Mathematical and computational modeling of positive and negative ground effect in aerohydrodynamics

Full Text

Введение

Изначально экранный эффект, проявляющийся в увеличении подъемной силы при движении крыла вблизи земной поверхности, был открыт более века назад в процессе пилотирования самолетов на режиме посадки и рассматривался как негативное явление, осложняющее эксплуатацию летательного аппарата. В компоновках скоростных амфибийных судов реализованы геометрические принципы конструирования аэродинамической несущей поверхности, обеспечивающие увеличение вертикальной составляющей аэродинамической силы, действующей на крыло, при его приближении к экрану, при сохранении направления действия против силы тяжести. В судостроении это физическое явление принято называть «положительным влиянием экранного эффекта». Результаты численного моделирования положительного влияния экранного эффекта, выполненного методом контрольных объемов на основе решения осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье—Стокса, замкнутых двухпараметрической моделью турбулентности, представлены в ряде работ [1–6].

Вместе с тем некоторые исследования аэродинамики компоновок скоростных амфибийных судов, использующих положительное влияние экранного эффекта [6], демонстрируют возможность уменьшения коэффициента подъемной силы при приближении судна к экранирующей поверхности. Подобный эффект, как правило, наблюдается при определенных условиях: при отрицательных углах атаки крыла [7], при значениях коэффициента подъемной силы $c_{y}>1.2$, повышенных относительно крейсерского значения за счет механизации крыла [8] вследствие возникновения прижимающей силы между бортовым ограждением воздушной подушки и подстилающей поверхностью [9] или при обтекании осциллирующих профилей [10]. Это явление принято называть обратным, или  «отрицательным» экранным эффектом [7, 8]. Существуют и промежуточные случаи, когда изменение высоты движения крыла над экраном не влияет на величину подъемной (вертикальной) силы. Случаи отрицательного влияния экранного эффекта на аэродинамику несущей поверхности описаны в ряде работ [7, 11–13].

Экранный эффект в более широком смысле, то есть изменение аэродинамических характеристик вследствие приближения обтекаемого тела к экранирующей поверхности, проявляется не только в изменении вертикальной силы, но и в вариации коэффициента сопротивления, что особенно отчетливо наблюдается при исследовании обтекания цилиндра [14].

Экранный эффект отмечается и при эксплуатации других видов транспорта. В компоновках скоростных автомобилей используется крыло, создающее прижимную силу [15]. Данное явление не имеет прямого отношения к экранной аэродинамике крыла, однако непосредственно связано с экранной аэродинамикой несущей поверхности, поскольку направлено на компенсацию негативного влияния «экрана», когда сцепление автомобиля с дорогой ухудшается из-за возникновения области повышенного давления между его нижней поверхностью и дорожным полотном.

Влияние близости границы раздела сред существенно для эксплуатации судов на подводных крыльях: с уменьшением относительного погружения подводного крыла, как правило, уменьшается и величина подъемной силы [16].

Экранный эффект, или эффект земли, известен также в вертолетостроении; он проявляется на высотах, сравнимых с радиусом несущего винта, в виде возникновения области повышенного давления между плоскостью вращения несущего винта и землей вследствие «запирания» струи, создаваемой несущим винтом в направлении сверху вниз. Такое запирание при определенных режимах работы несущего винта может приводить как к изменению несущих свойств элементов компоновки вертолета [17], так и к изменению характеристик его устойчивости [18].

В случае экранной аэродинамики поезда ключевой проблемой считается не вертикальная составляющая подъемной силы, а сила сопротивления в условиях близости земли и влияние на нее обводов носовой части, а также воздействие аэродинамики подвагонного пространства на динамику движения щебня [19].

1. Математическая модель

Несмотря на то что связь между геометрическими размерами объекта и его расстоянием до экрана принято рассматривать в качестве фактора, определяющего влияние экранного эффекта, единый критерий для оценки характера этого влияния (прямого, обратного или нейтрального по отношению к изменению высоты) до сих пор не разработан. Тем не менее его можно вывести из фундаментальных положений аэродинамики.

В соответствии с теоремой Жуковского о подъемной силе крыла бесконечного удлинения, обтекаемого плоскопараллельным потоком идеальной жидкости [20], справедливо уравнение 
\[\begin{equation}
\tag{1}
\rho V_{\infty} \Gamma = \frac{c_{y} \rho V_{\infty}^{2} b}{2},
\end{equation}\]
где $b$ — хорда крыла, $\Gamma$ — циркуляция вектора скорости по замкнутому контуру, $V_{\infty}$ — скорость набегающего потока (в обращенном движении), $\rho$ — плотность воздуха, $c_{y}$ — коэффициент подъемной силы.

Следует отметить, что теорема Жуковского изначально доказана для безвихревых стационарных течений идеальной жидкости; однако, как указано в [20] и подтверждено практикой проектирования аэрогидродинамических несущих поверхностей, данная теорема с достаточной для инженерных расчетов точностью применима и к турбулентным режимам обтекания при условии, что толщина вихревого следа мала, а вертикальная компонента скорости в его пределах существенно меньше скорости набегающего потока. Указанное допущение принимается в дальнейших рассуждениях.

Рассмотрим циркуляцию вектора скорости по прямоугольному контуру $ABCD$, описанному вокруг аэродинамического профиля, обтекаемого плоскопараллельным потоком вблизи подвижного экрана (рис. 1). Контур $ABCD$ образован отрезками: $AB$ и $CD$ — вертикальные отрезки, расположенные соответственно перед и за профилем; $BC$ и $AD$ — горизонтальные отрезки, расположенные на достаточном удалении от профиля, где влияние возмущений пренебрежимо мало.

Рис. 1. К задаче о циркуляции вектора скорости при обтекании аэродинамического профиля вблизи подвижного экрана
[Figure 1. To the problem of velocity vector circulation around an airfoil near a moving screen]

В соответствии с рис. 1 и теоремой Жуковского уравнение (1) можно преобразовать к виду
\[
\int_{y_{BC}}^{y_{AD}} V_{y}^{AB}(y)\,dy + \int_{y_{AD}}^{y_{BC}} V_{y}^{CD}(y)\,dy = \frac{c_{y} V_{\infty} b}{2},
\]
где $V_{y}^{AB}(y)$ — вертикальная составляющая скорости вдоль отрезка $AB$ (наветренная сторона) как функция координаты $y$; $V_{y}^{CD}(y)$ — вертикальная составляющая скорости вдоль отрезка $CD$ (подветренная сторона) как функция координаты $y$; $y_{BC}$, $y_{AD}$ — координаты $y$ на горизонтальных отрезках $BC$ и $AD$ соответственно.

Данное преобразование справедливо при условии, что значения циркуляции скорости вдоль отрезков $BC$ и $AD$ близки по величине, что выполняется в приближении равномерного движения профиля вдоль экрана.

Принимая, что $dy = d(b\overline{h})$ (где $\overline{h}$ — величина зазора между задней кромкой крыла и экраном, отнесенная к хорде $b$), получим 
\[\begin{equation}
\tag{2}
A_{y}^{\overline{h}} = \int_{0}^{\overline{h}_{\text{max}}} \frac{d\tau^{AB}(\overline{h}')}{d\overline{h}}\, d\overline{h}' + \int_{0}^{\overline{h}_{\text{max}}} \frac{d\tau^{CD}(\overline{h}')}{d\overline{h}}\, d\overline{h}',
\end{equation}\]
где $\tau^{AB}(\overline{h}')$ и $\tau^{CD}(\overline{h}')$ — функции, описывающие изменение тангенса угла наклона вектора скорости (скоса потока) вдоль соответствующих вертикальных отрезков в зависимости от относительной высоты над экраном $\overline{h}'$ при заданной относительной высоте движения профиля $\overline{h}$; $\overline{h}_{\text{max}}$ — максимальная относительная высота, при которой наблюдается влияние экранного эффекта.

 Из уравнения (2) вытекают три возможных случая влияния экранного эффекта, определяемые соотношением изменений скоса потока на наветренной и подветренной сторонах профиля.

1. Если изменение скоса потока в вертикальном направлении на наветренной стороне крыла меньше, чем соответствующее изменение на подветренной стороне, то наблюдается положительное влияние экранного эффекта: с уменьшением относительной высоты движения над экраном происходит увеличение подъемной силы.
2. Если изменение скоса потока в вертикальном направлении на наветренной стороне крыла больше, чем соответствующее изменение на подветренной стороне, то имеет место обратное влияние экранного эффекта: подъемная сила уменьшается при приближении крыла к экрану.
3. Если изменения скосов одинаковы, то изменение высоты движения профиля над экраном не влияет на коэффициент подъемной силы.

Таким образом, уравнение (2), выведенное из теоремы Жуковского—Кутты, представляет собой прямое теоретическое обоснование возможности возникновения прямого или обратного влияния экранного эффекта (либо его отсутствия) на несущую поверхность в случае безвихревого течения идеальной жидкости или газа.

Конкретный вид зависимости тангенса угла скоса потока от $\overline{h}$ в соответствующих областях пространства целесообразно определять по результатам цифрового или численного моделирования экранной аэродинамики. Рассмотрим этот процесс на примере численного моделирования экранной аэродинамики профиля Clark-YF 8%–40% (где 8% — максимальная толщина профиля, 40% — координата максимальной толщины).

2. Численное моделирование экранной аэродинамики

Численное моделирование экранной аэродинамики профиля Clark-YF 8%–40% выполнено с использованием программного комплекса Ansys Workbench. Построение параметризованной геометрической модели осуществлялось в программе Design Modeler, построение сеточной модели — в Ansys Mesh, численное решение осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье—Стокса для вязкого турбулентного течения воздуха — в Ansys Fluent. При построении геометрической модели высота профиля над экраном и угол атаки задавались в качестве внешних входных параметров, а аэродинамические силы, полученные в результате расчета, определялись как выходные параметры.

В соответствии с действующим государственным стандартом такой вычислительный проект относится к категории «цифровых моделей» [21].

Для замыкания системы уравнений течения использовалась модель турбулентности SST. На входе в расчетную область доля кинетической энергии турбулентности составляла 1%. Количество элементов сетки составило 128 тысяч (рис. 2); на поверхности модели задано построение призматической сетки с максимальным количеством слоев 30, коэффициентом прироста толщины слоя 1.2 и толщиной первого слоя на поверхности профиля 0.0001 м. Хорда профиля 1 м, скорость набегающего потока и движения экрана 30 м/с, среднее значение $y^+$ менее 4. Для исследуемого аэродинамического профиля отсутствуют экспериментальные данные, позволяющие выполнить валидацию, однако применяемый подход к численному моделированию несущих поверхностей с профилем типа Clark-Y ранее прошел валидацию по результатам экспериментов в аэродинамической трубе [6] и открытым данным [22].

Рис. 2. Сеточная модель обтекания профиля в задаче численного моделирования экранной аэродинамики
[Figure 2. Computational mesh for airfoil flow in ground effect aerodynamics simulation]

В результате численного моделирования определены значения коэффициента подъемной силы $c_y$ профиля в зависимости от относительного зазора между задней кромкой крыла и экраном $\overline{h}$ при различных углах атаки (рис. 3).

Рис. 3. Зависимости коэффициента подъемной силы $c_y$ профиля Clark-YF 8%–40% от относительного зазора между задней кромкой крыла и экраном $\overline{h}$ при различных углах атаки $\alpha$
[Figure 3. Lift coefficient $c_y$ versus relative gap $\overline{h}$ between the trailing edge and the screen for Clark-YF 8%–40% airfoil at various angles of attack $\alpha$]

Полученные результаты демонстрируют, что при положительных углах атаки $2^\circ$ и $5^\circ$ наблюдается положительное влияние экранного эффекта (${A_{y}^{\overline{h}} {< }0}$), тогда как при отрицательных углах атаки $-2^\circ$, $-3^\circ$, $-4^\circ$ и $-5^\circ$ проявляется обратное влияние экранного эффекта ($A_{y}^{\overline{h}} > 0$).

Для проверки гипотезы, сформулированной уравнением (2), исследовано изменение скосов потока вдоль вертикальных отрезков $AB$ и $CD$ ($-0.05\overline{h}$; $0.19\overline{h}$), показанных на рис. 4 и построенных на расстояниях $0.05b$ перед носовой частью и за хвостовой частью профиля (поворот профиля на соответствующий угол атаки и отсчет высоты выполнялись относительно хвостовой части профиля).

Рис. 4. Расположение контрольных отрезков относительно профиля
[Figure 4. Location of control segments relative to the airfoil]

На рис. 5, a представлено распределение тангенса угла скоса $\tau$ вдоль отрезков $AB$ и $CD$ при угле атаки $\alpha=2^\circ$ и относительных зазорах $\overline{h} = 0.05$, $0.1$, $0.15$, $0.2$. Полученные данные показывают, что при положительном влиянии экранного эффекта оба слагаемых уравнения (2) принимают отрицательные значения, поскольку величина $\tau$ уменьшается с ростом высоты, что соответствует условию $A_{y}^{\overline{h}}<0$.

На рис. 5, b–d представлены распределения тангенса угла скоса $\tau$ вдоль отрезков $AB$ и $CD$ при углах атаки $\alpha = -3^\circ$, $-4^\circ$, $-5^\circ$ и безразмерных зазорах $\overline{h} = 0.1$, $0.15$, $0.2$.

Рис. 5. Распределение тангенса угла скоса $\tau$ вдоль отрезков $AB$ и $CD$ при различных углах атаки $\alpha$ и относительных зазорах $\overline{h}$ между задней кромкой крыла и экраном: a — $\alpha = 2^\circ$; b — $\alpha = -3^\circ$; c — $\alpha = -4^\circ$; d — $\alpha = -5^\circ$
[Figure 5. Distribution of the tangent of flow inclination angle $\tau$ along segments $AB$ and $CD$ at various angles of attack $\alpha$ and relative gaps $\overline{h}$ between the trailing edge and the screen: a — $\alpha = 2^\circ$; b — $\alpha = -3^\circ$; c — $\alpha = -4^\circ$; d — $\alpha = -5^\circ$]

Вдоль отрезка $CD$, расположенного ниже по потоку относительно профиля, наблюдается увеличение тангенса угла скоса $\tau$ с ростом зазора между задней кромкой крыла и экраном, что свидетельствует о положительном значении второго слагаемого в уравнении (2). Согласно распределениям тангенса угла скоса $\tau$ вдоль отрезка $AB$, значение первого слагаемого, за исключением случая $\overline{h}=0.1$, не зависит от величины зазора, что в совокупности дает $A_{y}^{\overline{h}}>0$. 

Для оценки первого слагаемого уравнения (2) при обратном влиянии экранного эффекта в диапазоне $\overline{h}=0.1 \div 0.15$ использованы результаты аппроксимации зависимостей, представленных на рис. 5, d, методом наименьших квадратов (табл. 1).

Используя данные табл. 1 и переходя в систему отсчета, связанную с экраном, можно убедиться, что первое слагаемое уравнения (2) в данном случае также принимает положительное значение, следовательно, суммарно $A_{y}^{\overline{h}} > 0$. Аналогичный анализ может быть выполнен для данных, представленных на рис. 5, c. Таким образом, результаты численных экспериментов согласуются с теоретическими положениями, представленными уравнением (2), которое может рассматриваться в качестве критерия оценки характера действия аэрогидродинамического экранного эффекта. Следует отметить, что данное согласование не имеет строгого теоретического обоснования, и здесь приведен лишь один из распространенных при проектировании экранопланов примеров, когда такое согласование наблюдается.

Практическая ценность изложенного подхода заключается в возможности оценки характера влияния экранного эффекта в случае, когда изменение интегральной характеристики (коэффициента подъемной силы) при изменении высоты полета над экраном является незначительным и не позволяет сделать однозначных выводов о характере влияния экранного эффекта (например, при проектировании экранопланов типа Б). В этом случае качественная оценка изменения полей скорости на основе формулы (2) является более информативной для проведения проектных исследований.

3. Обсуждение результатов и направления дальнейших исследований

Результаты, полученные в настоящей работе, представляют интерес для математического моделирования экранной аэродинамики несущего крыла (в том числе с учетом механизации) скоростных амфибийных судов и экранопланов, а также воздушных судов гидроавиации. Полученные результаты могут быть распространены и на гидродинамику подводного крыла при малых относительно хорды величинах погружения. В качестве перспективных направлений дальнейших исследований по применению разработанной математической модели для других транспортных средств и элементов их компоновок рассматриваются следующие:

• влияние эффекта земли на аэродинамику несущего винта вертолета;
• влияние экранного эффекта на обтекание элементов цилиндрической и близкой к ней формы (поплавков, баллонетов);
• влияние экранного эффекта на аэродинамику объектов произвольной формы.

Для исследования указанных проблем может быть использован алгоритм, аналогичный представленному в настоящей работе (рис. 6).

Рис. 6. Алгоритм исследований влияния аэрогидродинамического экранного эффекта с использованием выведенного уравнения влияния
[Figure 6. Research algorithm for aerohydrodynamic ground effect analysis using the derived governing equation]

В качестве отдельных перспективных направлений исследований, связанных с тематикой данной работы, следует также отметить разработку математических моделей экранного эффекта для других аэрогидродинамических характеристик (например, продольной силы или момента, критериев устойчивости движения), а также установление связи между геометрическими параметрами формы обтекаемого тела и характером влияния экранного эффекта при заданной скорости.

Заключение

В работе представлены результаты разработки математической модели экранной аэрогидродинамики несжимаемого течения, выведенной из теоремы Жуковского и предлагаемой в качестве критерия определения характера влияния экранного эффекта — положительного (прямого), обратного или нейтрального — в соответствии с изложенной классификацией. Преимущество предложенного критерия заключается в непосредственном использовании результатов численного моделирования — а именно распределения вектора скорости течения по сравнению с использованием интегральных величин (сил и моментов), которые могут существенно изменяться в зависимости от пульсаций, сопровождающих обтекание вихрей, морфологии поверхности (трения) и ряда других явлений, с трудом поддающихся моделированию. На примере численного моделирования показаны возможности применения данного подхода в задаче о прямом и обратном действии экранного эффекта на аэродинамику профиля семейства Clark, используемого в проектировании скоростных амфибийных судов с аэродинамическим поддержанием и экранопланов. Данные, полученные в процессе численного моделирования, подтверждают обоснованность теоретических выкладок для объектов данного типа и могут быть распространены на другие случаи (например, обтекание подводного крыла). В то же время систематическое исследование достоверности применения предложенной математической модели для описания характера влияния экранного эффекта на объекты других типов (например, несущий винт вертолета, цилиндрические поверхности) рассматривается в качестве перспективного направления научной деятельности.

Конкурирующие интересы. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов в отношении данной публикации.
Авторский вклад и ответственность. Автор несет полную ответственность за содержание и подготовку окончательной версии рукописи. Окончательная версия рукописи одобрена автором.
Финансирование. Исследование выполнено при финансовой поддержке АНО «Аналитический центр при Правительстве Российской Федерации» в рамках договора № 70-2025-000814 от 04.06.2025.

About the authors

Andrei V. Fevralskih

Author for correspondence.
Email: a.fevralskih@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5959-7994
SPIN-code: 5313-8879
Scopus Author ID: 57222121673
ResearcherId: G-2922-2017
https://www.mathnet.ru/rus/person226671

Cand. Tech. Sci.; Associate Professor; Dept. of Computational Mathematics and Programming

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Figure 1. To the problem of velocity vector circulation around an airfoil near a moving screen

Download (132KB)

Indexing metadata

3. Figure 2. Computational mesh for airfoil flow in ground effect aerodynamics simulation

Download (818KB)

Indexing metadata

4. Figure 3. Lift coefficient $c_y$ versus relative gap $\overline{h}$ between the trailing edge and the screen for Clark-YF 8%–40% airfoil at various angles of attack $\alpha$

Download (96KB)

Indexing metadata

5. Figure 4. Location of control segments relative to the airfoil

Download (458KB)

Indexing metadata

6. Figure 5. Distribution of the tangent of flow inclination angle $\tau$ along segments $AB$ and $CD$ at various angles of attack $\alpha$ and relative gaps $\overline{h}$ between the trailing edge and the screen: a — $\alpha = 2^\circ$; b — $\alpha = -3^\circ$; c — $\alpha = -4^\circ$; d — $\alpha = -5^\circ$

Download (580KB)

Indexing metadata

7. Figure 6. Research algorithm for aerohydrodynamic ground effect analysis using the derived governing equation

Download (230KB)

Indexing metadata