On the reflection of a plane shock wave from a rigid wall in a detonating gas

Full Text

Введение

Течение в ударной трубе за отраженной ударной волной в горючей газовой смеси служит предметом исследования в значительном числе экспериментальных и расчетно-теоретических работ [1–8]. В этих работах исследуются время задержки самовоспламенения горючей смеси, распространение волны горения, переход горения в детонацию, распространение супердетонации, параметры за пересжатыми детонационными волнами и детонация Чепмена—Жуге. Настоящая работа развивает подход, представленный в работе [9], и посвящена исследованию режимов и параметров распространения отраженных волн после инициирования и установления детонации. Следует отметить, что распространение детонации представляет собой чрезвычайно сложный нестационарный пространственный процесс, для моделирования которого в настоящее время применяются вычислительные модели и программные комплексы, требующие многочасовых расчетов на современных многопроцессорных вычислительных системах [5, 7]. Для практических приложений особую важность имеют вычислительные модели, позволяющие проводить экспресс-анализ параметров течения, реализующихся в детонационных волнах [8]. В настоящей работе рассмотрена автомодельная задача об отражении плоской ударной волны от жесткой стенки в детонирующем газе (время решения которой составляет менее одной секунды), которая позволяет предсказывать средние значения параметров, получаемых в результате решения нестационарных уравнений физической газовой динамики. Данная задача также может быть использована для тестирования программных комплексов, предназначенных для моделирования многомерных течений реагирующего газа.

1. Физико-математическая модель

Рассматривается течение в ударной трубе, заполненной горючей смесью, которое возникает после отражения ударной волны (УВ) от закрытого торца (рис. 1). Принимается, что параметры перед отраженной ударной волной постоянны, а химические превращения отсутствуют. Газодинамическое течение описывается в рамках двумерной нестационарной постановки; вязкость, теплопроводность и диффузия не учитываются. Продукты сгорания считаются смесью совершенных газов.

 

Рис. 1. Схема течения при отражении ударной волны от стенки в детонирующем газе. Обозначения: $O$ — момент взаимодействия падающей УВ со стенкой; $B$ — момент самовоспламенения; $C$ — точка взаимодействия волны горения с отраженной УВ. Волны: ISW — падающая ударная волна (ПУВ); RSW — отраженная ударная волна (ОУВ); CW — волна горения (ВГ); DW — детонационная волна (ДВ). Области течения: 0 — перед ПУВ; 1 — за ПУВ; 2 — за ОУВ; 3 — за ДВ
[Figure 1. Flow structure upon shock wave reflection from a wall in a detonating gas mixture. Notation: $O$ — incident shock impingement on the wall; $B$ — ignition event; $C$ — combustion wave and reflected shock interaction point. Waves: ISW—incident shock wave; RSW—reflected shock wave; CW—combustion wave; DW—detonation wave. Flow regions: 0—ahead of ISW; 1—behind ISW; 2—behind RSW; 3—behind DW]

 

Для описания течения в областях непрерывного течения используется система уравнений многокомпонентной газовой динамики в консервативной форме:
\[\begin{equation}
\tag{1}
\frac{\partial q}{\partial t} + \frac{\partial f(q)}{\partial x} + \frac{\partial g(q)}{\partial y} = H,
\end{equation}\]
где
\[\begin{equation}
\tag{2}
q = \begin{bmatrix}
  \rho \\
  \rho u \\
  \rho v \\
  E \\
  \rho Y_1 \\
  \vdots \\
  \rho Y_N
\end{bmatrix}, \quad 
f(q) = \begin{bmatrix}
  \rho u \\
  \rho u^2 + p \\
  \rho u v \\
  (E + p)u \\
  \rho u Y_1 \\
  \vdots \\
  \rho u Y_N
\end{bmatrix}, \quad 
g(q) = \begin{bmatrix}
  \rho v \\
  \rho u v \\
  \rho v^2 + p \\
  (E + p)v \\
  \rho v Y_1 \\
  \vdots \\
  \rho v Y_N
\end{bmatrix},
\end{equation}\] 
\[\begin{equation}
\tag{3}
H = \begin{bmatrix}
  0 \\
  0 \\
  0 \\
  0 \\
  W_1 \\
  \vdots \\
  W_N
\end{bmatrix}; \quad
w^2 = u^2 + v^2, \quad
E = \rho \Bigl(e + \frac{w^2}{2}\Bigr), \quad
h = e + \frac{p}{\rho}.
\end{equation}\]
Здесь $\rho$ — плотность; $u$, $v$ — компоненты скорости; $p$ — давление; $e$ — удельная внутренняя энергия; $E$ — полная энергия в единице объема; $h$ — удельная энтальпия; $Y_i$ — массовая доля $i$-го компонента; $W_i$ — скорость образования $i$-го компонента в единице объема в результате химических реакций, $i = 1, 2, \dots, N$.

Система уравнений (1) замыкается моделью термодинамики многокомпонентной смеси совершенных газов. В качестве фундаментального соотношения используется удельный термодинамический потенциал Гиббса [10]:
\[\begin{equation}
\tag{4}
G(p,T,\overrightarrow{\gamma}) = \sum\limits_{i = 1}^N \gamma_i \left[ RT \ln \Bigl( \frac{p \gamma_i}{P_0 \sum_{j=1}^N \gamma_j} \Bigr) + G_i^0(T) \right].
\end{equation}\]
Соответствующие потенциалу (4) термическое и калорическое уравнения состояния записываются в виде
\[\begin{equation}
\tag{5}
\frac{1}{\rho} = \frac{R T }{p} \sum_{i=1}^N \gamma_i, \quad h = \sum_{i=1}^N \gamma_i H_i^0(T),
\end{equation}\]
где 
\[
H_i^0(T) = G_i^0(T) - T \frac{dG_i^0(T)}{dT}.
\] 
Удельная энтропия $s$ определяется выражением
\[
s = \sum\limits_{i = 1}^N \gamma_i \left[ -R \ln \Bigl( \frac{p \gamma_i}{P_0 \sum_{j=1}^N \gamma_j} \Bigr) + S_i^0(T) \right],
\]
где  \( S_i^0(T) = - \frac{dG_i^0(T)}{dT}. \) Здесь $R$ — универсальная газовая постоянная; $T$ — температура; $P_0 = 101\,325$ Па — стандартное давление; $G_i^0(T)$, $H_i^0(T)$, $S_i^0(T)$ — стандартные молярные потенциал Гиббса, энтальпия и энтропия $i$-го компонента соответственно, являющиеся известными функциями температуры [10].

Для описания кинетики химических превращений рассматривается произвольный механизм, состоящий из $N_{r}$ реакций. Общая запись для $r$-й реакции ($r = 1, 2, \dots, N_r$) имеет вид
\[
\sum\limits_{i = 1}^N \overrightarrow{\nu}_i^{(r)} M_i \; \rightleftharpoons \; \sum\limits_{i = 1}^N \overleftarrow{\nu}_i^{(r)} M_i,
\]
где $M_i$ — химический символ $i$-го компонента; $\overrightarrow{\nu}_i^{(r)}$, $\overleftarrow{\nu}_i^{(r)}$ — стехиометрические коэффициенты исходных веществ и продуктов реакции в прямой и обратной реакциях соответственно.

Скорость образования $i$-го компонента в единице объема, входящая в систему уравнений (1), определяется законом действующих масс:
\[\begin{equation*}
W_i = \sum\limits_{r = 1}^{N_r} \bigl( \overleftarrow{\nu}_i^{(r)} - \overrightarrow{\nu}_i^{(r)} \bigr)  
\biggl[ \overrightarrow{K}^{(r)} \prod\limits_{j = 1}^N (\rho \gamma_j)^{\overrightarrow{\nu}_j^{(r)}} - 
\overleftarrow{K}^{(r)} \prod\limits_{j = 1}^N (\rho \gamma_j)^{\overleftarrow{\nu}_j^{(r)}} \biggr].
\end{equation*}\]
В (6) $\overrightarrow{K}^{(r)}$, $\overleftarrow{K}^{(r)}$ — константы скоростей прямой и обратной $r$-й реакций, зависящие от температуры и давления. Данные константы связаны между собой через константу химического равновесия [10, 11].

Для решения системы уравнений в частных производных (1)–(3), дополненной уравнениями состояния (5), использовалась модификация метода, предложенного в [12, 13], основанная на комбинации метода Годунова и метода характеристик. Разработанные физико-математическая и вычислительная модели применимы для численного исследования течений в энергетических установках, в которых реализуются высокоскоростные течения с ударными волнами и неравновесными химическими превращениями (ракетные и детонационные двигатели, установки детонационного напыления покрытий и др.), а также в задачах обеспечения взрывобезопасности.

В начальный момент времени задавалась изолированная ударная волна, распространяющаяся по направлению к жесткой стенке с заданной скоростью $D$. Параметры течения слева и справа от ударной волны (в областях «0» и «1», рис. 1) полагались удовлетворяющими соотношениям Ренкина—Гюгонио для ударной волны, движущейся со скоростью $D$:
\[\begin{equation}
\tag{6}
\begin{array}{c}
\rho_{L}(D - u_{L} ) = \rho _{R} (D - u_{R} ), 
 \\
p_{L} + \rho _{L} (D - u_{L} )^2 = p_{R} + \rho _{R} (D - u_{R} )^2, 
 \\
\rho_{L} (D - u_{L} )\Bigl(h_{L} + \dfrac{(D - u_{L} )^2}{2}\Bigr) = \rho _{R} (D - u_{R} )\Bigl(h_{R} +\dfrac{(D - u_{R} )^2}{2}\Bigr) ,
 \end{array}
\end{equation}\]
и условию непрерывности концентраций компонентов, причем их значения были таковы, что воспламенения горючей смеси не происходит: 
\[\begin{equation}
\tag{7}
\gamma _{Li} = \gamma _{Ri} ,\quad i = 1,2,\dots,N.
\end{equation}\]
Здесь индексы $L$ и $R$ обозначают параметры непосредственно слева и справа от фронта ударной волны: $\rho_{L}$, $\rho_{R}$ — плотности; $u_{L}$, $u_{R}$ — скорости газа относительно лабораторной системы отсчета; $p_{L}$, $p_{R}$ — давления; $h_{L}$, $h_{R}$ — удельные энтальпии.

Параметры течения газа в момент отражения УВ от стенки (в областях «1» и «2», рис. 1) также связаны соотношениями Ренкина—Гюгонио (6), (7) с дополнительным граничным условием непротекания на жесткой стенке:
\[\begin{equation}
\tag{8}
u_{L} = 0.
\end{equation}\]
Здесь индекс $L$ относится к области за фронтом отраженной волны (область «2»).

Из системы уравнений (6)–(8) определяются скорость отраженной ударной волны и параметры течения в области «2». Начальные параметры в ударной трубе подбираются таким образом, чтобы за отраженной УВ происходило воспламенение горючей смеси (точка $B$, рис. 1),  в результате которого образуется волна горения, догоняющая отраженную ударную волну (точка $C$, рис. 1); вследствие их взаимодействия формируется детонационная волна (ДВ). ДВ состоит из ударной волны и примыкающей к ней узкой зоны экзотермических химических превращений, которая завершается переходом в состояние термодинамического равновесия (область «3», рис. 1). Образовавшаяся детонационная волна в осредненном представлении может распространяться по ударной трубе либо в пересжатом режиме, либо в режиме Чепмена—Жуге.

2. Автомодельная задача об отражении от стенки плоской ударной волны в горючей смеси газов

Рассматривается дополнительная «элементарная» автомодельная задача об отражении ударной волны в горючей смеси газов с образованием детонационной волны (постановка данной задачи аналогична описанной в классической работе Г. М. Бам—Зеликовича [14]).

Параметры перед отраженной детонационной волной считаются заданными и равными параметрам за падающей ударной волной (область «1», рис. 2). Решение зависит от автомодельной переменной $\xi = x/t$. Параметры в области «3» (рис. 2) постоянны и могут быть найдены из системы уравнений, включающей соотношения (6), (8) и условия химического равновесия в области «3». Концентрации химических компонентов в состоянии термодинамического равновесия [11] удовлетворяют системе:
\[\begin{equation}
\tag{9}
\begin{array}{ll}
\displaystyle
\sum\limits_{i = 1}^N A_K^i \gamma_i = \gamma_K^0, & K = 1,2,\dots,N_e,
\\ 
\displaystyle
\mu_i (\rho, T, \overrightarrow{\gamma}) = \sum\limits_{K = 1}^{N_e} A_K^i z_K, & i = 1,2,\dots,N.
\end{array}
\end{equation}\]
Здесь $N_{e}$ — число элементов в системе; $A^{i}_{K}$ — матрица состава; $\gamma^{0}_{K}$ — заданные значения мольно-массовых концентраций элементов, которые рассчитываются по исходному составу горючей смеси из области «1»; $z_{K}$ — неизвестные параметры, число которых равно числу элементов; $\mu_{i}$ — приведенный химический потенциал $i$-го компонента:
\[\begin{equation}
\tag{10}
\mu_i (\rho, T, \overrightarrow{\gamma}) = \ln \Bigl( \frac{\rho RT\gamma_i}{P_0} \Bigr) + \frac{G_i^0 (T)}{RT}.
\end{equation}\]

 

Рис. 2. Образование детонационной волны при отражении ударной волны от стенки: a) режим с образованием пересжатой детонационной волны (ПДВ); b) режим с образованием детонационной волны Чепмена—Жуге (ДВЧЖ) и примыкающего веера волн разрежения (ВВР). Области течения: 0 — перед ПУВ; 1 — за ПУВ; 3 — непосредственно за детонационной волной; 4 — пристеночная область (для случая b). Обозначения: ISW — падающая ударная волна; ODW — пересжатая детонационная волна; CJDW — детонационная волна Чепмена—Жуге; EF — веер волн разрежения
[Figure 2. Formation of a detonation wave upon shock wave reflection from a wall: a) overdriven detonation wave (ODW) regime; b) Chapman—Jouguet detonation wave (CJDW) regime with an adjacent expansion fan (EF). Flow regions: 0—ahead of ISW; 1—behind ISW; 3—immediately behind the detonation wave; 4—near-wall region (for case b)]

 

Соотношения (9), (10) позволяют считать, что в состоянии термодинамического равновесия мольно-массовые концентрации компонентов и их частные производные по плотности и температуре являются неявно заданными функциями плотности, температуры и мольно-массовых концентраций элементов [11]:
\[\begin{equation}
\tag{11}
\begin{array}{cl}
\gamma_i = \gamma_i (\rho, T, \gamma_1^0, \dots, \gamma_{N_e}^0), & \\
\gamma_{i\rho} = \gamma_{i\rho} (\rho, T, \gamma_1^0, \dots, \gamma_{N_e}^0), & \\
\gamma_{iT} = \gamma_{iT} (\rho, T, \gamma_1^0, \dots, \gamma_{N_e}^0), & i = 1,\dots,N.
\end{array}
\end{equation}\]

Функции (11) используются при вычислении частных производных от термодинамических функций в состоянии равновесия; вычислительные алгоритмы их расчета приведены в работе [11].

В зависимости от параметров в области «1» (или скорости ПУВ) система уравнений (6), (8), (9) может иметь физическое решение, соответствующее скорости распространения детонационной волны 
\[
D \leqslant u_3 + a_3.
\]
Решение системы уравнений (6), (8), (9) в случае $D > u_3 + a_3$ противоречит уравнениям газовой динамики, поскольку возмущения не догоняют ударную волну [3]. Для нахождения допустимого решения для детонационной волны в этом случае необходимо присоединить центрированный веер волн разрежения, что возможно только при выполнении условия Чепмена—Жуге: 
\[\begin{equation*}
D = u_{3} + a_{3},
\end{equation*}\]
которое используется вместо условия (8). В веере волн разрежения скорость потока меняется от положительного значения непосредственно за ударной волной (рис. 2, b) до нуля. Для нахождения решения в веере волн разрежения используются уравнения газовой динамики в характеристической форме (случай левой стенки, рис. 2)
\[
\xi = u + a, \quad du - \frac{1}{\rho a}dp = 0, \quad dS = 0,
\]
совместно с (5) и (11). После расчета параметров за детонационной волной (область «3») параметры в области «4» (рис. 2) могут быть найдены из системы (5), (11) преобразованного соотношения вдоль характеристики $C^{-}$ и условия изоэнтропичности:
\[\begin{equation}
\tag{12}
u_3 - \int_{T_3}^{T_4}   \frac{1}{\rho a} \frac{S_\rho^T p_T^\rho - S_T^\rho p_\rho^T}{S_\rho^T}   dT = 0.
\end{equation}\]
Здесь 
\[
a^2 = \frac{S_T^\rho p_\rho^T - S_\rho^T p_T^\rho}{S_T^\rho},\quad 
\frac{S_T^\rho}{S_\rho^T} = \frac{\rho h_T^\rho - p_T^\rho}{\rho h_\rho^T - p_\rho^T},\quad  
\rho = \rho (T): S(\rho, T) - S_3 = 0;
\] 
выражение $F_X^Y$ используется для обозначения частной производной функции $F$: $F_X^Y = \left( \frac{\partial F}{\partial X} \right)_Y$.

Из уравнения (12) определяется температура $T_{4}$ (рис. 2, b), из условия изоэнтропичности находится $\rho_4$, из термического уравнения состояния — давление $p_{4}$ и величина $\xi_4 = a_4$. Параметры внутри веера волн разрежения рассчитываются как функции $\xi$:
\[\begin{equation*}
\begin{array}{llll}
a_4 \leqslant \xi \leqslant u_3 + a_3, & u = \xi - a, & \displaystyle u_3 - \xi + a - \int_{p_3}^{p} \frac{1}{\rho a} dp = 0, & S_3 - S = 0;
\\
0 \leqslant \xi \leqslant a_4, & u = 0, & p = p_4, \qquad\quad \rho = \rho_4.
\end{array}
\end{equation*}\]

Конфигурации, представленные на рис. 2, могут быть интерпретированы как случай отражения УВ от стенки при стремлении точки $C$ к точке $O$ либо как случай, когда детонационная волна находится на расстоянии от стенки, существенно превосходящем расстояние до точки $C$ (рис. 1), при дополнительном предположении о малости зоны неравновесного протекания химических превращений в ДВ.

3. Результаты численного моделирования

Рассматривалось течение, возникающее в ударной трубе, заполненной метано-воздушной горючей смесью ($0.091\mathrm{CH_4}+0.182\mathrm{O_2}+0.727\mathrm{N_2}$), за отраженной ударной волной. Продукты сгорания описывались смесью, включающей 7 компонентов ($\mathrm{CH_4}$, $\mathrm{O_2}$, $\mathrm{CO}$, $\mathrm{CO_2}$, $\mathrm{H_2}$, $\mathrm{H_2O}$, $\mathrm{N_2}$), термодинамические свойства которых заимствовались из [10]. Для описания химических превращений использовался упрощенный кинетический механизм [15, 16], параметры реакций которого приведены в табл. 1.

Все реакции считались обратимыми. Для вычисления скорости прямых реакций применялась обобщенная формула Аррениуса:
\[
\overrightarrow{K} = A(P / P_0)^n \exp ( - E / T).
\]

Таблица 1. Параметры реакций упрощенного кинетического механизма [Parameters of the simplified kinetic mechanism reactions]

no.	Chemical reaction	$A$, m$^{\text{3}}$/(mol$\cdot$s)	$n$	$E$, K
1	$\mathrm{CH_4 + O_2 \rightleftharpoons \frac{2}{3}CO + \frac{4}{3}H_2O + \frac{1}{3}CH_4}$	$\phantom{0.}6\cdot 10^{8}$	$-0.2264$	$22\,660$
2	$\mathrm{H_2 + H_2 + O_2 \rightleftharpoons H_2O + H_2O}$	$\phantom{0.}7\cdot 10^{7}$	$-0.5\phantom{000}$	$10\,575$
3	$\mathrm{CO + CO + O_2 \rightleftharpoons CO_2 + CO_2}$	$8.5\cdot 10^{6}$	$-1.5\phantom{000}$	$10\,575$
4	$\mathrm{CO_2 + H_2 \rightleftharpoons CO + H_2O}$	$\phantom{0.}1\cdot 10^{9}$	$-1.0\phantom{000}$	$20\,898$

Варьировалось число Маха падающей ударной волны, распространяющейся по покоящемуся газу при температуре $T_0 = 300$ К и давлении $P_0  = 10000$ Па.

На рис. 3 приведены шкалы давления и температуры, используемые при построении изолиний.

 

Рис. 3. Цветовые шкалы для визуализации изолиний: a) давление, Па; b) температура, К (онлайн в цвете)
[Figure 3. Color scales for contour visualization: a) pressure, Pa; b) temperature, K (online in color)]

 

Рассмотрим картину течения, возникающую после прихода ударной волны на твердую стенку. Плоский канал имел длину 3 м и ширину 0.4 м. В начальный момент времени по каналу, заполненному покоящейся стехиометрической смесью метана с воздухом при температуре 300 К и давлении 10000 Па, в сторону закрытого торца распространялась ударная волна с числом Маха $M = 3.2$. На рис. 4, 6 приведены изолинии температуры, на рис. 5, 7 — изолинии давления. Расчетная сетка содержала 3000 продольных и 400 поперечных ячеек. До момента времени $t \sim 1$ мс картина отражения остается близкой к одномерной. При $t = 1.4$ мс вблизи фронта отраженной волны начинают развиваться поперечные возмущения, которые приводят к неустойчивости фронта и образованию вблизи него зон с заметно отличающимися температурой и давлением (рис. 4, a, b; 5, a, b). При $t = 2.538$ мс поперек расчетной области наблюдается 11 локальных зон неоднородности потока, в которых давление и температура продуктов сгорания изменяются в диапазонах 1.5–2 МПа и 3000–3600 К соответственно.

На рис. 6, 7 приведены зависимости температуры и давления от продольной координаты, построенные вдоль 10 характерных линий $y = \text{const}$ и наложенные на один график.

 

Рис. 4. Изолинии температуры в различные моменты времени: a, b — $t = 1.411$ мс; c, d — $t = 2.538$ мс. Параметры падающей ударной волны: $M_{\text{ISW}} = 3.2$; начальные условия: $p = 10000$ Па, $T = 300$ К (онлайн в цвете)
[Figure 4. Temperature contours at different time instants: a, b — $t = 1.411$ ms; c, d — $t = 2.538$ ms.  Incident shock wave parameters: $M_{\text{ISW}} = 3.2$; initial conditions: $p = 10000$ Pa, $T = 300$ K (online in color)]

 

Рис. 5. Изолинии давления в различные моменты времени: a, b — $t = 1.411$ мс; c, d — $t = 2.538$ мс. Параметры падающей ударной волны: $M_{\text{ISW}} = 3.2$; начальные условия: $p = 10000$ Па, $T = 300$ К (онлайн в цвете)
[Figure 5. Pressure contours at different time instants: a, b — $t = 1.411$ ms; c, d — $t = 2.538$ ms.  Incident shock wave parameters: $M_{\text{ISW}} = 3.2$; initial conditions: $p = 10000$ Pa, $T = 300$ K (online in color)]

 

Рис. 6. Зависимости температуры от продольной координаты: 1 — $t = 1.411$ мс; 2 — $t = 2.538$ мс; 3 — $t = 3.353$ мс; 4 — температура за пересжатой детонационной волной; 5 — температура за детонационной волной Чепмена—Жуге
[Figure 6. Temperature vs. longitudinal coordinate: 1—$t = 1.411$ ms; 2—$t = 2.538$ ms; 3—$t = 3.353$ ms; 4—temperature behind the overdriven detonation wave; 5—temperature behind the Chapman—Jouguet detonation  wave]

 

Рис. 7. Зависимости давления от продольной координаты: 1 — $t = 1.411$ мс; 2 — $t = 2.538$ мс; 3 — $t = 3.353$ мс; 4 — давление за пересжатой детонационной волной; 5 — давление за детонационной волной Чепмена—Жуге
[Figure 7. Pressure vs. longitudinal coordinate: 1—$t = 1.411$ ms; 2—$t = 2.538$ ms; 3—$t = 3.353$ ms; 4—pressure behind the overdriven detonation wave; 5—pressure behind the Chapman—Jouguet detonation  wave]

 

На графиках наблюдаются продольные и поперечные колебания параметров течения. Видно, что на больших расстояниях от отражающей стенки параметры за детонационной волной в среднем соответствуют параметрам за ПДВ, найденным из решения автомодельной задачи. Соответствующие параметры за детонационной волной Чепмена—Жуге оказываются заметно ниже.

На рис. 8 приведены рассчитанные зависимости скорости пересжатой детонационной волны, скорости детонационной волны Чепмена—Жуге (результаты решения автомодельной задачи) и средние значения скорости детонационной волны, полученные в результате двумерного нестационарного расчета. Из графиков видно, что при числе Маха падающей ударной волны, превышающем 2.9, отраженная детонационная волна распространяется в пересжатом режиме (рис. 2, a), при меньших числах Маха — в режиме Чепмена—Жуге (рис. 2, b).

 

Рис. 8. Зависимость скорости детонационной волны от числа Маха падающей ударной волны $M_{\text{ISW}}$: маркеры — средние значения скорости, рассчитанные на большом расстоянии от стенки; 1 — скорость равновесной пересжатой детонационной волны; 2 — скорость детонационной волны Чепмена—Жуге
[Figure 8. Detonation wave velocity vs. incident shock wave Mach number $M_{\text{ISW}}$: markers—average velocity values calculated far from the wall; 1—equilibrium overdriven detonation wave velocity; 2—Chapman—Jouguet detonation wave velocity]

4. Заключение

В работе на примере метано-воздушной смеси рассмотрена в двумерной нестационарной невязкой постановке задача об отражении ударной волны в горючей газовой смеси. Расчетным путем получена детальная картина течения, включающая воспламенение горючей смеси у стенки, образование волн горения и сжатия, их взаимодействие с отраженной ударной волной, а также формирование и распространение пересжатой детонационной волны. Установлено, что параметры пересжатой детонационной волны в среднем соответствуют параметрам, полученным из решения автомодельной задачи о равновесной отраженной детонационной волне.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все  авторы  принимали  участие  в  разработке  концепции  статьи и  в  написании  рукописи. Авторы несут  полную  ответственность  за  предоставление  окончательной рукописи в печать. Окончательная  версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (тема № FSFF-2023-0008) в рамках государственного задания  Московского авиационного института (национального исследовательского университета).

About the authors

Vladimir Yu. Gidaspov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: gidaspov@mai.ru
ORCID iD: 0000-0002-5119-4488
SPIN-code: 9954-7270
Scopus Author ID: 6506396733
ResearcherId: B-4572-2019
https://www.mathnet.ru/rus/person26168

Dr. Phys. & Math. Sci., Senior Researcher; Professor; Dept. of Computational Mathematics and Programming

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4

Natalya S. Severina

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: severinans@mai.ru
ORCID iD: 0000-0001-5951-4629
SPIN-code: 5512-8170
Scopus Author ID: 56638598100
ResearcherId: T-4276-2018
https://www.mathnet.ru/rus/person51389

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Computational Mathematics and Programming

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4

References

Supplementary files