Model problem of radial heating in a spherical layer with localized internal source

Full Text

Введение

Математические модели теплопроводности широко применяются в промышленности. Существующие подходы включают параболические модели с бесконечной скоростью распространения возмущений и гиперболические, учитывающие конечную скорость теплопередачи [1].

В [2] методом разделения переменных решено гиперболическое уравнение теплопроводности для цилиндра, что выявило волновой характер процесса. В [3] интегральный метод теплового баланса позволил получить аналитическое решение для нестационарной задачи в бесконечной пластине, включая случаи, когда разделение переменных невозможно.

В [4] предложен агностический оптимизационный подход для решения краевых задач без классификации уравнений, демонстрирующий эффективность машинного обучения. В [5] бессеточным методом исследован теплообмен в стальных заготовках с учетом конвекции и излучения. Работа [6] систематически оценивает метод коллокации на основе MQ и PHS для задач диффузии. В [7] методом конечных разностей решена задача биотеплопереноса в пятислойной ткани с опухолью, получены распределения температуры и ее зависимость от локализации опухоли. В [8] на основе модифицированной модели Мура—Гибсона—Томпсона изучен термоупругий материал, при этом уравнения теплопроводности описаны в рамках теории Грина—Нагди III.

Отметим, что при решении многомерных задач теплопроводности точные методы часто приводят к громоздким решениям, а время вычислений растет с размерностью. Симметрия области может упростить задачу. В данной работе рассматривается параболическая модель в сферически симметричной области.

1. Постановка задачи

Рассмотрим область в трехмерном пространстве, представляющую собой сферический слой:
\[\begin{equation*}
\Omega := \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : r\in[R_1; R_2],\ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\},
\end{equation*}\]
где $0 < R_1 < R_2$. Исследуем модельную задачу о нагреве этой области локализованным радиально-симметричным источником.

Пусть задана радиально-симметричная функция $F(r,t)$, описывающая мощность внутренних источников тепла в области $\Omega$. Определим числа $R_3$, $R_4$ такие, что $R_1 < R_3 < R_4 < R_2$, и положим
\[\begin{equation*}
F(r,t) = \mathbb{I}_{[R_3; R_4]} f(r,t),
\end{equation*}\]
где $\mathbb{I}_{[R_3;R_4]}$ — характеристическая функция отрезка $[R_3;R_4]$. 

Рассмотрим начально-краевую задачу для трехмерного уравнения теплопроводности. Пусть $u(x,y,z,t)$ — температура в точке $(x,y,z)$ в момент времени $t$. Эта функция удовлетворяет неоднородному уравнению параболического типа:
\[\begin{equation}
\tag{1}
\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u + F(r,t),
\end{equation}\]
где $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ — трехмерный оператор Лапласа. Искомое решение уравнения (1) удовлетворяет следующим условиям:

• краевым условиям
  \[\begin{equation}
  \tag{2}
  \frac{\partial u}{\partial r}\Bigr|_{\partial\Omega} = 0,
  \end{equation}\]
• начальному условию
  \[\begin{equation}
  \tag{3}
  u\bigr|_{t=0} = u_0(r).
  \end{equation}\]

Условие (2) соответствует отсутствию теплового потока через границу области $\Omega$, что означает ее теплоизолированность. Условие (3) задает начальное распределение температуры в сферическом слое.

Будем искать радиально-симметричное решение задачи (1)–(3), то есть $u(x,y,z,t) = u(r,t)$. Перепишем уравнение (1) в сферических координатах. В трехмерном случае при радиальной симметрии оператор Лапласа принимает вид
\[\begin{equation*}
\Delta  = \frac{\partial^2 }{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}.
\end{equation*}\]

С использованием замены искомой функции
\[\begin{equation*}
u(r,t) = \frac 1r v(r,t)
\end{equation*}\]
трехмерный оператор Лапласа сводится к одномерному дифференциальному оператору второго порядка:
\[\begin{equation*}
\Delta \Bigl(\frac1r v(r,t)\Bigr) = \frac1r \frac{\partial^2 v}{\partial r^2}.
\end{equation*}\]

Таким образом, уравнение (1) преобразуется к виду
\[\begin{equation}
\tag{4}
\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} + \mathbb{I}_{[R_3;R_4]} r f(r,t),
\end{equation}\]
а краевые условия (2) принимают форму
\[\begin{equation*}
\frac{\partial u}{\partial r}\Bigr|_{\partial\Omega} = 
\Bigl[ \frac1{r^2} \Bigl( \frac{\partial v}{\partial r}r - v\Bigr)
\Bigr]_{\partial\Omega} = 0,
\end{equation*}\]
то есть
\[
\Bigl[ \frac{\partial v}{\partial r}r - v\Bigr]_{r=R_1} =
\Bigl[ \frac{\partial v}{\partial r}r - v\Bigr]_{r=R_2} =0.
\]
Откуда получаем краевое условие на функцию $v(r,t)$:
\[\begin{equation}
\tag{5}
R_1 \frac{\partial v}{\partial r}\Bigr|_{r=R_1} = v\bigr|_{r=R_1}, \quad 
R_2 \frac{\partial v}{\partial r}\Bigr|_{r=R_2} = v\bigr|_{r=R_2}.
\end{equation}\]

Начальное условие для функции $v(r,t)$ получается из (3):
\[\begin{equation}
\tag{6}
v (r, 0) = r u_0(r).
\end{equation}\]

2. Получение решения

Для нахождения решения поставленной задачи (4)–(6) применим   метод разделения переменных Фурье. Предположим, что $v = T(t)R(r)$. Тогда получим
\[\begin{equation}
\tag{7}
\frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{R''(r)}{R(r)} = \lambda,
\end{equation}\]
где $\lambda \in \mathbb{R}$. Возникает задача Штурма–Лиувилля для функции $R(r)$, заключающаяся в нахождении нетривиального решения $R(r)$ и соответствующих значений параметра $\lambda$, удовлетворяющих краевой задаче:
\[
R''(r) - \lambda R(r) = 0, \quad R_1R'(R_1) = R(R_1), \quad R_2R'(R_2) = R(R_2).
\]

Стандартными методами устанавливаем, что случаю $\lambda = 0$ соответствует решение $R(r) = r$, а при $\lambda > 0$ имеем тривиальное решение $R(r) \equiv 0$. Случай $\lambda < 0$ является нетривиальным. Полагая $\lambda = -p^2$, получаем общее решение:
\[
R(r) = C_1 \cos pr + C_2 \sin pr,
\]
дифференцируя которое и используя граничные условия, получаем систему уравнений:
\[\begin{equation}
\tag{8}
\begin{cases}
(\cos pR_1 + R_1 p \sin pR_1)C_1 + (\sin pR_1 - R_1 p \cos pR_1)C_2 = 0; \\
(\cos pR_2 + R_2 p \sin pR_2)C_1 + (\sin pR_2 - R_2 p \cos pR_2)C_2 = 0.
\end{cases}
\end{equation}\]

Значения параметра $p$, при которых система (8) имеет нетривиальные решения, определяются условием равенства нулю определителя матрицы системы, что приводит к трансцендентному уравнению
\[
\sin p(R_2 - R_1)(1 + R_1 R_2 p^2) - \cos p(R_2 - R_1) p (R_2 - R_1) = 0,
\]
или в эквивалентной форме:
\[
tg p(R_2 - R_1) = \frac{p(R_2 - R_1)}{1 + R_1 R_2 p^2}.
\]

Данное уравнение имеет счетное множество решений. В силу нечетности функций, входящих в уравнение, каждому положительному корню $p$ соответствует корень $-p$. Заметим, что $p = 0$ также является решением. Рассмотрим неотрицательные корни $p_n$, стремящиеся к бесконечности при $n \to \infty$. Тогда $\lambda_n = -p_n^2$, и из системы (8) следует
\[
C_2 = -\frac{\cos p_n R_1 + R_1 p_n \sin p_n R_1}{\sin p_n R_1 - R_1 p_n \cos p_n R_1} C_1,
\]
что позволяет выразить собственную функцию $R_n(r)$:
\[
R_n(r) = \cos p_n r - \frac{\cos p_n R_1 + R_1 p_n \sin p_n R_1}{\sin p_n R_1 - R_1 p_n \cos p_n R_1} \sin p_n r.
\]

Докажем ортогональность системы функций $\{R_n(r)\}$. Из уравнения (7) для двух различных собственных значений $\lambda_n$ и $\lambda_m$ получаем
\[
\begin{cases}
R''_n(r) R_m(r) + p_n^2 R_n(r) R_m(r) = 0, \\ 
R''_m(r) R_n(r) + p_m^2 R_m(r) R_n(r) = 0.
\end{cases}
\]
Вычитая второе уравнение из первого, приходим к соотношению
\[
R''_n(r) R_m(r) - R''_m(r) R_n(r) = -(p_n^2 - p_m^2) R_n(r) R_m(r).
\]
Интегрируя по отрезку $[R_1, R_2]$, получаем
\[
\int_{R_1}^{R_2} \bigl( R''_n(r) R_m(r) - R''_m(r) R_n(r) \bigr) \, dr = -(p_n^2 - p_m^2) \int_{R_1}^{R_2} R_n(r) R_m(r) \, dr.
\]
Применяя интегрирование по частям, находим:
\[
-(p_n^2 - p_m^2) \int_{R_1}^{R_2} R_n(r) R_m(r) \, dr = \Bigl[ R'_n(r) R_m(r) - R'_m(r) R_n(r) \\Bigr]_{r=R_1}^{r=R_2} = 0,
\]
где граничные члены обращаются в нуль в силу условий (5).

Вычислим норму $\|R_n(r)\|^2_{L_2[R_1, R_2]}$. Интегрируя уравнение $R''_n(r) R_n(r) + p_n^2 R_n^2(r) = 0$ по отрезку $[R_1, R_2]$, получаем
\[
\|R_n(r)\|^2_{L_2[R_1, R_2]} = 
-\frac{1}{p_n^2} \int_{R_1}^{R_2} R''_n(r) R_n(r) \, dr = \frac{1}{p_n^2} \int_{R_1}^{R_2} (R'_n(r))^2 \, dr.
\]
При этом $T_n(t) = A_n \exp (-p_n^2 t)$, и общее решение для $v$ принимает вид
\[
v(r, t) = A_0 r + \sum_{n=1}^{\infty}  A_n  v_n (r, t),
\]
где \(
v_n (r, t) =  \exp (-p_n^2 t) R_n (r).
\)

Коэффициенты ряда Фурье для однородного уравнения определяются из начального условия (6):
\[
v(r, 0) = r u_0(r) = A_0 r + \sum_{n=1}^\infty A_n R_n (r),
\]
где
\[\begin{gather*}
A_0 = \frac{3}{(R_2 - R_1)^3} \int_{R_1}^{R_2} \!\!  r ^2 u_0( r ) \, d r , \quad 
A_n =  \frac{1}{\| R_n(r)  \|^2_{L_2[R_1; R_2]} } 
\int_{R_1}^{R_2} \!\!  r  u_0( r )  R_n ( r  ) \,  d r .
\end{gather*}\]

Тогда имеем окончательное решение в сферически симметричном виде:
\[\begin{gather*}
u(r,t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty}  A_n \exp(-p_n^2 t) r ^{-1} R_n(r).
\end{gather*}\]

Для решения неоднородного уравнения рассмотрим нулевые начальные условия, а неоднородность разложим в ряд Фурье по системе $\{R_n(r)\}$. Пусть коэффициенты $B_n(t)$ определяются из соотношения
\[
\mathbb{I}_{[R_3, R_4]}  rf(r, t)  = \sum_{n=1}^{\infty} B_n(t) R_n(r), 
\]
где
\[ 
B_n(t) = \frac1{\|R_n(r)\|^2_{L_2[R_1, R_2]}} \int_{R_3}^{R_4} \!\!  r  f( r , t) R_n( r ) \, d  r .
\] 
Тогда уравнение для $T_n(t)$ принимает вид
\[
T'_n(t) = -p_n^2 T_n(t) + B_n(t).
\]
Решение может быть записано явно с помощью метода вариации постоянных:
\[\begin{gather*}
T_n(t) = c_n \exp( -p_n^2 t), \quad T_n(t) = c_n(t) \exp(-p_n^2 t); 
\\
c'_n(t) \exp (-p_n^2 t)  - p_n^2 c_n(t) \exp (-p_n^2 t) = -p_n^2 c_n(t) \exp (-p_n^2 t) + B_n(t); 
\\
c'_n(t) = \exp (p_n^2 t) B_n(t), \quad 
c_n(t) = c_n(0) + \int_0^t \exp ( p_n^2 \tau ) B_n(\tau) \, d\tau; 
\\
T_n(t) = \exp ( -p_n^2 t) \biggl( c_n(0) + \int_0^t \exp (p_n^2 \tau) B_n(\tau) \, d\tau \biggr) .
\end{gather*}\]
Учитывая, что $T_n(0) = 0$, окончательно получаем
\[
T_n(t) = \int_0^t \exp \bigl(-p_n^2 (t - \tau)\bigr) B_n(\tau) \, d\tau.
\]
Окончательно имеем
\[
v_n (r, t) = R_n(r) \int_0^t \exp\bigl(-p_n^2 (t - \tau) \bigr) B_n(\tau) \, d\tau .
\]

Таким образом, решение неоднородного уравнения имеет следующий вид:
\[\begin{gather*}
u(r, t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} 
\biggl(
A_n + \int_0^t \exp( p_n^2 \tau ) B_n(\tau) \, d\tau \biggr)  \exp (-p_n^2 t ) r^{-1} R_n (r).
\end{gather*}\]

3. Оценка решения неоднородной краевой задачи

Для решения неоднородной краевой задачи справедлива следующая оценка:
\[\begin{multline*}
|u(r,t)| \leqslant |A_0| + 
\frac{1}{R_1}\sum_{n=1}^{\infty} 
\biggl(|A_n| + \int_0^t \exp (p_n^2\tau ) |B_n(\tau)| d\tau \biggr) \times {}
\\
{} \times \exp (-p_n^2 t) \biggl(1 + \Bigl|\frac{\frac{1}{p_n R_1 } + tg p_n R_1}{\frac{tg p_n R_1}{p_n R_1 } - 1}\Bigr|\biggr). 
\end{multline*}\]

Лемма. Пусть неоднородность $F(r,t)$ удовлетворяет оценке роста
\[
\biggl|\int_{R_1}^{R_2} r F(r,t)\, dr\biggr| \leqslant M \exp (A t), \quad M > 0, \; A > 0.
\]
Тогда решение неоднородной задачи с нулевыми начальными и граничными условиями допускает аналогичную оценку роста.

Доказательство. Используя представление для $T_n(t)$, получаем
\[\begin{multline*}
T_n(t) = \int_0^t \exp\bigl( -p_n^2(t-\tau)\bigr) B_n(\tau) d\tau = {}
\\
{}= \frac{1}{\|R_n(r)\|^2_{L_2 [R_1; R_2]}} \int_0^t \exp \bigl(-p_n^2(t-\tau) \bigr) 
\biggl( \int_{R_1}^{R_2} r F(r,\tau) R_n(r) \, dr\biggr) d\tau \leqslant {}
\\
{}\leqslant \frac{C M}{\|R_n(r)\|^2_{L_2 [R_1; R_2]}} \int_0^t \exp\bigl( -p_n^2(t-\tau) \bigr) \exp (A \tau) \, d\tau,
\end{multline*}\]
где $C = \max\limits_{r\in[R_1, R_2]} |R_n(r)|$. Далее,
\[\begin{multline*}
T_n(t) \leqslant \frac{C M \exp (-p_n^2 t) }{\|R_n(r)\|^2_{L_2 [R_1; R_2]}} 
\int_0^t \exp \bigl( (p_n^2 + A)\tau \bigr)\, d\tau = {}
\\
{}= \frac{C M \exp ({A t})}{(p_n^2 + A) \|R_n(r)\|^2_{L_2 [R_1; R_2]}} = \widetilde{M} \exp (A t),
\end{multline*}\]
где 
\[
\widetilde{M} = \frac{C M  }{(p_n^2 + A) \|R_n(r)\|^2_{L_2 [R_1; R_2]}}.
\]

Умножим уравнение $\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{{\partial }^2v}{\partial r^2}+rF(r,t)$ на $v$ и проинтегрируем по прямоугольнику $[0;T]\times[R_1;R_2]$:
\[
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2}  v \frac{\partial v}{\partial t} \, dr dt = 
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2}  v \frac{\partial^2 v}{\partial r^2}\, dr dt + 
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2}  r F(r,t) v \, dr dt.
\]
После интегрирования по частям и выделения полной производной по времени получаем:
\[\begin{multline*}
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2}  \frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}v^2 \, drdt= {}
\\
{} =
\int^T_0\biggl[ 
R_2\Bigl(\frac{\partial v}{\partial r}\Bigr|_{r=R_2}\Bigr)^2-
R_1\Bigl(\frac{\partial v}{\partial r}\Bigr|_{r=R_1}\Bigr)^2-
\int^{R_2}_{R_1} \Bigl(\frac{\partial v}{\partial r}\Bigr)^2 dr\biggr]dt+{}
\\
{}+
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2}  rF(r,t)v \, drdt.
\end{multline*} \] 

Применим к последнему слагаемому неравенство $ab\leqslant \frac{1}{2\varepsilon}a^2+\frac{\varepsilon }{2}b^2$:
\[
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2}  rF(r,t)v \, drdt  
\leqslant \frac{1}{2\varepsilon } \int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2}  r^2F^2(r,t) \, drdt+
\frac{\varepsilon }{2} \int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2}  v^2 \, drdt.
\]
Оценим функцию $v^2$ через квадрат ее производной:
\[\begin{multline*}
v^2= \biggl( 
\int^{R_2}_r \frac{\partial v}{\partial r} \, dr-v\bigr|_{r=R_2}\biggr)^2= {}
\\
{}
=\biggl(\int^{R_2}_r \frac{\partial v}{\partial r} \, dr\biggr)^2- 
2v\bigr|_{r=R_2} \int^{R_2}_r \frac{\partial v}{\partial r} \, dr+\bigl(v\bigr|_{r=R_2}\bigr)^2\leqslant {}
\\
{}
\leqslant (1+\varepsilon_1) \int^{R_2}_r \Big(\frac{\partial v}{\partial r}\Big)^2 dr+
\Bigl(1+\frac{1}{\varepsilon_1}\Bigr) \bigl(v\bigr|_{r=R_2}\bigr)^2.
\end{multline*}\]
Таким образом, получаем  
\[\begin{multline*}
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2} rF(r,t)v \, drdt \leqslant \frac{1}{2\varepsilon }
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2} r^2F^2(r,t)\, drdt+{}
\\
{}
+ (1- \kappa )
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2} \Bigl(\frac{\partial v}{\partial r}\Bigr)^2 drdt +
  \frac {1 - \kappa } {\varepsilon_1 }  
\int^T_0 \bigl(v\bigr|_{r=R_2}\bigr)^2 dt,
\end{multline*} \]
где $\kappa=1- \varepsilon (1+\varepsilon_1)(R_2-R_1)/2$.

Следовательно, можно записать следующее неравенство:
\[\begin{multline*}
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}v^2 drdt  
+ \kappa
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2} \Bigl(\frac{\partial v}{\partial r}\Bigr)^2 drdt \leqslant {}
\\
{}
\leqslant \int^T_0 
\biggl[ 
R_2\Bigl(\frac{\partial v}{\partial r}\Bigr|_{r=R_2}\Bigr)^2-
R_1\Bigl(\frac{\partial v}{\partial r}\Bigr|_{r=R_1}\Bigr)^2+ {}
\\
{}+
\frac {1 -\kappa }{\varepsilon_1}  \bigl(v\bigr|_{r=R_2}\bigr)^2\biggr]dt+ 
\frac{1}{2\varepsilon } \int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2} r^2F^2(r,t)\, drdt.
\end{multline*} \]

При условии $0<{\varepsilon}_1< (1+\varepsilon_1)/(1-\kappa) -1$ коэффициент $\kappa$ положителен, что позволяет получить оценку
\[\begin{multline*}
\frac{1}{2}\int^{R_2}_{R_1}{v^2\big|_{t=T}}dr+\kappa \int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2} \Big(\frac{\partial v}{\partial r}\Big)^2 drdt\leqslant {} 
\\
{} \leqslant \frac{1}{2}\int^{R_2}_{R_1} \bigl( v\bigr|_{t=0} \bigr)^2 dr +
\int^T_0 
\biggl[ 
R_2\Bigl(\frac{\partial v}{\partial r}\Bigr|_{r=R_2}\Bigr)^2-
R_1\Bigl(\frac{\partial v}{\partial r}\Bigr|_{r=R_1}\Bigr)^2+{}
\\
{}
+\frac{1-\kappa}{\varepsilon_1}  \bigl(v\bigr|_{r=R_2}\bigr)^2\biggr]dt
+\frac{1}{2\varepsilon } \int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2} r^2F^2(r,t)\, drdt.
\end{multline*} \]
Для нулевых начальных и краевых условий окончательная оценка принимает вид
\[
\frac{1}{2}\int^{R_2}_{R_1} \bigl(v \bigr|_{t=T}\bigr)^2 dr+\kappa \int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2} \Bigl(\frac{\partial v}{\partial r}\Bigr)^2 drdt
=O\biggl(
\int_0^T \!\! \int_{R_1}^{R_2} r^2F^2(r,t) \,drdt\biggr). \qquad \square
\]

Заключение

В работе исследована математическая модель процесса нагрева сферического радиально-симметричного слоя с распределенным внутренним источником тепла. Методом разделения переменных получено точное аналитическое решение начально-краевой задачи для параболического уравнения теплопроводности с радиальной симметрией, представленное в виде сходящегося ряда Фурье. Произведена редукция исходной трехмерной задачи к одномерной посредством учета сферической симметрии.

Основной теоретический результат заключается в построении решения на основе собственных функций соответствующей задачи Штурма—Лиувилля. Для однородного и неоднородного случаев получены явные аналитические выражения решений. Доказательство устойчивости решения проведено с использованием метода априорных оценок.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все  авторы  принимали  участие  в  разработке  концепции статьи и  в  написании  рукописи. Авторы несут  полную  ответственность  за  предоставление  окончательной рукописи в печать. Окончательная  версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Alexander S. Zinchenko

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: zinchenkoas@mai.ru
ORCID iD: 0000-0001-7971-4572
SPIN-code: 7948-5040
Scopus Author ID: 59124941500
ResearcherId: AAJ-2633-2020
https://www.mathnet.ru/rus/person229294

Cand. Econom. Sci.; Associate Professor; Dept. of Mathematics

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4

Alexander M. Romanenkov

Moscow Aviation Institute (National Research University); Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences

Email: romanaleks@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0700-8465
SPIN-code: 7586-0934
Scopus Author ID: 57196480014
ResearcherId: AAH-9530-2020
https://www.mathnet.ru/rus/person29785

Cand. Techn. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Mathematics; Senior Researcher; Dept. of Mathematical Modeling of Heterogeneous Systems

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4; 119333, Moscow, Vavilova str., 44/2

References

Supplementary files