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок нелинейной регрессии (3) при использовании одной экспоненциальной составляющей описывается формулой
\[ \begin{multline}
\hat{\mu}^{(i+1)}=\hat{\mu}^{(i)}+ \bigl[\bigl(W (\hat{\mu}^{(i)} )\bigr)^\top W
(\hat{\mu}^{(i)} )\bigr]^{-1}
\bigl(W (\hat{\mu}^{(i)} ) \bigr)^\top
\bigl[y-f (\hat{\mu}^{(i)} )\bigr],
\\
i=0, 1, 2, \dots.
\end{multline} \tag{18} \]
Процесс уточнения среднеквадратичных оценок $\hat{\mu}^{(i)}$ заканчивается при выполнении условия
\[ \begin{equation}
\|\hat{\mu}^{(i+1)}-\hat{\mu}^{(i)}\|< 0.001\|\hat{\mu}^{(i)}\|.
\end{equation} \tag{19} \]
Результатом расчетов, выполненных на этом шаге алгоритма рассматриваемого численного метода, является построенная аппроксимация кривой ползучести с одной экспоненциальной составляющей:
\[ \begin{equation}
\hat{y}_k=\hat{a}_1\bigl[1-\exp(-\hat{\alpha}_1t_k)\bigr]+\hat{c}t_k, \quad
k=0, 1, 2, \dots, N-1,
\end{equation} \tag{20} \]
в которой оценки параметров соответствуют элементам вектора $\hat{\mu}^{(i+1)}$:
\[ \begin{equation*}
\hat{a}_1=\hat{\mu}_1^{(i+1)},\quad
\hat{\alpha}_1=\hat{\mu}_2^{(i+1)},\quad
\hat{c}=\hat{\mu}^{(i+1)}_3.
\end{equation*} \]
Для вычисления дисперсий величин $a_1$, $\alpha_1$, $c$ находится матрица
\[ \begin{equation*}
V[\mu]= (W^\top W )^{-1}s^2_{\text{ост}},
\end{equation*} \]
где $s^2_{\text{ост}}=\displaystyle \frac{1}{N-3} \sum\limits_{i=0}^{N-1} (y_k-\hat{y}_k )^2$.
Диагональные элементы $V_{11}(\mu)=D(a_1)$, $V_{22}(\mu)=D(\alpha_1)$ и $V_{33}(\mu)=D(c)$ задают дисперсию параметров $a_1$, $\alpha_1$ и $c$.
На заключительном шаге второго этапа решается задача проверки адекватности построенной модели результатам наблюдений и, как следствие, целесообразности использования в модели других экспоненциальных составляющих. Для этого могут быть выбраны различные критерии адекватности модели.
Например, можно использовать относительную величину среднеквадратической нормы отклонения аппроксимации (20) от данных эксперимента:
\[ \begin{equation}
h, \,\% = \Biggl( {\sum \limits_{k=0}^{N-1}\left(y_k-\hat{y}_k\right)^2\over \sum \limits_{k=0}^{N-1}y^2_k } \Biggr)^{1/2} \cdot 100 \,\%.
\end{equation} \tag{21} \]
В качестве другого критерия адекватности модели можно использовать «коэффициент детерминации» $R^2$ %, который определяется через выборочный коэффициент множественной корреляции (коэффициент корреляции между случайными векторами $y$ и $\hat{y}$:
\[ \begin{equation}
R={\sum \limits_{k=0}^{N-1} (y_k-\overline{y} ) (\hat{y}_k-\overline{\hat{y}} )
\over
\biggl({\sum \limits_{k=0}^{N-1} (y_k-\overline{y})^2}\biggr)^{1/2}
\biggl({\sum \limits_{k=0}^{N-1} (\hat{y}_k-\overline{\hat{y}} )^2\biggr)^{1/2}}},
\quad
R^2, \,\% = R^2 \cdot 100 \,\%.
\end{equation} \tag{22} \]
Условием адекватности построенной модели результатам эксперимента можно считать выполнение одного из неравенств
\[ \begin{equation}
h, \% \leqslant 3\,\%, \qquad R^2, \% \geqslant 97\,\%.
\end{equation} \tag{23} \]
Этап 3. Если условия (23) не выполняются, то следует перейти к третьему этапу численного метода — выделению в соотношении для кривой ползучести (3) второй экспоненциальной составляющей: $a_2\bigl[1-\exp(-\alpha_2 t_k)\bigr]$.
При решении этой задачи используются результаты, полученные на первых двух этапах: построенные аппроксимации второй стадии ползучести (8) и первой экспоненциальной составляющей (17). На первом шаге этого этапа формируется выборка результатов расчета $y^{(2)}_k=y_k-\hat{y}_{1k}-\hat{y}^{(1)}_k$, $k =0, 1, 2, \dots, N-1$. Для этой выборки рассматривается аппроксимация второй экспоненциальной составляющей вида
\[ \begin{equation*}
f_k=-a_2 \exp \bigl[-\alpha_2 \tau (k-1)\bigr], \quad k=1, 2, \dots, N.
\end{equation*} \]
Среднеквадратичные оценки параметров $a_2$ и $\alpha_2$ вычисляются с применением нелинейной регрессии
\[ \begin{equation*}
y^{(2)}_k=- a_2 \exp (- \alpha_2 \tau k) + \varepsilon_k, \quad k=0, 1, 2, \dots, N-1,
\end{equation*} \]
из условия $\|\hat{\varepsilon}\|^2= \displaystyle \sum \limits_{k=0}^{N-1}\bigl[y^{(2)}_k+\hat{a}_2 \exp (-\hat{\alpha}_2 \tau k)\bigr]^2 \to \min$.
Эта задача решается на основе алгоритма, описанного выше на втором этапе численного метода, с использованием формул (10)–(15) с учетом обозначений $z_k=y^{(2)}_k$, $0 \leqslant k \leqslant N-1$, $\lambda_1=\exp(-\alpha_2 \tau)$ и $\lambda_2=-a_2$.
Благодаря полученным среднеквадратичным оценкам коэффициентов разностного уравнения можно найти оценки параметров второй экспоненциальной составляющей:
\[ \begin{equation}
\hat{a}_2=-\hat{\lambda}^{(i)}_2, \quad \hat{\alpha}_2=-\dfrac{1}{\tau} \ln \hat{\lambda}^{(i)}_1
\end{equation} \tag{24} \]
и записать ее выражение в виде
\[ \begin{equation*}
\hat{y}^{(2)}_k=- \hat{a}_2 \exp (- \hat{\alpha}_2 \tau k) + \varepsilon_k, \quad k=0, 1, 2, \dots, N-1.
\end{equation*} \]
На основе полученных выше результатов можно перейти к решению задачи уточнения среднеквадратичных оценок параметров нелинейной регрессии (3) при использовании двух экспоненциальных составляющих.
На этом шаге с учетом найденных на предыдущих шагах оценок параметров экспоненциальных составляющих (формулы (16) и (24)), а также оценки $\hat{c}$ (формула (7)) вычисляется вектор $\hat{\mu}^{(0)}=\bigl(\hat{a}^{(0)}_1, \hat{\alpha}^{(0)}_1, \hat{a}^{(0)}_2, \hat{\alpha}^{(0)}_2, \hat{c}^{(0)}\bigr)^\top$ начальных оценок параметров функциональной зависимости
\[ \begin{equation*}
f_k(\mu)=a_1\bigl[1-\exp (-\alpha_1t_k)\bigr]+a_2\bigl[1-\exp (-\alpha_2t_k)\bigr]+ct_k, \quad k=0, 1, 2, \dots, N-1,
\end{equation*} \]
по формулам
\[ \begin{equation*}
\hat{a}^{(0)}_1=\hat{a}_1,\quad \hat{\alpha}^{(0)}_1=\hat{\alpha}_1,\quad
\hat{a}^{(0)}_2=\hat{a}_2,\quad \hat{\alpha}^{(0)}_2=\hat{\alpha}_2,\quad \hat{c}^{(0)}=\hat{c}.
\end{equation*} \]
Далее находятся элементы матрицы Якобы $W(\mu)$ размера $ [N {\times} 5]$:
\[ \begin{equation}
w_{k1}(\mu)={\partial f_k (\mu)\over \partial a_1}=1-\exp(-\alpha_1t_k), \quad k=0, 1, \dots, N-1;
\end{equation} \tag{25} \]
\[ \begin{equation}
w_{k2}(\mu)={\partial f_k (\mu)\over \partial \alpha_1}=a_1t_k\exp(-\alpha_1t_k), \quad k=0, 1, \dots, N-1;
\end{equation} \tag{26} \]
\[ \begin{equation}
w_{k3}(\mu)={\partial f_k (\mu)\over \partial a_2}=1-\exp(-\alpha_2t_k), \quad k=0, 1, \dots, N-1;
\end{equation} \tag{27} \]
\[ \begin{equation}
w_{k4}(\mu)={\partial f_k (\mu)\over \partial \alpha_2}=a_2t_k\exp(-\alpha_2t_k), \quad k=0, 1, \dots, N-1;
\end{equation} \tag{28} \]
\[ \begin{equation}
w_{k5}(\mu)={\partial f_k (\mu)\over \partial c}=t_k, \quad k=0, 1, \dots, N-1.
\end{equation} \tag{29} \]
Итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок нелинейной регрессии (3) при использовании двух экспоненциальных составляющих описывается формулой (18). Процесс уточнения среднеквадратичных оценок $\hat{\mu}^{(i)}$ заканчивается при выполнении условия (19). Результатом расчетов, выполненных на этом шаге алгоритма рассматриваемого численного метода, является построенная аппроксимация кривой ползучести с двумя экспоненциальными составляющими:
\[ \begin{equation*}
\hat{y}_k=\hat{a}_1\bigl[1-\exp(-\hat{\alpha}_1t_k)\bigr]+
\hat{a}_2\bigl[1-\exp(-\hat{\alpha}_2t_k)\bigr]+\hat{c}t_k, \quad k=0, 1, 2,\dots, N-1,
\end{equation*} \]
в которой оценки параметров соответствуют элементам вектора $\hat{\mu}^{(i+1)}$:
\[ \begin{equation*}
\hat{a}_1=\hat{\mu}_1^{(i+1)},\quad \hat{\alpha}_1=\hat{\mu}_2^{(i+1)},\quad
\hat{a}_2=\hat{\mu}_3^{(i+1)},\quad \hat{\alpha}_2=\hat{\mu}_4^{(i+1)}, \quad
\hat{c}=\hat{\mu}^{(i+1)}_5.
\end{equation*} \]
Для вычисления дисперсий величин $a_1$, $\alpha_1$, $a_2$, $\alpha_2$ и $c$ находится матрица $V[\mu] = (W^\top W )^{-1}s^2_{\text{ост}}$, диагональные элементы которой $V_{11}(\mu)=D(a_1)$, $V_{22}(\mu)=D(\alpha_1)$, $V_{33}(\mu)=D(a_2)$, $V_{44}(\mu)=D(\alpha_2)$, $V_{55}(\mu)=D(c)$ и задают дисперсию величин $a_1$, $\alpha_1$, $a_2$, $\alpha_2$ и $c$.
На заключительном шаге третьего этапа решается задача проверки адекватности построенной модели результатам наблюдений и, как следствие, целесообразности использования в модели третьей экспоненциальной составляющей. Для этого следует применить критерии адекватности модели, представленные соотношениями (21) или (22).
Этап 4. Если условия (23) не выполняются, то следует перейти к четвертому этапу численного метода — выделению в соотношении для кривой ползучести (3) третьей экспоненциальной составляющей: $a_3 \bigl[1-\exp (-\alpha_3 t_k)\bigr]$.
Алгоритм вычисления среднеквадратичных оценок параметров третьей экспоненциальной составляющей аналогичен процедурам, описанным выше на втором и третьем этапах численного метода. В основе этого алгоритма лежит выборка результатов расчета:
\[ \begin{equation*}
y_k^{(3)}=y_k-\hat{y}_{1k}-y_k^{(1)}-y_k^{(2)},\quad k=0, 1, 2, \dots, {N-1}.
\end{equation*} \]
При уточнении среднеквадратичных оценок параметров нелинейной регрессии (3) с тремя экспоненциальными составляющими на основе итерационной процедуры (18) матрица Якоби $W(\mu)$ имеет размер $[N {\times} 7]$ и содержит уже семь столбцов $w_{kj}$, $ 1\leqslant j \leqslant 7$, первые четыре из которых описываются формулами (25), (26), (27), (28), последний седьмой — формулой (29), а пятый и шестой — формулами
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
w_{k5}(\mu)=\dfrac{\partial f_k (\mu)}{\partial a_3}=1-\exp(-\alpha_3t_k), \quad k=0, 1, \dots, N-1; \\
w_{k6}(\mu)=\dfrac{\partial f_k (\mu)}{\partial \alpha_3}=a_3t_k\exp(-\alpha_3t_k), \quad k=0, 1, \dots, N-1.
\end{array}
\end{equation*} \]
Далее алгоритм аналогичен случаю построения первых двух экспонент.
Таким образом, разработанный метод параметрической идентификации кривых ползучести в пределах первых двух стадий при постоянных напряжениях позволяет за счет последовательного выделения экспоненциальных составляющих и статистических методов нелинейной регрессии существенно повысить вычислительную устойчивость и достоверность оценок параметров соответствующей аппроксимации, а также ее адекватность экспериментальным данным.
2. Построение математической модели теории неполной обратимости деформации ползучести
Как отмечено выше, исходной информацией для идентификации параметров и функций в (1) является серия кривых стационарной ползучести при постоянных напряжениях $\sigma(t)=\sigma^j$, $1 \leqslant j \leqslant m$, при $t \in [{0}, T]$ с последующей разгрузкой: $\sigma(t)=0$, $t>T$.
Этап 1. На первом этапе для каждой кривой ползучести при $\sigma(t)=\sigma^j$, $t \in [0,T]$, описываемой соотношением (2), по изложенной в п. 1 методике определяются оценки величин $\hat{a}^j_i$, $\hat{\alpha}^j_i$, $\hat{c}^j_i$ и их дисперсии, $1\leqslant i \leqslant s$, $1\leqslant j\leqslant m$. Поскольку стохастически нелинейные определяющие соотношения трудно использовать при решении соответствующих краевых задач, величины $\alpha_i$ в (1) будем считать детерминированными и полагать их значения равными усредненным значениям $\alpha^j_i$ при всех уровнях напряжений:
\[ \begin{equation*}
\alpha_i=\dfrac{1}{m}\sum \limits_{j=1}^m \alpha_i^j.
\end{equation*} \]
Аналогично, по этой же причине и величину $\beta$ будем также считать детерминированной (процедура ее вычисления приводится ниже). Тогда уравнения (1) будут стохастически линейными.
Этап 2. На втором этапе находятся аппроксимационные зависимости для величин $\hat{a}_i^j$, $\hat{c}^j$, $1 \leqslant j \leqslant m$, вида
\[ \begin{equation}
\hat{a}^*_i=\hat{b}_i\Bigl(\dfrac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)^{n_i}, \qquad
\hat{c}^*=\hat{\gamma}\Bigl(\dfrac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)^{n}
\end{equation} \tag{30} \]
по методу наименьших квадратов, т.е. в (1) полагаем, что
\[ \begin{equation*}
\varphi_i\Bigl(\dfrac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)=\Bigl(\dfrac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)^{n_i}, \qquad
f\Bigl(\dfrac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)=\hat{\gamma} \Bigl(\dfrac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)^{n},
\end{equation*} \]
где $n_i$ и $n$ — детерминированные параметры.
Этап 3. На третьем этапе в качестве базовой принимается кривая ползучести при $\sigma(t)=\sigma^j=\sigma_*$, $1 \leqslant j \leqslant m$. Тогда соотношение типа (2) для этой кривой ползучести имеет вид
\[ \begin{equation}
p(t)=\sum \limits_{i=1}^s \hat{b}_i\bigl[1-\exp(-\alpha_it)\bigr]+\hat{\gamma} t,
\end{equation} \tag{31} \]
где $\hat{b}_i$ и $\hat{\gamma}$ определяются из аппроксимации (30), а величина $\hat{\alpha}_i$ находится усреднением величин $\alpha_i^j$, $1\leqslant j\leqslant m$, по всем реализациям. Поскольку величины $\hat{b}_i$ и $\hat{\gamma}$ в (31) не совпадают с аналогичными значениями $a_i$ и $c$ в (2), оценки дисперсий величин $b_i$ и $\gamma$ определим, используя дисперсии $a_i$ и $c$, полученные ранее для кривой ползучести при $\sigma=\sigma_*$ на первом этапе исследований, полагая
\[ \begin{equation}
D[b_i]=\Bigl(\dfrac{\hat{b}_i}{\hat{a}_i}\Bigr)^2 D[a_i], \quad
D[\gamma]=\Bigl(\dfrac{\hat{\gamma}}{\hat{c}}\Bigr)^2 D[c].
\end{equation} \tag{32} \]
Полученным оценкам параметров $b_i$ и $\gamma$ придается универсальный характер, т.е. они используются при любых значениях напряжений $\sigma=\sigma(t)$ в определяющих соотношениях (1).
Поскольку оценки математических ожиданий случайных величин $b_i$ и $\gamma$ и их дисперсий известны, можно построить доверительные интервалы для деформации ползучести $p(t)$ при любых законах $\sigma=\sigma(t)$ на основании (1), в частности для серии кривых ползучести при $\sigma(t)=\sigma^j$, $1\leqslant j \leqslant m$, используя стохастически линейную зависимость вида
\[ \begin{equation*}
p(t)=\sum \limits_{i=1}^s b_i \Bigl(\dfrac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)^{n_i}
\bigl[1-\exp(-\alpha_it)\bigr]+\gamma \Bigl(\dfrac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)^nt,
\end{equation*} \]
из которой нетрудно определить дисперсию величины $p(t)$ в любой момент времени.
Этап 4. На четвертом этапе определяется величина $\beta$ в соотношениях (1), которая задает величину обратимой компоненты деформации ползучести, накопленной на первой стадии ползучести после полной разгрузки образца. В дальнейшем для сохранения стохастической линейности (1) вводим гипотезу, что величина $\beta$ также является детерминированной. Если на кривых ползучести при $\sigma=\sigma^j$ наблюдается ярко выраженная вторая стадия ползучести, т.е. величина $u^j(t)+v^j(t)$ достигла асимптотического значения
\[ \begin{equation*}
\lim_{t \to \infty} [u^j(t)+v^j(t) ]=\sum \limits_{i=1}^s b_i \Bigl(\dfrac{\sigma^j}{\sigma_*}\Bigr)^{n_i},
\end{equation*} \]
то величина $\beta^j$ для этой кривой ползучести находится по формуле
\[ \begin{equation*}
\beta^j={p^j (T )-p^j (T+t^* )\over \sum \limits_{i=1}^s b_i \bigl( {\sigma^j}/{\sigma_*}\bigr)^{n_i}},
\end{equation*} \]
где $t^*$ — время окончания наблюдения за деформацией ползучести после разгрузки ($\sigma^j(t)=0$, $t \in [T, t^*]$).
В случае если вторая стадия отсутствует, т.е. в наличии только первая стадия, величина $\beta^j$ определяется в соответствии с зависимостью
\[ \begin{equation*}
\beta^j={p^j (T )-p^j (T+t_1 )\over p^j(t_1)},
\end{equation*} \]
где $t_1 \in (0, T)$.
Далее в качестве величины $\beta$ принимается осредненное значение
\[ \begin{equation*}
\beta=\dfrac{1}{m}\sum \limits_{j=1}^m \beta^j.
\end{equation*} \]
Последним четвертым этапом завершается построение стохастически линейных уравнений теории неполной обратимости деформации ползучести вида (1), при этом в качестве исходной информации используется серия осредненных кривых стационарной ползучести при постоянных напряжениях с последующей разгрузкой.
3. Результаты расчетов и их анализ
Применение разработанной методики построения теории неполной обратимости деформации ползучести (1) реализовано на основе большого массива экспериментальных данных из работ [19, 31]. В качестве примера приведем результаты расчетов для сплавов ВЖ98 при температуре 900°C, ЭИ437А при температуре 700°C, стали ЭИ736 при 500°C, из [31] (здесь отсутствуют данные о деформации ползучести при полной разгрузке образцов, поэтому полагалось, что $\beta=0$) и сплава ЭП693 при температуре 700°C [19], где имеются кривые обратной ползучести ($\beta \neq 0$).
Material | $\hat{\alpha}_1$ | $\hat{b}_1 \cdot 10^4$ | $\hat{\gamma} \cdot 10^6$ | $D[b_1]\cdot 10^9$ | $D[\gamma]\cdot 10^{13}$ | $n_1$ | $n$ | $\beta$ |
VZh98 alloy, 900°C | 0.27 | 9.0 | 20.0 | 2.80 | 10.0 | 1.46 | 1.71 | 0 |
EI736 steel, 500°C | 0.36 | 7.0 | 4.0 | 0.59 | 1.60 | 1.86 | 3.2 | 0 |
EI437A alloy, 700°C | 0.27 | 3.8 | 7.0 | 0.15 | 0.43 | 2.24 | 3.45 | 0 |
EP693 alloy, 700°C | 0.36 | 3.4 | 18 | 1.63 | 4.0 | 1.14 | 4.6 | 0.64 |
Применение разработанной методики определения оценок параметров аппроксимации (2) показало, что для всех материалов достаточно одного экспоненциального слагаемого ($s=1$). В табл. 1 приведены оценки основных параметров (2) для каждой кривой ползучести при фиксированном напряжении. Далее в соответствии с методикой строились степенные аппроксимации (30) и определялись $\hat{b}_i$, $n_1$, $\hat{\gamma}$, $n$, а для определения дисперсий $D[b_1]$ и $D[\gamma]$ пользовались формулой (32), где $\hat{a}_1$ и $\hat{c}$ соответствуют базовой кривой ползучести при $\sigma=\sigma_*$. В табл. 2 приведены окончательные оценки всех параметров определяющих уравнений состояния (1) для всех исследуемых материалов.
Анализ данных табл. 2 свидетельствует, что величины $\alpha^j_i$, $D[b^j_i]$, $D[\gamma^j]$ $(1\leqslant j \leqslant m)$ монотонно не зависят от величины напряжения, что может служить некоторым обоснованием принятой гипотезы об их фиксированной величине в соотношениях (1).
Рис. 1. Результаты первичной аппроксимации кривых ползучести ЭИ437А при температуре 700°C с данными из табл. 1 (a) и по модели (1) с данными из табл. 2 (b): 1 — $\sigma=240$ МПа, 2 — $\sigma=300$ МПа, 3 — $\sigma=350$ МПа; сплошная линия — математическое ожидание; штриховые линии — границы доверительных интервалов; маркеры (точки) — экспериментальные данные для ползучести
[Figure. 1. Results of the primary approximation of creep curves for EI437A at a temperature of 700°C with data from table 1 (a), and according to the model (1) with data from table 2 (b): 1 — $\sigma=240$ MPa, 2 — $\sigma=300$ MPa, 3 — $\sigma=350$ MPa; solid line — mathematical expectation; dashed lines — confidence interval boundaries; markers (dots) — experimental data for creep]
На рис. 1, a в качестве иллюстрации приведены результаты аппроксимации после первичной статистической обработки кривых ползучести сплава ЭИ437А при температуре 700°C для трех уровней напряжений на основании функциональной зависимости, задаваемой соотношением (2). Исходя из некоррелированности случайных величин $a_i$ и $c$, дисперсия для деформации $p(t)$ для каждой кривой в любой момент времени с данными из табл. 1 рассчитывалась по формуле
\[ \begin{equation*}
D[p(t)]=\sum \limits_{i=1}^s D[a_i]\bigl(1-\exp(-\alpha_i t)\bigr)^2+D[c]t^2,
\end{equation*} \]
а затем c использованием классической методики [27] строились 99 % доверительные интервалы для математического ожидания деформации $p(t)$. Значения математических ожиданий величин $\hat{a}_i$, $\hat{c}$ и $\hat{\alpha}_i$ и дисперсий $D[a_i]$, $D[c]$ приведены в табл. 1. На рис. 1, b и рис. 2 приведены расчетные значения для деформации ползучести по реологической модели (1) с параметрами, приведенными в табл. 2, для четырех материалов: ЭИ437А (700°C), ЭИ736 (500°C), ВЖ98 (900°C) и ЭП693 (700°C). На всех рисунках сплошная линия — математическое ожидание, штриховые линии — границы 99 % доверительного интервала, маркеры (точки) — экспериментальные значения деформации ползучести. Для построения доверительных интервалов по модели (1) расчет дисперсии для деформации ползучести осуществлялся по формуле (см. формулу (32))
\[ \begin{equation*}
D[p(t)]=\sum \limits_{i=1}^s D[b_i]
\Bigl[\Bigl(\dfrac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)^{n_i}
\bigl(1-\exp(-\alpha_i t)\bigr)\Bigr]^2+
D[\gamma] \Bigl[\Bigl(\dfrac{\sigma}{\sigma_*}\Bigr)^{n}t\Bigr]^2.
\end{equation*} \]
Для всех приведенных вариантов расчета экспериментальные данные не выходят за пределы соответствующих доверительных интервалов для деформации ползучести, что свидетельствует о достоверности оценок параметров модели (1) и ее адекватности.
Рис. 2. Расчетные данные деформации ползучести по модели (1) для стали ЭИ736 (500°C) (a), сплава ВЖ98 (900°C) (b), сплава ЭП693 (700°C) (c): сплошная линия — математическое ожидание; штриховые линии — границы доверительных интервалов; маркеры (точки) — экспериментальные данные; цифры — напряжения в МПа
[Figure. 2. Calculated data of creep deformation according to the model (1) for EI736 steel (500°C) (a), VZh98 alloy (900°C) (b), and EP693 alloy (700°C) (c): solid line — mathematical expectation; dashed lines — confidence interval boundaries; markers (dots) — experimental data; numbers — stress in MPa]
Прокомментируем полученные результаты с точки зрения построения детерминированных теорий ползучести на основании осредненных экспериментальных стационарных кривых ползучести. Как отмечено выше, идентификация параметров в этих теориях осуществляется эвристически по некоторому набору характерных точек на кривых ползучести без какого-либо строгого научного обоснования их выбора, при этом вопросы достоверности полученных детерминированных оценок параметров, устойчивости алгоритмов определения оценок к выбору и количеству характерных точек, помехозащищенности предлагаемых эвристических численных процедур идентификации со строгих позиций вычислительной математики вообще не рассматриваются. В данной же статье показано, что при использовании полной экспериментальной статистической информации о кривых стационарной ползучести параметры модели являются не детерминированными, а случайными, и поэтому соответствующие реологические модели являются стохастическими, даже если ориентироваться на осредненные экспериментальные зависимости для деформации ползучести при постоянных напряжениях. Такого рода модели позволяют получать более достоверную информацию, например, о деформации ползучести в фиксированные моменты времени или о времени достижения заданного значения деформации.
Заключение
- Разработан новый численный метод параметрической и структурной идентификации нелинейной теории неполной обратимости деформации ползучести, позволяющий свести задачу к нелинейному регрессионному анализу определения оценок случайных параметров реологической модели на основе временных рядов последовательности результатов наблюдений деформации ползучести при различных постоянных напряжениях.
- Показано, что при использовании даже осредненных экспериментальных кривых ползучести построенная реологическая модель на их основе является стохастической вследствие процедуры параметрической идентификации нелинейной регрессионной модели.
- Выполнена параметрическая и структурная идентификация теории неполной обратимости деформации ползучести для ряда сталей и сплавов, получены численные значения оценок параметров для этих материалов.
- Выполнена проверка адекватности построенной математической теории неполной обратимости деформации ползучести экспериментальным данным для стали ЭИ736 (500°C) и сплавов: ЭИ437А (700°C), ВЖ98 (900°C) и ЭП693 (700°C). Наблюдается соответствие расчетных и опытных данных. Экспериментальные данные принадлежат соответствующим доверительным интервалам для деформации ползучести, что свидетельствует о достоверности полученных оценок параметров модели.
- Разработано не имеющее аналогов программное обеспечение для предложенного численного метода идентификации параметров реологической модели.
Конкурирующие интересы. Конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи нет.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы в равной степени принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Работа поддержана Министерством науки и высшего образования Российской Федерации в рамках государственного задания Самарского государственного технического университета (тема № FSSE-2023-0003).
Об авторах
Владимир Павлович Радченко
Самарский государственный технический университет
Email: radchenko.vp@samgtu.ru
ORCID iD: 0000-0003-4168-9660
https://www.mathnet.ru/person38375
доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой; каф. прикладной математики и информатики
Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244Владимир Евгеньевич Зотеев
Самарский государственный технический университет
Email: zoteev.ve@samgtu.ru
ORCID iD: 0000-0001-7114-4894
https://www.mathnet.ru/person38585
доктор технических наук, доцент; профессор; каф. прикладной математики и информатики
Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244Елена Андреевна Афанасьева
Самарский государственный технический университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: afanasieva.ea@samgtu.ru
ORCID iD: 0000-0001-7815-2723
https://www.mathnet.ru/person188683
аспирант; каф. прикладной математики и информатики
Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244Список литературы
- Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
- Болотин В. В. Прогнозирование ресурсов машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. 312 с.
- Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 139 с.
- Радченко В. П., Дудкин С. А., Тимофеев М.И. Экспериментальное исследование и анализ полей неупругих микро- и макродеформаций сплава АД-1 // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2002. №16. С. 111–117. EDN: EBNEIR. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu107.
- Самарин Ю. П. О применении стохастических уравнений в теории ползучести материалов // Изв. АН СССР. МТТ, 1974. №1. С. 88–94.
- Самарин Ю. П. Стохастические механические характеристики и надежность конструкций с реологическими свойствами / Ползучесть и длительная прочность конструкций. Куйбышев: КПтИ, 1986. С. 8–17.
- Радченко В. П., Саушкин М. Н., Голудин Е. П. Стохастическая модель неизотермической ползучести и длительной прочности материалов // ПМТФ, 2012. Т. 53, №2. С. 167–174. EDN: NJQRJC.
- Радченко В. П., Симонов А. В., Дудкин С.А. Стохастический вариант одномерной теории ползучести и длительной прочности // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2001. №12. С. 73–84. EDN: EBNDRJ. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu64.
- Радченко В. П., Голудин Е.П. Феноменологическая стохастическая модель изотермической ползучести поливинилхлоридного пластиката // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. №1. С. 45–52. EDN: JTBCLH. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu571.
- Должковой А. А., Попов Н. Н., Радченко В. П. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра // ПМТФ, 2006. Т. 47, №1. С. 160–171. EDN: NYCLUT.
- Попов Н. Н., Радченко В. П. Аналитическое решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы // ПММ, 2012. Т. 76, №6. С. 1023–1031. EDN: PJCSUP.
- Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести // ПМТФ, 1988. Т. 29, №1. С. 159–164. EDN: TTRZEF.
- Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородной среды// ПМТФ, 1985. Т. 26, №2. С. 150–155. EDN: TTRZCH.
- Попов Н. Н. Нелинейная стохастическая задача ползучести толстостенной сферической оболочки // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2000. №9. С. 186–189. EDN: IPKHCH. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu48.
- Попов Н. Н. Ползучесть стохастически неоднородной пластины с круговым отверстием // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. №2. С. 126–132. EDN: JZASMP. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu630.
- Локощенко А. М. Ползучесть и длительная прочность металлов. М.: Физматлит, 2016. 489 с.
- Никитенко А. Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. Новосибирск: Новосиб. гос. архит.-строит. ун-т, 1997. 278 с.
- Волков И. А., Коротких Ю. Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. М.: Физматлит, 2008. 424 с. EDN: RYRTNT.
- Радченко В. П., Еремин Ю. А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. М.: Машиностроение-1, 2004. 265 с. EDN: QNATSX.
- Волков И. А., Игумнов Л. А., Сметанин И. В. [и др.] Ползучесть и длительная прочность материалов и конструкций. Нижний Новгород: Нижегород. ун-т, 2021. 155 с.
- Волков И. А., Игумнов Л. А., Шишулин Д. Н. Оценка ресурсных характеристик материалов и конструкций при усталости и ползучести. Нижний Новгород: Нижегород. ун-т, 2020. 106 с.
- Самарин Ю. П. Уравнения состояния материалов со сложными реологическими свойствами. Куйбышев: КуГУ, 1979. 84 с.
- Расчетные и расчетно-экспериментальные методы определения несущей способности и долговечности элементов машин и конструкций. Расчетно-экспериментальный метод определения параметров ползучести и длительной прочности при одноосном нагружении в условиях нестационарного нагружения: Методические рекомендации (1-я редакция). М.: Госстандарт, 1982.
- Самарин Ю. П. Построение экспоненциальных аппроксимаций для кривых ползучести методом последовательного выделения экспоненциальных слагаемых // Пробл. прочности, 1974. №9. С. 24–27.
- Мухина Л. Г. Вычисление характеристик ползучести по опытным данным с применением метода непараметрического выравненивания / Теоретико-экспериментальный метод исследования ползучести в конструкциях. Куйбышев: КуАИ, 1984. С. 86–94.
- Draper N. R., Smith H. Applied Regression Analysis. New York: John Wiley and Sons, 1998. xix+716 pp. DOI: https://doi.org/10.1002/9781118625590.
- Демиденко Е. З. Линейная и нелинейная регрессии. Куйбышев: Финансы и статистика, 1981. 302 с.
- Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация кривых ползучести на основе стохастических разностных уравнений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. №1. С. 90–95. EDN: JTBCNZ. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu578.
- Зотеев В. Е., Макаров Р. Ю. Численный метод определения параметров первой стадии деформации ползучести // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, 2017. №4. С. 40–48. EDN: YLXFDY. DOI: https://doi.org/10.26731/1813-9108.2017.4(56).40-48.
- Зотеев В. Е. Численный метод нелинейного оценивания на основе разностных уравнений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2018. Т. 22, №4. С. 669–701. EDN: YSDYZN. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1643.
- Булыгин И. П., Власова П. Т., Горбодей А. Т. [и др.] Атлас диаграмм растяжения при высоких температурах, кривых ползучести и длительной прочности сталей и сплавов для двигателей. М.: Оборонгиз, 1957. 174 с.
Дополнительные файлы
