Analytical solutions to generalized problems of locally nonequilibrium heat transfer: Operational method

Full Text

Введение

Классические модели аналитической теории переноса тепла обязаны своим появлением линейному градиентному соотношению Фурье
\[
\overline{q}(M, t)=-\lambda \operatorname{grad } T(M,t),
\] 
представленному в его докладе «О распространении тепла в твердом теле» в Париже в 1807 году. В законченном виде теория Фурье была изложена в 1822 году в работе «Аналитическая теория тепла», которую У. Томсон (Кельвин) назвал «великой математической моделью». В сочетании с уравнением энергии для изотропных твердых тел
\[
c\rho \frac{\partial T(M,t)}{\partial t} =-\operatorname{div }\overline{q}(M,t)+F(M,t)
\] 
закон Фурье приводит к уравнению параболического типа для нестационарного теплопереноса вида [1]
\[\begin{equation}
\tag{1}
\frac{\partial T(M,t)}{\partial t} =a\Delta T(M,t)+\frac{1}{c\rho } F(M,t), \quad 
M\in D, \quad t>0,
\end{equation}\]
и соответствующим для (1) краевым задачам с начальным и граничными условиями
\[\begin{equation}
\tag{2}
T(M,0)  =\Phi _{0} (M), \quad M\in \overline{D},
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\tag{3}
\beta _{1} \frac{\partial T(M,t)}{\partial n} +\beta _{2} T(M,t)=\beta _{3} \varphi (M,t), \quad M\in S, \quad t>0.
\end{equation}\]
Здесь $D$ — конечная или частично ограниченная выпуклая область изменения $M(x,y,z)$; $S$ — кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая область $D$; $\overline{n}$ — внешняя нормаль к $S$ (вектор, непрерывный в точках $S$). Параметры, входящие в (1)–(3), представляют собой теплофизические характеристики среды, постоянные в интервале температур, не выходящих за точки фазовых переходов [2].

1. Локально-неравновесные процессы и гиперболические модели теплопереноса

В последние годы отмечается возрастающий интерес к исследованию процессов, протекающих в условиях локальной термодинамической неравновесности, что обусловлено перспективами их практического использования в различных областях [3–11]: разработка технологий синтеза наноматериалов и функциональных покрытий с заданными физико-химическими характеристиками (бинарные многокомпонентные металлические сплавы, полимерные материалы, металлические полупроводниковые стекла, наножидкости, коллоидные, био- и криосистемы); оптимизация режимов лазерной обработки изделий; режимы интенсивного нагрева и охлаждения компонентов наноэлектроники и нанотехники; нагрев, плавление и абляция вещества при воздействии сверхкоротких лазерных импульсов и др. Интенсификация тепловых процессов в этих условиях потребовала для их описания уточнения гипотезы Фурье, что было реализовано в рамках учета локальной неравновесности, заложенной в соотношение
\[\begin{equation}
\tag{4}
\overline{q}(M,t)=-\lambda\operatorname{grad}T(M,t)-\tau _{r} \frac{\partial \overline{q}(M,t)}{\partial t} ,
\end{equation}\]
учитывающее конечную скорость распространения тепла. Здесь время $\tau _{r} $ — мера инерции теплового потока, связанная со скоростью распространения тепла соотношением $v_{T} =\sqrt{a/\tau _{r} } $. Уравнение энергии совместно с соотношением (4) приводят к уравнению переноса тепла гиперболического типа
\[\begin{equation}
\tag{5}
\frac{\partial T(M,t)}{\partial t} =a\Delta T(M,t)-\tau _{r} \frac{\partial ^{2} T(M,t)}{\partial t^{2} } +\frac{\tau _{r} }{c\rho } \Bigl[\frac{\partial F(M,t)}{\partial t} +\frac{1}{\tau _{r} } F(M,t)\Bigr]
\end{equation}\]
и соответствующим краевым задачам нестационарной теплопроводности  обобщенного типа. При математической постановке указанных задач следует применять соответствующие локально-неравновесные обобщенные граничные условия. Использование стандартных локально-равновесных граничных условий (3) (что нередко встречается в публикациях по аналитической теплофизике) может приводить к физически противоречивым результатам (например, к появлению отрицательных значений температуры [2]). Эти вопросы детально рассмотрены одним из авторов в [12], где сформулированы корректные обобщенные граничные условия на основе соотношения (4) в интегральной и эквивалентной дифференциальной формах. Так, в первом случае для условия теплового нагрева (охлаждения) граничное условие второго рода имеет вид
\[
\frac{1}{\tau _{r} } \int _{0}^{t} \frac{\partial T(M,\tau )}{\partial n} \Bigr|_{M\in S} \exp \Bigl(-\frac{t-\tau }{\tau _{r} } \Bigr)d\tau =
\pm (q_{0} /\lambda )S_{+} (t), \quad t\geqslant 0 ;
\]
в случае нагрева средой следует записывать
\[\begin{multline}
\tag{6}
\frac{1}{\tau _{r} } \int _{0}^{t}\frac{\partial T(M,\tau )}{\partial n} \Bigr|_{M\in S} \exp \Bigl(-\frac{t-\tau }{\tau _{r} } \Bigr)d\tau = {}
\\
{} =h\bigl\{T(M,t)\big|_{M\in S} -[T_{0} +S_{+} (t)(T_{c} -T_{0} )]\bigr\}, \quad t\geqslant 0.
\end{multline}\]
Здесь
\[\begin{equation}
\tag{7}
S_{+} (t)=\begin{cases} 1, & t>0; \\ 0, & t\leqslant 0. \end{cases}
\end{equation}\]

При $(1/h)\to 0$ ($h\to\infty$) из (6) получаем граничное условие для температурного нагрева
\[\begin{equation*}
T(M,t)\big|_{M\in S} =T_{0} +S_{+} (t)(T_{c} -T_{0} ), \quad t\geqslant 0.
\end{equation*}\]

Следует отметить, что гиперболическое уравнение (5) для описания локально-неравновесных процессов тепломассопереноса было впервые получено в работах И. А. Фока [13] и Б. И. Давыдова [14] на основании предположения о конечности скорости частиц, переносящих энергию или массу. Уравнение (5) было также получено А. С. Предводителевым [15], исходившим из анализа скоростей перемещения изотермических поверхностей с использованием представлений Римана, то есть при полном отказе от релаксационной формулы (4).

Обобщенные задачи переноса для уравнения (5) существенно отличаются от классических (1)–(3), представляя бoльшую сложность для нахождения аналитических решений. Специфика указанных задач заключается в относительной простоте исходных математических моделей и трудностях получения их решений в аналитически замкнутом виде. В связи с этим успехи в нахождении точных аналитических решений остаются весьма незначительными. Более того, краевые задачи теплообмена с обобщенными граничными условиями представляют собой открытую проблему в теории теплопроводности. Отсутствуют даже единичные публикации, и до сих пор неизвестны функциональные конструкции, которые могли бы служить точными аналитическими решениями этого класса задач, особенно для ограниченных областей канонического типа. 

Настоящая публикация, продолжающая исследования авторов [16, 17], посвящена именно этой проблеме: в ней формулируется необходимый математический аппарат и демонстрируется его приложение к ряду конкретных задач теплообмена. Основным методом решения указанных задач является операционный, однако здесь возникают две основные проблемы. Если нахождение операционного решения задачи не представляет особых трудностей, то переход к оригиналам затрудняется ввиду их отсутствия в таблицах по операционному исчислению. Формальное применение теорем операционного исчисления при нахождении оригиналов может приводить к ошибочным результатам, так как искомые оригиналы должны содержать ступенчатую функцию Хевисайда [18], появление которой не всегда удается корректно обосновать формальными методами. На этом пути возникают серьезные вычислительные трудности. Естественный выход из этой ситуации — разработка специальных приемов или использование сложной процедуры перехода к оригиналам с помощью контурного интегрирования изображений.

2. Математический аппарат операционного исчисления

Вначале рассмотрим частично ограниченную область. Операционное решение уравнения
\[
\frac{\partial T}{\partial t} =a\frac{\partial ^{2} T}{\partial x^{2} } -\tau _{p} \frac{\partial ^{2} T}{\partial t^{2} } , \quad x>l, \quad t>0
\]
с нулевыми начальными условиями и обобщенными граничными условиями сводится к изображению вида $\overline{f}(p)\exp\bigl[-x\sqrt{\beta ^{2} p^{2} +p}\bigr]$. В связи с этим рассмотрим серию изображений вида
\[
\overline{f}(p)\exp \bigl[-x\sqrt{(p+2\alpha )(p+2\beta )} \bigr],
\]
или
\[\begin{cases}
{\overline{f}(p)\exp [-x\overline{\mu }(p)]} ,
\\
{\overline{\mu }(p)=\sqrt{(p+2\alpha )(p+2\beta )} } ,
\end{cases}
\]
где $\overline{f}(p)$ — различные комбинации рациональных и иррациональных функций аргумента $p$.

Вначале изучим интеграл Римана—Меллина вида
\[\begin{equation}
\tag{8}
Y_{1} (x,t)=\frac{1}{2\pi i} \int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }\frac{1}{\overline{\mu }(p)} \exp [pt-x\overline{\mu }(p)]dp  .
\end{equation}\]
Воспользуемся представлением функции Бесселя мнимого аргумента $I_{n} (z)$ в виде интеграла [18]:
\[\begin{equation}
\tag{9}
\Bigl(\frac{2}{z} \Bigr)^{n} I_{n} (z)= \frac{1}{2\pi i} 
\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty } 
\frac{1}{u^{n+1} } \exp \Bigl(u+\frac{z^{2} }{4u} \Bigr)du
\end{equation}\]
и приведем (8) к виду, сходному с выражением (9). Для этого положим
\[
(p+2\alpha )^{1/2} +(p+2\beta )^{1/2} =\xi ^{1/2} ,
\quad 
(p+2\alpha )^{1/2} -(p+2\beta )^{1/2} =2\sigma \xi ^{-1/2} ,
\]
откуда
\[\begin{equation*}
p=\frac{1}{4} \Bigl(\xi +\frac{4\sigma ^{2} }{\xi } -4\rho \Bigr), 
\quad \sqrt{(p+2\alpha )(p+2\beta )} =\frac{1}{4} \Bigl(\xi -\frac{4\sigma ^{2} }{\xi } \Bigr),
\end{equation*}\]
\[\begin{equation}
\tag{10}
\frac{d\xi }{\xi } =\frac{dp}{\sqrt{(p+2\alpha )(p+2\beta )} } .
\end{equation}\]
Здесь $\rho =\alpha +\beta$, $\sigma =\alpha -\beta $. 

Теперь преобразуем интеграл (8) с помощью замены переменной (10). При этом прямая $(\gamma -i\infty ,\gamma +i\infty) $ в плоскости $p$ преобразуется в некоторую линию в плоскости $\xi $. Эта линия не будет прямой, но по теореме Коши она может быть деформирована в линию, которую обозначим  $(\gamma' -i\infty , \gamma' +i\infty )$.Теперь интеграл (8) принимает вид
\[\begin{equation}
\tag{11}
Y_{1} (x,t)=\frac{1}{2\pi i} \int _{\gamma' -i\infty }^{\gamma' +i\infty }
\frac{d\xi }{\xi } \exp \Bigl[-\rho t+\frac{1}{4} \xi (t-x)+\frac{\sigma ^{2} }{\xi } (t+x)\Bigr].
\end{equation}\]

Если $t>x$, то, полагая в (11) $(\xi /4)(t-x)=u$, из (9) при $n=0$ находим
\[
Y_{1} (x,t)=\exp (-\rho t)I_{0} \bigl(\sigma \sqrt{t^{2} -x^{2} } \bigr), \quad t>x.
\]

Если $t<x$, рассмотрим интеграл (11), взятый по замкнутому контуру, который состоит из части линии $(\gamma' -i\infty ,\gamma' +i\infty )$ и дуги окружности радиуса $R$ с центром в начале координат. Подынтегральная функция в (11) регулярна внутри контура и на его границе; внутри контура она не имеет особых точек. Тогда по теореме Коши интеграл вдоль этого контура равен нулю. Можно показать, что при $R\to \infty $ интеграл вдоль дуги окружности стремится к нулю. Таким образом, приходим к результату
\[\begin{equation*}
Y_{1} (x,t)=0 \quad \text{при } t<x. 
\end{equation*}\]

Теперь окончательно можно записать
\[
\frac{1}{\overline{\mu }(p)} \exp[-x\overline{\mu }(p)] 
\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\exp (-\rho t)I_{0} \bigl(\sigma \sqrt{t^{2} -x^{2} } \bigr)\eta (t-x).      
\]
Далее, применяя теорему о свертке, находим
\[\begin{multline}
\tag{12}
\frac{1}{\overline{\mu }(p)} \exp\bigl[-x\overline{\mu }(p)\bigr]\overline{f}(p) 
\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\int _{0}^{t}f(t-\tau )\exp (-\rho \tau )I_{0} \bigl(\sigma \sqrt{\tau ^{2} -x^{2} } \bigr)\eta (\tau -x)d\tau = {}
\\
{}
=\begin{cases}
\displaystyle
\int _{x}^{t}f(t-\tau )\exp (-\rho \tau )I_{0} \bigl(\sigma \sqrt{\tau ^{2} -x^{2} } \bigr)d\tau , & t>x; 
\\ 
\hspace{4cm}
0, & t<x
\end{cases} ={}
\\
{}
= \biggl[
\int _{x}^{t}f(t-\tau )\exp (-\rho \tau )I_{0} \bigl(\sigma \sqrt{\tau ^{2} -x^{2} } \bigr)d\tau  \biggr]\eta (t-x). 
\end{multline} \]
Дифференцируя (12) по $x$, получим
\[\begin{multline} 
\tag{13}
\exp \bigl[-x\overline{\mu }(p)\bigr]
\overline{f}(p) \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\\
\begin{cases}
\displaystyle
f(t-x)\exp (-\rho x)+\sigma x\int _{x}^{t}f(t-\tau )\exp (-\rho \tau )\frac{I_{1} (\sigma \sqrt{\tau ^{2} -x^{2} } )}{\sqrt{\tau ^{2} -x^{2} } } d\tau , & t>x;  
\\
\hspace{6cm}
0, &t<x. \end{cases}  
\end{multline} \]
Положим в (13) $\overline{f}(p)=1$, тогда $f(t)=\delta (t)$ — дельта-функция Дирака. Теперь из (13) находим
\[\begin{equation} 
\tag{14}
\exp[-x\overline{\mu }(p)] \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} \begin{cases} 
\exp (-\rho x)\delta (t-x)+\sigma x\exp (-\rho t)\frac{I_{1} (\sigma \sqrt{t^{2} -x^{2} } )}{\sqrt{t^{2} -x^{2} } } , & t>x; 
\\ 
\hspace{4cm}
0, & t<x. 
\end{cases}  
\end{equation} \]
Пусть теперь в (13) $\overline{f}(p)= {1}/{p}$, $f(t)=1$. Тогда
\[
\frac{1}{p} \exp[-x\overline{\mu }(p)] \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\begin{cases}
\displaystyle
\exp (-\rho x)+\sigma x\int _{x}^{t}\exp (-\rho \tau )
\frac{I_{1} \bigl(\sigma \sqrt{\tau ^{2} -x^{2} } \bigr)}{\sqrt{\tau ^{2} -x^{2} } } d\tau , & t>x; 
\\ 
\hspace{4cm}
0, & t<x. 
\end{cases}
\]
Полагая в (12)  $\overline{f}(p)= {1}/{p}$, $f(t)=1$, запишем
\[
\frac{1}{p\overline{\mu }(p)} \exp[-x\overline{\mu }(p)] \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\begin{cases}
\displaystyle
\int _{x}^{t}\exp (-\rho \tau )I_{0} \bigl(\sigma \sqrt{\tau ^{2} -x^{2} } \bigr)d\tau , & t>x; 
\\ 
\hspace{3cm}
0, & t<x. 
\end{cases}  
\]

Отметим, что некоторая громоздкость аналитической записи предложенных оригиналов может быть упрощена с использованием специальных преобразований, приводящих к новым оригиналам, неизвестным ранее. Например, рассмотрим изображение и оригинал
\[\begin{multline}
\tag{15}
\frac{1}{p} \exp[-x\overline{\mu }(p)] \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\biggl[\exp (-\rho x)+\sigma x\int _{x}^{t}\exp (-\rho \tau )\frac{I_{1} \bigl(\sigma \sqrt{\tau ^{2} -x^{2} } \bigr)}{\sqrt{\tau ^{2} -x^{2} } }  d\tau \biggr] \eta (t-x)=
\\
=\Psi _{1} (x,t)\eta (t-x). 
\end{multline} \]

С другой стороны, оригинал для изображения в (15) можно записать через интеграл Римана—Меллина:
\[\begin{equation} 
\tag{16}
\frac{1}{p} \exp[-x\overline{\mu }(p)] \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}
\frac{1}{2\pi i} \int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }\frac{1}{p}  \exp[pt-x\overline{\mu }(p)]dp=\Psi _{2} (x,t).
\end{equation} \]
Подынтегральная функция в (16) удовлетворяет условиям леммы Жордана [1] и имеет две точки ветвления. Вычисляя контурный интеграл (16), находим
\[\begin{equation} 
\tag{17}
\Psi _{2} (x,t)=1-\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }
\exp (-\rho t)\frac{\sin \bigl(x\sqrt{\rho -\beta ^{2} \rho ^{2} } \bigr) }{\rho }  d\rho .      
\end{equation} \]

Можно показать, что $\Psi _{1} (x,t)=\Psi _{2} (x,t)$ [17] и, таким образом, 
\[\begin{equation} 
\tag{18} 
\frac{1}{p} \exp[-x\overline{\mu }(p)] \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\Psi _{1} (x,t)\eta (t-x)=\Psi _{2} (x,t)\eta (t-x) .
\end{equation} \]
Аналогичным образом (через интеграл Римана—Меллина) находится следующий важный оригинал:
\[\begin{multline}
\tag{19}
\frac{1}{p} \exp \Bigl(-\frac{x}{\beta } \sqrt{\frac{p}{p+1/\beta ^{2} } } \Bigr) \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\\
\biggl[
1-\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }
\frac{\exp (-\rho t)\sin \Big(x\sqrt{\frac{\rho }{1-\beta ^{2} \rho } } \Big)}{\rho }  d\rho \bigg]\eta (t-\beta x).
\end{multline}\]

Используя переход к альтернативным функциональным конструкциям, можно исследовать и другие случаи изображений, рассмотренных выше. Таким образом, данный подход открывает дополнительные возможности для расширения аналитического описания локально-неравновесных процессов. Соотношения (17)–(19) демонстрируют специфические особенности гиперболических моделей переноса в частично ограниченных областях.

3. Операционные соотношения для функций Бесселя

К числу важных практических случаев относятся следующие изображения с оригиналами:
\[
\frac{K_{m} (\xi \overline{\mu }(p))}{K_{m} (\xi _{0} \overline{\mu }(p))} \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }\frac{\Psi _{m} (\xi ,\rho )}{\Theta _{m} (\xi _{0} ,\rho )}  \exp (-\rho t)d\rho;  
\]
\[\begin{multline*}
\frac{1}{p} \frac{K_{m} (\xi \overline{\mu }(p))}{K_{m} (\xi _{0} \overline{\mu }(p))} 
\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }\frac{\Psi _{m} (\xi ,\rho )}{\rho \Theta _{m} (\xi _{0} ,\rho )} [1-\exp (-\rho t)]d\rho = {}
\\
{} =(\xi _{0} /\xi )^{m} -\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }\frac{\Psi _{m} (\xi ,\rho )}{\rho \Theta _{m} (\xi _{0} ,\rho )} \exp (-\rho t)d\rho ; 
\end{multline*}\]
\[
\frac{K_{m} (\xi \overline{\mu }(p))}{K_{m+1} (\xi _{0} \overline{\mu }(p))} 
\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}
 -\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }\frac{\Phi _{m} (\xi ,\rho )}{\Theta _{m+1} (\xi _{0} ,\rho )}  \exp (-\rho t)d\rho . 
\]
Здесь
\[
\begin{array}{l}
\Psi _{m} (\xi ,\rho )=J_{m} (\xi \gamma (\rho ))Y_{m} (\xi _{0} \gamma (\rho ))-J_{m} (\xi _{0} \gamma (\rho ))Y_{m} (\xi \gamma (\rho )) ;
\\
\Theta _{m} (\xi _{0} ,\rho )=J_{m}^{2} (\xi _{0} \gamma (\rho ))+Y_{m}^{2} (\xi _{0} \gamma (\rho )) ;
\\
\Phi _{m} (\xi ,\rho )=J_{m} (\xi \gamma (\rho ))J_{m+1} (\xi _{0} \gamma (\rho ))+Y_{m} (\xi \gamma (\rho ))Y_{m+1} (\xi _{0} \gamma (\rho )) ;
\end{array}
\]
$\gamma (\rho )=\sqrt{\rho -\beta ^{2} \rho ^{2} }$; $m=-1/2, 0, 1/2$ соответственно для декартовой, цилиндрической и сферической систем координат (при решении тепловых задач для уравнения (5) в указанных системах); $K_{\nu } (z)$ — модифицированная функция Бесселя; $J_{\nu } (z)$, $Y_{\nu } (z)$ — функции Бесселя.

4. Тепловые задачи в конечных областях

Перейдем далее к соотношениям для конечной области.

Следует отметить, что для областей канонического типа (бесконечная пластина, сплошной или полый цилиндр, сплошной или полый шар и др.) точные аналитические решения гиперболических моделей переноса с обобщенными граничными условиями до сих пор не получены и данная проблема остается открытой. Это объясняется отсутствием разработанного математического аппарата операционного исчисления, необходимого для нахождения соответствующих аналитических решений. Начало разработки теории этого вопроса относится к публикациям авторов [16, 17, 19]. В настоящей работе обобщаются практически важные операционные соотношения и их оригиналы. Можно утверждать, что тем самым формируется самостоятельное научное направление в аналитической теплофизике, а именно исследование тепловой реакции твердых тел канонической формы в условиях локально-неравновесного теплообмена.

Рассмотрим сводку соотношений:

1. $ \displaystyle\frac{(H-\beta p)^{n} }{(H+\beta p)^{n+1} }\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} \frac{(-1)^{n} }{\beta } \exp \Bigl(-\frac{H}{\beta } t\Bigr)L_{n} \Bigl(2\frac{H}{\beta } t\Bigr) ,$
   где $ \displaystyle L_{n} (t)=\frac{1}{n!} \exp (t)\frac{d^{n} }{dt^{n} }[t^{n} \exp (-t)] $  — полином Лагерра;
2. $ \displaystyle\frac{(H+\beta p)^{n} }{(H-\beta p)^{n+1} }\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}\frac{1}{\beta } \exp \Bigl(\frac{H}{\beta } t\Bigr)L_{n}^{*} \Bigl(2\frac{H}{\beta } t\Bigr),$
   где $ \displaystyle L_{n}^{*} (t)=(-1)^{n+1} \sum\limits _{m=0}^{n}C_{n}^{m} \frac{1}{m!} t^{m}$  — полином Карташова;
3. $ \displaystyle\frac{[H-\overline{s}(p)]^{n} }{[H+\overline{s}(p)]^{n+1} }\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}\exp\Bigl(-\frac{t}{2\beta ^{2} }\Bigr) \biggl[f(t)+\frac{1}{2\beta ^{2} } \int _{0}^{t}f(\sqrt{t^{2} -y^{2} } )I_{1} \Bigl(\frac{y}{2\beta ^{2} } \Bigr)dy \biggr], $
   где 
   \[\begin{equation}
   \tag{20}
   \overline{s}(p)=\sqrt{\beta ^{2} p^{2} +p} , \quad
   f(t)=(-1)^{n} \frac{1}{\beta } \exp \Bigl(-\frac{H}{\beta } t\Bigr) 
   L_{n} \Bigl(2\frac{H}{\beta } t\Bigr)  ;
   \end{equation}\]
4. $ \displaystyle\frac{1}{p} \frac{[H-\overline{s}(p)]^{n} }{[H+\overline{s}(p)]^{n+1} } \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}$
   \[
   \int _{0}^{t}\biggl[
   f(\tau )+\frac{1}{2\beta ^{2} } 
   \int _{0}^{\tau }f \bigl(\sqrt{\tau ^{2} -y^{2} } \bigr)
   I_{1} \Bigl(\frac{1}{2\beta ^{2} } y\Bigr)dy \biggr]
   \exp \Bigl(-\frac{\tau }{2\beta ^{2} } \Bigr)d\tau , 
   \]
   где  $\overline{s}(p)$ и $f(t)$ имеют вид (20);
5. $ \displaystyle\frac{[H-\overline{s}(p)]^{n} }{[H+\overline{s}(p)]^{n+1} } \exp[-\gamma \overline{s}(p)] \overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}$
   \[
    \biggl[f(t-\gamma \beta )+\frac{1}{2\beta ^{2} } \int _{0}^{t}f(\tau -\gamma \beta )\frac{\tau I_{1} \Bigl(\frac{1}{2\beta ^{2} } \sqrt{t^{2} -\tau ^{2} } \Bigr)}{\sqrt{t^{2} -\tau ^{2} } }  d\tau \biggr]
    \exp \Bigl(-\frac{t}{2\beta ^{2} } \Bigr), 
   \]
   где $\overline{s}(p)$  имеет вид (20), а
   \[\begin{equation}
   \tag{21} 
   f(t)=\frac{(-1)^{n} }{\beta } \exp \Big(-\frac{H}{\beta } t\Big)L_{n} \Big(2\frac{H}{\beta } t\Big)\eta (t); 
   \end{equation}\]
6. $ \displaystyle\frac{1}{p} \frac{[H-\overline{s}(p)]^{n} }{[H+\overline{s}(p)]^{n+1} }\exp[-\gamma \overline{s}(p)]\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}$
   \[
   \int _{0}^{t}\biggl[
   f(\tau -\gamma \beta )+\frac{1}{2\beta ^{2} } 
   \int _{0}^{\tau }f(\tau' -\gamma \beta )\frac{\tau' I_{1} \Bigl(\frac{1}{2\beta ^{2} } \sqrt{\tau ^{2} -\tau'^2 } \Bigr)}{\sqrt{\tau ^{2} -\tau'^{2}  } } d\tau'  \biggr] \exp \Bigl(-\frac{\tau }{2\beta ^{2} } \Bigr)d\tau , 
   \]
   где $\overline{s}(p)$  имеет вид (20), а $f(t)$ — вид (21); 
7. $ \displaystyle\frac{{\sf Bi}^{*} }{p} \frac{[{\sf Bi}^{*} -\frac{\overline{s}(p)}{\beta ^{2} p+1} ]^{k} }{[{\sf Bi}^{*} +\frac{\overline{s}(p)}{\beta ^{2} p+1}]^{k+1} }\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}\int _{0}^{\infty } f_{k} (\tau' ) \Psi _{1} (\tau ,\tau')d\tau',$ 
   где ${\sf Bi}^{*}$  —  критерий Био, который будет определен ниже, $\overline{s}(p)$  имеет вид (20), а
   \[\begin{equation}
   \tag{22}
   \begin{array}{l}
   \displaystyle
   f_{k} (\tau )=(-1)^{k} {\sf Bi}^{*} \exp (-{\sf Bi}^{*} \tau )L_{k} (2{\sf Bi}^{*} \tau );
   \\
   \displaystyle 
   \Psi _{1} (\tau ,\tau')=1-\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }
   \frac{1}{\rho }  \exp (-\rho \tau )\sin \tau' \sqrt{\frac{\rho }{1-\beta ^{2} \rho } } d\rho . 
   \end{array}
   \end{equation}\]

5. Практические задачи локально-неравновесного теплообмена

Рассмотрим ряд практических задач локально-неравновесного теплообмена в рамках обобщенной модели одновременно для трех типов областей: $z>R$, $t>0$ (декартовы координаты), $\rho >R$, $t>0$ (сферические координаты $(\rho ,\varphi ,\theta )$ в условиях центральной симметрии), $r>R$, $t>0$ (цилиндрические координаты $(r,\varphi ,z)$ в условиях осевой симметрии). В первом случае область ограничена плоской поверхностью, во втором — внутренней сферической полостью, в третьем — внутренней цилиндрической полостью. Границы областей находятся в условиях нагрева или охлаждения. 

Случаи интенсивного нагрева (охлаждения) поверхности области представляют значительный практический интерес, например: поверхностный диэлектрический нагрев; расчет термических напряжений в стенках цилиндров паровых машин и двигателей внутреннего сгорания; в теории автоматических систем регулирования температуры; при исследовании звуковых частот металлов при высоких или очень низких температурах поверхности; многочисленные случаи резкой смены температуры поверхности авиационных и космических объектов; в машиностроении при работе на экспериментальных установках для определения температурного состояния образцов и др. [2]. 

Представляет интерес одновременное рассмотрение всех трех случаев во всех трех системах координат в рамках обобщенной модели, что может иметь существенную практическую значимость в теории теплообмена.

Общая постановка задачи примет  следующий вид:
\[\begin{equation}
\tag{23}
\begin{array}{c}
\displaystyle
\frac{\partial T_{i} (\mu ,t)}{\partial t} = a \Bigl(\frac{\partial ^{2} T_{i} }{\partial \mu ^{2} } +\frac{2m+1}{\mu } \frac{\partial T_{i} }{\partial \mu } \Bigr)-\tau _{p} \frac{\partial ^{2} T_{i} }{\partial t^{2} } , \quad  \mu >R,\quad t>0 ;
\\
\displaystyle
T_{i} (\mu , 0) =T_{0} , \quad \frac{\partial T_{i} (\mu ,t)}{\partial t} \Big|_{t=0}=0,
\quad  \mu \geqslant R, \quad i=1, 2, 3;
\\
\displaystyle
T_{1} (R , t)  =[T_{0} +S_{+} (t)(T_{c} -T_{0} )], \quad  t>0; 
\\
\displaystyle 
\frac{1}{\tau _{p} } \int _{0}^{t} \frac{\partial T_{2} (\mu ,\tau )}{\partial \mu }  \Big|_{\mu =R} \exp \Bigl(-\frac{t-\tau }{\tau _{p} } \Bigr)d\tau = 
\mp  (1/\lambda _{T} )q_{0} S_{+} (t), \quad  t\geqslant 0;
\\
\displaystyle 
\frac{1}{\tau _{p} } \int _{0}^{t} \frac{\partial T_{3} (\mu ,\tau )}{\partial \mu }  \Big|_{\mu =R} \exp \Bigl(-\frac{t-\tau }{\tau _{p} } \Bigr)d\tau = \hspace{4.2cm} { } 
\\
\hspace{3cm} {} =h\bigl\{T_{3} (R ,t) -[T_{0} +S_{+} (t)(T_{c} -T_{0} )]\bigr\}, \quad t\geqslant 0;  
\\
\displaystyle
|T_{i} (\mu ,t)|<\infty , \quad \mu \geqslant R, \quad t\geqslant 0,
\end{array}
\end{equation}\]
где  $T_0$ — начальная температура тела (области); $T_c$ —  температура окружающей среды; $\tau_p$ — время релаксации теплового потока; $a$ — коэффициент температуропроводности; $q_0$ —   плотность теплового потока на границе области; $\lambda_T$ — коэффициент теплопроводности; $h$ — коэффициент теплоотдачи; $v_{p} =\sqrt{\tfrac{2G(1-v)}{\rho ^{*} (1-2v)}} =\sqrt{\tfrac{\lambda +2\mu ^{*} }{\rho ^{*} }}$ — скорость распространения волны расширения в упругой среде, близкая к скорости звука; $v_T$ — скорость распространения тепла; $\gamma =0$ при нагреве, $\gamma =1$ при охлаждении; $i=1$ — температурный нагрев–охлаждение, $i=2$ — тепловой нагрев--охлаждение, $i=3$ — нагрев–охлаждение средой; $S_{+}$ имеет вид (7). 

При $T_{c} >T_{0} $ имеем нагрев, при $T_{c} <T_{0}$ — охлаждение; в (23) $\mu =z$ в декартовых координатах ($m=-1/2$), $\mu =\rho$ — в сферических ($m=1/2$), $\mu =r$ — в цилиндрических ($m=0$).

Введем следующие безразмерные переменные:
\[\begin{gather*}
\xi =\frac{v_{p} \mu }{a} , \quad \tau =\frac{v_{p}^{2} t}{a} , \quad \xi _{0} =\frac{v_{p} R}{a} , \quad \beta =\frac{v_{p} }{v_{T} } , \quad {\sf Bi}^{*} =\frac{ha}{v_{p} } ,
\\ 
W_{i} (\xi ,\tau )=\frac{T_{i} (\mu ,t)-[(1-\gamma )T_{0} +\gamma T_{c} ]}{(T_{c} -T_{0} )(1-2\gamma )} , \quad  i=1, 3;
\\ 
W_{2} (\xi ,\tau )=\frac{T_{2} (\mu ,t)-T_{0} }{(q_{0} /\lambda _{T} )(a/v_{p} )} ,\quad i=2.
\end{gather*}\] 

Обобщенная постановка тепловой задачи теперь приобретает вид
\[
\displaystyle
\frac{\partial W_{i} (\xi ,\tau )}{\partial \tau } =\frac{\partial ^{2} W_{i} (\xi ,\tau )}{\partial \xi ^{2} } +\frac{2m+1}{\xi } \frac{\partial W_{i} (\xi ,\tau )}{\partial \xi } -\beta ^{2} \frac{\partial ^{2} W_{i} (\xi ,\tau )}{\partial \tau ^{2} }, \; 
\xi >\xi _{0} ,\; \tau >0;
\]
\[\begin{equation}
\tag{24}
\begin{array}{c} 
\displaystyle 
W_{i} (\xi , 0)  =
\left\{ 
\begin{array}{cll}
\dfrac{\gamma }{2\gamma -1} ,& i=1, 3, & \xi \geqslant \xi _{0};
 \\ 
 0, & i=2, & \xi \geqslant \xi _{0} ; 
\end{array}\right.
\\
\displaystyle  
\frac{\partial W_{i} (\xi ,\tau )}{\partial \tau } \Big|_{\tau =0} =0, \quad i=1,2,3;
\\
\displaystyle  
|W_{i} (\xi ,\tau )|<\infty ,\quad \xi \geqslant \xi _{0} , \quad \tau \geqslant 0; 
\\
\displaystyle   
W_{1} (\xi_0 ,\tau ) =\frac{1-\gamma }{1-2\gamma } ,\quad \tau >0;
\\ 
\displaystyle  
\dfrac{1}{\beta ^{2} } \int _{0}^{\tau }
\dfrac{\partial W_{2} (\xi ,\tau' )}{\partial \xi }  \Big|_{\xi =\xi _{0} } 
\exp \Bigl(-\dfrac{\tau -\tau' }{\beta ^{2} } \Bigr)d\tau' =\dfrac{1}{2\gamma -1} ,
\quad \tau >0;
\\
\displaystyle  
\dfrac{1}{\beta ^{2} } \int _{0}^{\tau }
\dfrac{\partial W_{3} (\xi ,\tau' )}{\partial \xi }  \Big|_{\xi =\xi _{0} } 
\exp \Bigl(-\dfrac{\tau -\tau' }{\beta ^{2} } \Bigr)d\tau'= \hspace{2.7cm}{ }
\\
\hspace{4cm}
= {\sf Bi}^{*} \Bigl[W_{3} (\xi_0 ,\tau )  -\dfrac{1-\gamma }{1-2\gamma } \Bigr], \quad \tau >0. 
\end{array} 
\end{equation}\]

В пространстве изображений по Лапласу 
\[
\overline{W}_{i} (\xi ,p)=\int _{0}^{\infty }W_{i} (\xi ,\tau )\exp (-p\tau )d\tau 
\] 
решение тепловой задачи (24) имеет вид
\[
\overline{W}_{i} (\xi ,p)=\overline{f}_{i} (\xi _{0} ,p)(\xi _{0} /\xi )^{m} K_{m}[\xi \overline{\mu }(p)]+
\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{\gamma }{p(2\gamma -1)} , & i=1, 3 ;
\\ 
0, & i=2,
\end{array}
\right.
\]
где $\overline{\mu }(p)=\sqrt{\beta ^{2} p^{2} +p}$,
\[
\overline{f}_{i} (\xi _{0} ,p)=
\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{1}{pK_{m}[\xi _{0} \overline{\mu }(p)](1-2\gamma )} , & i=1;
\\
\dfrac{\overline{\mu }(p)}{p^{2} K_{m+1} [\xi _{0} \overline{\mu }(p)](1-2\gamma )} , & i=2; 
\\
\dfrac{{\sf Bi}^{*} \overline{\mu }(p)}{p\{pK_{m+1} [\xi _{0} \overline{\mu }(p)]+{\sf Bi}^{*} \overline{\mu }(p)K_{m}[\xi _{0} \overline{\mu }(p)]\}(1-2\gamma )} , & i=3. 
\end{array}
\right.
\]

Определение оригиналов для полученных операционных решений требует проведения последовательности преобразований, однако эта процедура может быть корректно реализована с использованием разработанного математического аппарата. Находим точные аналитические решения во всех трех случаях:
\[\begin{multline*}
\frac{W_{1} (\xi ,\tau )}{(\xi _{0} /\xi )^{m} (1-2\gamma )^{-1} } = -\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }\frac{\Psi _{m} (\xi ,\rho )(1-\exp (-\rho \tau ))}{\rho \Theta _{m} (\xi _{0} ,\rho )}  d\rho -\frac{\gamma }{(\xi _{0} /\xi )^{m} } =
\\
=(\xi _{0} /\xi )^{m} -\frac{\gamma }{(\xi _{0} /\xi )^{m} } +\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }{\frac{\Psi _{m} (\xi ,\rho )\exp (-\rho \tau )}{\rho \Theta _{m} (\xi _{0} ,\rho )}}  d\rho , 
\end{multline*} \]
где функции $\Psi _{m} (\xi ,\rho )$, $\Theta _{m} (\xi _{0} ,\rho )$ указаны выше;
\[
\frac{W_{2} (\xi ,\tau )}{(\xi _{0} /\xi )^{m} (1-2\gamma )^{-1} } =\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }\frac{\gamma (\rho )F_{m} (\xi ,\rho )[1-\exp (-\rho \tau )]}{\rho ^{2} \Theta _{m+1} (\xi _{0} ,\rho )}  d\rho  ,
\]
где $F_{m} (\xi , \rho )=Y_{m} (\xi \gamma (\rho ))J_{m+1} (\xi _{0} \gamma (\rho ))-J_{m} (\xi \gamma (\rho ))Y_{m+1} (\xi _{0} \gamma (\rho ))$;
\[
\frac{W_{3} (\xi ,\tau )}{(\xi _{0} /\xi )^{m} (1-2\gamma )^{-1} } 
=\frac{{\sf Bi}^{*} }{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }\frac{\gamma (\rho )\Psi _{1} (\xi \gamma (\rho ))[1-\exp (-\rho \tau )]}{\rho \Psi _{2} (\xi _{0} \gamma (\rho ))}  d\rho -\frac{\gamma }{(\xi _{0} /\xi )^{m} } , 
\]
где
\[\begin{multline*}
\Psi _{1} (\xi \gamma (\rho ))= {\sf Bi}^{*} \gamma (\rho )[J_{m} (\xi \gamma (\rho ))Y_{m} (\xi _{0} \gamma (\rho ))-Y_{m} (\xi \gamma (\rho ))J_{m} (\xi _{0} \gamma (\rho ))]+  {}
\\ 
{}
+[J_{m} (\xi \gamma (\rho ))Y_{m} (\xi _{0} \gamma (\rho ))-Y_{m} (\xi \gamma (\rho ))J_{m} (\xi _{0} \gamma (\rho ))]+ {}
\\ 
{} +\rho [J_{m} (\xi \gamma (\rho ))Y_{m+1} (\xi _{0} \gamma (\rho ))-Y_{m+1} (\xi \gamma (\rho ))J_{m} (\xi _{0} \gamma (\rho ))],
\end{multline*}\]
\[
\Psi _{2} (\xi _{0} \gamma (\rho ))=\rho ^{2} 
[\Theta _{m+1} (\xi _{0} ,\rho )- {\sf Bi}^{*2} \gamma ^{2} (\rho )\Theta _{m} (\xi _{0} ,\rho )]-2 {\sf Bi}^{*} \rho \gamma (\rho )\Phi _{m} (\xi _{0} ,\rho ).
\]

Следует отметить, что полученные точные обобщенные решения являются новым результатом в аналитической теории теплообмена, поскольку ранее функциональные конструкции для аналитических решений данного класса тепловых задач не были известны. Некоторая громоздкость полученных соотношений обусловлена постановкой модельных задач в трех системах координат и сложностью перехода к оригиналам операционных решений. Тем не менее наличие развитого программного обеспечения позволяет проводить соответствующие численные эксперименты без существенных трудностей.

В ряде публикаций по локально-неравновесному теплообмену в частично ограниченной области $z>R$, $t>0$ граничное условие теплообмена поверхности области со средой
\[\begin{equation} 
\tag{25}
\frac{1}{\tau _{p} } \int _{0}^{t}\frac{\partial T(z,\tau )}{\partial z}  \Big|_{z=R} \exp \Bigl(-\frac{t-\tau }{\tau _{p} } \Bigr)d\tau =h [T(R,t) -T_{c} ],  \quad   t>0 
\end{equation} \]
(во избежание излишней громоздкости) заменяется на граничное условие теплообмена для задач на основе уравнений параболического типа
\[\begin{equation} 
\tag{26}
\frac{\partial T(z,t)}{\partial z} \Big|_{z=R}  =h [T(R,t) -T_{c}   ], \quad  t>0,       
\end{equation} \]
что не вполне корректно. Однако даже для этого случая в литературе представлены только численные или приближенные решения. Для устранения данного пробела рассмотрим две модельные задачи для более сложного случая конечной области $0<z<R$, $t>0$ с граничными условиями на левой границе: обобщенного типа (25) и классического типа (26). В безразмерных переменных ($\xi ,\tau )$ постановка задачи принимает вид:
\[\begin{equation} 
\tag{27}
\begin{array}{c} 
\dfrac{\partial W(\xi ,\tau )}{\partial \tau } =\dfrac{\partial ^{2} W}{\partial \xi ^{2} } -\beta ^{2} \dfrac{\partial ^{2} W}{\partial \tau ^{2} } , \quad 0<\xi <\xi _{0} , \quad \tau >0;
\\
W(\xi , 0) =\dfrac{\partial W(\xi ,\tau )}{\partial \tau } \Big|_{\tau =0}  =0, \quad 0\leqslant \xi \leqslant \xi _{0} ; 
\\
\dfrac{\partial W(\xi ,\tau )}{\partial \xi } \Big|_{\xi =0} ={\sf Bi} [W(0 ,\tau ) -1 ], \quad \tau >0; 
\\
W(\xi_0 ,\tau ) =0, \quad \tau >0.
\end{array} 
\end{equation}\] 

Теперь рассмотрим вторую постановку:
\[\begin{equation} 
\tag{28} 
\begin{array}{c} 
\dfrac{\partial W(\xi ,\tau )}{\partial \tau } =\dfrac{\partial ^{2} W}{\partial \xi ^{2} } -\beta ^{2} \dfrac{\partial ^{2} W}{\partial \tau ^{2} } , \quad 0<\xi <\xi _{0} , \quad \tau >0;
\\
W(\xi , 0) =\dfrac{\partial W(\xi ,\tau )}{\partial \tau } \Big|_{\tau =0} =0, \quad 0\leqslant \xi \leqslant \xi _{0} ; 
\\
\displaystyle
\dfrac{1}{\beta ^{2} } \int _{0}^{\tau }
\frac{\partial W(\xi ,\tau')}{\partial \xi }\Big|_{\xi =0}
\exp \Bigl(-\frac{\tau -\tau'}{\beta ^{2} } \Bigr)d\tau' =
{\sf Bi} [W(0 ,\tau )  -1  ], \quad \tau >0;
\\
W(\xi_0 ,\tau )   =0, \quad \tau >0. 
\end{array} 
\end{equation} \]

Вначале изучим случай (27). В пространстве изображений по Лапласу операционное решение задачи (27) имеет вид
\[
\overline{W}(\xi ,p)=\frac{{\sf Bi}}{p[{\sf Bi}-\overline{\mu }(p)]} 
\frac{sh[(\xi -\xi _{0} )\overline{\mu }(p)]}{sh[\xi _{0} \overline{\mu }(p)]} ,
\] 
или
\[\begin{equation} 
\tag{29}
\overline{W}(\xi ,p)=\frac{{\sf Bi}}{p[{\sf Bi}-\overline{\mu }(p)]} 
\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\exp[-\gamma _{1k} (\xi )\overline{\mu }(p)] -\exp [-\gamma _{2k} (\xi )\overline{\mu }(p)]\right\},  
\end{equation} \]
где 
\[\begin{equation}
\tag{30}
\overline{\mu }(p)=\sqrt{\beta ^{2} p^{2} +p} , \quad \gamma _{1k} (\xi )=\xi +2k\xi _{0} , \quad \gamma _{2k} (\xi )=2(k+1)\xi _{0} -\xi .
\end{equation}\]

Определение оригинала нестандартного изображения $\frac{{\sf Bi}}{p[{\sf Bi}-\overline{\mu}(p)]}$ требует проведения ряда преобразований. В результате получаем:
\[\begin{multline*} 
\frac{\sf Bi}{p[{\sf Bi}-\overline{\mu }(p)]} 
\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
{\sf Bi}\exp (-\gamma _{2} \tau )\bigg\{\gamma _{1} \Big[\frac{2\gamma _{2} }{\gamma _{2}^{2} -\gamma _{3}^{2} }  \exp (\gamma _{3} \tau )-\frac{1}{\gamma _{2} -\gamma _{3} } \exp (\gamma _{2} \tau )-{}
\\
{}-\frac{1}{\gamma _{2} -\gamma _{3} } \exp (\gamma _{2} \tau )-\frac{1}{\gamma _{2} +\gamma _{3} } \exp (-\gamma _{2} \tau )\Big]+ {}
\\
{} +\frac{1-\gamma _{4} }{2\gamma _{5} } \int _{0}^{\tau }I_{0} (\gamma _{3} \tau')\exp[-\gamma _{2} (\tau -\tau')]d\tau'  - {}
\\
{}-\frac{1+\gamma _{4} }{2\gamma _{5} } \int _{0}^{\tau }I_{0} (\gamma _{3} \tau' )\exp[\gamma _{2} (\tau -\tau')]d\tau' \bigg\}=\Psi _{3} (\tau ).  
\end{multline*} \]
Здесь
\[\begin{gather*}
\gamma _{1} =\frac{{\sf Bi}/\beta ^{2} }{2\sqrt{({\sf Bi}/\beta )^{2} +\frac{1}{4\beta ^{4} } } } , 
\quad
\gamma _{2} =\sqrt{({\sf Bi}/\beta )^{2} +\frac{1}{4\beta ^{4} } } , 
\quad
\gamma _{3} = \frac{1}{ 2\beta ^{2} },
\\
\gamma _{4} =\sqrt{({\sf Bi}/\beta )^{2} +\frac 14} , 
\quad
\gamma _{5} =\sqrt{({\sf Bi}/\beta ^{2} )^{2} +\frac{1}{4\beta ^{2} } } .
\end{gather*} \]
Оригинал для второго множителя в (29) находится с использованием соотношения (14):
\[\begin{multline*}
\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=1}^{2}(-1)^{i-1}   
\exp[-\gamma _{ik} (\xi )\overline{\mu }(p)] 
\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 
\\
 \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=1}^{2}(-1)^{i-1}   \bigg\{ \frac 1 \pi \int _{0}^{1/\beta ^{2} } \exp (-\rho \tau )\sin[\gamma _{ik} (\xi )\sqrt{\rho -\beta ^{2} \rho ^{2} }]d\rho  \bigg\}\eta (\tau -\gamma _{ik} \beta )=
\\
=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=1}^{2}(-1)^{i-1} \Psi _{ik} (\xi ,\tau )\eta (\tau -\gamma _{ik} \beta ),  
\end{multline*}\]
где
\[\begin{equation} 
\tag{31}
\Psi _{ik} (\xi ,\tau )=\frac{1}{\pi } \int _{0}^{1/\beta ^{2} }\exp (-\rho \tau )\sin[\gamma _{ik} (\xi )\sqrt{\rho -\beta ^{2} \rho ^{2} }]d\rho   .
\end{equation} \]
Теперь можно записать окончательный результат — аналитическое решение задачи (27):
\[
W(\xi ,\tau )=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=1}^{2}(-1)^{i-1} \int _{\gamma _{ik}\beta }^{\tau }\Psi _{ik} (\xi ,\tau')\Psi _{3} (\tau -\tau')d\tau'.     
\]
Обратимся к случаю (28). Операционное решение соответствующей краевой задачи записывается следующим образом:
\[
\overline{W}(\xi ,p)= 
\frac{\sf Bi}{p} 
\sum _{k=0}^{\infty }\frac{\bigl[{\sf Bi}-\frac{\overline{\mu }(p)}{\beta ^{2} p+1} \bigr]^{k} }{\bigl[{\sf Bi}+\frac{\overline{\mu }(p)}{\beta ^{2} p+1} \bigr]^{k+1} } \bigl[
\exp (-\gamma _{1k} (\xi )\overline{\mu }(p))-\exp (-\gamma _{2k} (\xi )\overline{\mu }(p))
\bigr],
\] 
где  $\overline{\mu }(p)$ и $\gamma _{ik} (\xi )$  указаны в (30). Оригинал решения имеет вид
\[
W(\xi ,\tau )=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=1}^{2}(-1)^{i-1} \int _{\gamma _{ik} \beta }^{\tau }\left[\int _{0}^{\infty }f_{k} (\tau' )\Psi _{2} (\tau -u,\tau' )d\tau'  \right]\Psi _{ik} (\xi ,u)du,    
\]
где $f_{k} (\tau )$, $\Psi _{2} (\tau ,\tau')$ имеют вид (22), $\Psi _{ik} (\xi ,\tau )$  указано в (31). 

Проведенный анализ показывает, что вычислительная сложность получения аналитических решений для различных типов граничных условий сопоставима, что свидетельствует о нецелесообразности упрощения постановки задач.

В качестве дополнительного приложения полученных результатов исследуем две модели, характерные для задач теплового удара:
\[\begin{equation} 
\tag{32}
\frac{\partial W_{i} (\xi, \tau)}{\partial \tau } =\frac{\partial ^{2} W_{i} (\xi, \tau)}{\partial \xi ^{2} } -\beta ^{2} \frac{\partial ^{2} W_{i} (\xi, \tau)}{\partial \tau ^{2} } , \; 0<\xi <\xi _{0} , \; \tau >0, \; i=1, 2;  
\end{equation} \]
\[
W_{i} (\xi, 0)  =\frac{\partial W_{i} (\xi, \tau)}{\partial \tau} \Big|_{\tau =0} =0, \quad 0\leqslant \xi \leqslant \xi _{0} ; 
\]
\[\begin{equation} 
\tag{33}
W_{1} \Big|_{\xi =0} =1, \quad W_{1} \Big|_{\xi =\xi _{0} } =0, \quad \tau >0,  
\end{equation} \]
\[\begin{equation} 
\tag{34}
W_{2} \Big|_{\xi =0} =1, \quad (\partial W_{2} /\partial \xi )_{\xi =\xi _{0} } =0, \quad \tau >0.  
\end{equation} \]

Применяя преобразование Лапласа к задачам (32)–(34), получаем операционные решения в пространстве изображений:
\[
\overline{W}_{1} (\xi ,p)=\frac{1}{p} \frac{sh[(\xi _{0} -\xi )\overline{S}(p)]}{sh[\xi _{0} \overline{S}(p)]} , \quad 
\overline{W}_{2} (\xi ,p)=\frac{1}{p} \frac{ch[(\xi -\xi _{0} )\overline{S}(p)]}{ch[\xi _{0} \overline{S}(p)]} .
\] 

Для последующего перехода к оригиналам представим гиперболические функции в виде рядов:
\[\begin{gather*}
\overline{W}_{1} (\xi ,p)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{p} 
\bigl\{\exp[-\gamma _{1k} \overline{S}(p)]-\exp[-\gamma _{2k} \overline{S}(p)]\bigr\},
\\
\overline{W}_{2} (\xi ,p)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k} }{p}
\bigl\{\exp[-\gamma _{1k} \overline{S}(p)]+\exp[-\gamma _{2k} \overline{S}(p)]\bigr\}, 
\end{gather*} \]
где введены обозначения
\[
\gamma _{1k} =2k\xi _{0} +\xi , \quad \gamma _{2k} =2(k+1)\xi _{0} +\xi , \quad \overline{S}(p)=\sqrt{\beta ^{2} p^{2} +p} .
\] 

Используя разработанный ранее аппарат операционного исчисления, переходим к оригиналам и получаем окончательные аналитические решения:
\[\begin{gather*} 
W_{1} (\xi ,\tau )=\sum _{k=0}^{\infty }\bigl\{\Psi [\gamma _{1k} (\xi ),\tau]-\Psi[\gamma _{2k} (\xi ),\tau ]\bigr\} ,  
\\
W_{2} (\xi ,\tau )=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\bigl\{\Psi[\gamma _{1k} (\xi ),\tau]+\Psi[\gamma _{2k} (\xi ),\tau]\bigr\} ,  
\end{gather*} \]
где ядро преобразования имеет вид
\[\begin{multline*}  
\Psi (\gamma _{ik} ,\tau )=
\Biggl[\exp \Bigl(-\frac{\gamma _{ik} }{2\beta } \Bigr) +{}
\\
{} +\frac{\gamma _{ik} }{2\beta } 
\int _{\gamma _{ik} /2\beta }^{\tau /2\beta ^{2} }\exp (-y)
\frac{I_{1} \Bigl(\sqrt{y^{2} -\bigl(\frac{\gamma _{ik} }{2\beta } \bigr)^{2} } \Bigr)}{\sqrt{y^{2} -\bigl(\frac{\gamma _{ik} }{2\beta } \bigr)^{2} } } dy \Bigg]\eta (\tau -\gamma _{ik} \beta ). 
\end{multline*}\]

Предложенный метод может быть распространен на все 9 типов граничных условий для $W(\xi,\tau)$ в области $\xi\in[0,\xi _{0}]$, $\tau \geqslant 0$. Таким образом, в работе предложен подход, позволяющий в принципе решить задачу построения аналитических решений для ограниченных и частично ограниченных областей в рамках гиперболической модели теплопроводности.

Необходимо отметить, что полученные решения могут быть представлены в различных эквивалентных функциональных формах. Указанная особенность является характерным свойством гиперболических моделей переноса и связана с различными способами обращения операционных соотношений.

Численная реализация полученных аналитических соотношений может быть осуществлена с использованием современных вычислительных средств, применяемых в аналитической теплофизике.

Заключение

В работе развит аппарат операционного исчисления на основе преобразования Лапласа, включающий нестандартные изображения и их оригиналы, который применен в качестве основного математического инструмента для исследования теплового отклика твердых тел на нагрев и охлаждение в рамках обобщенных задач локально-неравновесного теплообмена. Разработанный подход существенно расширяет аналитические возможности данного направления теплофизики. В качестве практической реализации метода получены аналитические решения ряда обобщенных задач теории теплопроводности, представляющие новый результат в аналитической теплофизике.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все  авторы  принимали  участие  в  разработке  концепции статьи и  в  написании  рукописи. Авторы несут  полную ответственность  за  предоставление  окончательной рукописи в печать. Окончательная  версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнено при финансовой поддержке АНО «Аналитический центр при Правительстве Российской Федерации» в рамках договора № 70-2025-000814 от 04.06.2025.

About the authors

Eduard M. Kartashov

Moscow Aviation Institute (National Research University); MIREA — Russian Technological University

Email: professor.kartashov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-7808-4246
Scopus Author ID: 7004134344
https://www.mathnet.ru/rus/person27518

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Professor; Dept. of Computational Mathematics and Programming; Professor; Dept. of Higher and Applied Mathematics

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4; 119454, Moscow, prosp. Vernadskogo, 78

Sergey S. Krylov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: compgra@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-3267-6411
SPIN-code: 8634-7203
Scopus Author ID: 55453093500
https://www.mathnet.ru/eng/person232488

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Head of Department; Dept. of Computational Mathematics and Programming

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4

Evgenii V. Nenakhov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: newnew94@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-4165-0520
SPIN-code: 8305-3922
Scopus Author ID: 57221920841
https://www.mathnet.ru/rus/person169372

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Computational Mathematics and Programming

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4

References

Supplementary files