A dynamic model of Earth's polar motion accounting for lunar orbital precession

Full Text

Введение

Точность определения траектории движения земного полюса в рамках стандартной модели, соответствующей соглашениям Международной службы вращения Земли¹ (МСВЗ, IERS) [1], определяется, главным образом, полнотой описания геофизических возмущений. Указанная модель представляет собой систему дифференциальных уравнений относительно координат полюса $x_p$, $y_p$ с постоянными коэффициентами, включающую диссипативные члены и члены, учитывающие геофизические возмущения. Координаты полюса вычисляются в системе координат, жестко связанной с Землей. Адекватность описания колебательного движения полюса в рамках данной модели в значительной степени зависит от вариаций параметров его основных колебательных составляющих — чандлеровской и годичной, — получаемых в результате решения. Учет этих вариаций осуществляется опосредованно, через вклад геофизических возмущений. Однако такой подход затрудняет прямой анализ и интерпретацию некоторых колебаний в движении полюса.

Идентификация и адекватное описание вариаций параметров основных колебательных составляющих движения земного полюса представляет собой актуальную задачу, имеющую прикладное значение как для прогнозирования его траектории, так и для исследований в области физики Земли [2]. Для содержательного анализа этой проблемы могут быть привлечены методы теоретической и небесной механики, геофизики, численного моделирования и теории стохастических систем.

Изучение переменности параметров основных колебаний земного полюса представляет интерес не только для задачи прогноза его движения, но и для исследования механизма возбуждения чандлеровской и годичной составляющих.

Эффективным направлением для построения более точной модели движения полюса является непосредственный учет наблюдаемых вариаций в уравнениях движения. Вариации, обусловленные перераспределением момента импульса между вращающейся Землей и циркуляцией подвижных сред (атмосферы и океана), носят, как правило, нерегулярный характер. Однако, как показано в [3], наблюдаемые вариации чандлеровской и годичной компонент содержат колебания, синфазные с движением плоскости лунной орбиты. Объяснить эти колебания влиянием атмосферы и океана в рамках стандартной модели не удается [4], поскольку они отсутствуют в решении уравнений движения полюса с учетом рассмотренных геофизических возмущений.

Влиянию возмущений со стороны Луны на колебания полюса посвящен ряд исследований. Так, в работе [5] рассмотрена идеализированная модель воздействия Луны на параметры чандлеровского колебания, основанная на системе дифференциальных уравнений связанных осцилляторов. В исследовании [6] изучается влияние параметрического резонанса в системе «Земля–Луна» на чандлеровское колебание. В работах [7–9] устанавливается взаимосвязь вариаций амплитуды и фазы чандлеровской компоненты с геофизическими процессами в атмосфере и океанах.

Для анализа движения земного полюса доступен протяженный исторический ряд данных C01 МСВЗ начиная с 1900 года 
и более точный оперативный ряд C04, доступный с 1962 года.² Численная обработка и анализ длительного ряда C01 выполнялись во многих исследованиях, например, в [10–12]. Вместе с тем проблемы колебаний параметров движения земного полюса (параметров чандлеровской и годичной компонент), происходящих с частотой, близкой к частоте прецессии лунной орбиты, обсуждаются в литературе недостаточно широко.

В работах [3, 9] на основе обработки и анализа рядов наблюдений C04 и C01 МСВЗ  было показано наличие колебательного процесса, синфазного с прецессионным движением орбиты Луны.

В настоящей работе ставится задача уточнения дифференциальных уравнений движения земного полюса путем явного введения зависимости от долготы восходящего узла орбиты Луны.

1. Синфазность вариаций параметров движения земного полюса и прецессии орбиты Луны

На движение Земли относительно ее центра масс и циркуляцию подвижных сред оказывают влияние тела Солнечной системы, главным образом Солнце и Луна. Как известно [13, 14], приливное возмущение от Луны в несколько раз превышает возмущение от Солнца, а соответствующий гравитационно-приливной момент обусловливает вариации углов прецессии и нутации Земли, наиболее значительные из которых имеют период, равный периоду $18.61$ лет прецессии лунной орбиты. В работах [3, 9] показано, что вариации с периодом $18.61$ лет присущи и движению мгновенной оси вращения Земли в связанной с ней системе координат.
Для их выявления использовался длительный ряд C01 МСВЗ о координатах земного полюса $x_{p}$, $y_{p}$. В результате обработки этого ряда установлена согласованность (синфазность) прецессионного движения орбиты Луны и определенных вариаций параметров основных колебательных составляющих движения полюса.

В движении земного полюса выделяют долгопериодический и вековой тренд [1, 15], основные составляющие — чандлеровское и годичное колебания, а также мелкомасштабные высокочастотные флуктуации. Отфильтровав высокочастотные колебания, уравнения движения полюса можно приближенно представить в стандартном виде [16, 17]:
\[\begin{equation}
    \tag{1}
    x_{p} = c_{x} + a_{\mathrm{ch}} \cos w_{\mathrm{ch}} + a_{\mathrm{h}} \cos w_{\mathrm{h}}, \quad
    y_{p} = c_{y} + a_{\mathrm{ch}} \sin w_{\mathrm{ch}} + a_{\mathrm{h}} \sin w_{\mathrm{h}}.
\end{equation}\]
Здесь $c_{x}$, $c_{y}$ — координаты тренда, содержащие колебания с периодами более $6.45$ лет; $a_{\mathrm{ch}}$, $a_{\mathrm{h}}$ и $w_{\mathrm{ch}}$, $w_{\mathrm{h}}$ — амплитуды и фазы чандлеровского и годичного колебаний соответственно. Как правило, при прогнозировании траектории движения полюса на коротких интервалах времени амплитуды $a_{\mathrm{ch}}$, $a_{\mathrm{h}}$ можно считать квазипостоянными, а фазы $w_{\mathrm{ch}}$, $w_{\mathrm{h}}$ — линейными функциями времени. Однако для построения более точного прогноза в модели необходимо учитывать наблюдаемые вариации этих параметров.

Математическое описание $18$-летнего цикла в наблюдаемом процессе колебаний земного полюса базируется на синфазности выявленных $18$-летних вариаций параметров $a_{\mathrm{ch}}$, $a_{\mathrm{h}}$ и $w_{\mathrm{ch}}$, $w_{\mathrm{h}}$ с изменениями ориентации плоскости лунной орбиты относительно земного экватора.

Определяющими параметрами орбиты в данном контексте являются угол $i$ наклона плоскости лунной орбиты к эклиптике и долгота $\Omega$ восходящего узла. Взаимное расположение больших кругов плоскости лунной орбиты, экваториальной плоскости и плоскости эклиптики на небесной сфере показано на рис. 1}. Если угол наклона орбиты Луны к эклиптике $i$ можно в первом приближении считать постоянным (его колебания для данной задачи несущественны), то вследствие прецессии лунной орбиты долгота ее восходящего узла $\Omega$ является монотонной функцией времени.

 

Рис. 1. Взаимное расположение больших кругов плоскости лунной орбиты, экваториальной плоскости и плоскости эклиптики на небесной сфере
[Figure 1. The relative positions of the great circles of the lunar orbital plane, the equatorial plane, and the ecliptic plane on the celestial sphere]

 

Наиболее значительным долгопериодическим возмущением со стороны Луны является возмущение с периодом $18.61$ лет. Оно возникает вследствие попятного (ретроградного) движения узлов лунной орбиты, которое, в свою очередь, вызвано поворотом плоскости орбиты вокруг нормали $\boldsymbol{n}$ к плоскости эклиптики. Это движение узлов орбиты приводит к периодическому изменению угла $I$ наклона плоскости лунной орбиты к экватору Земли.

Долгота восходящего узла орбиты Луны $\Omega$ отсчитывается в плоскости эклиптики от точки весеннего равноденствия $\gamma$ и задается выражением [1, p. 67]
\[
\Omega \approx 125.04455501^{\circ} - 6962890.5431'' \cdot t + 7.4722'' \cdot t^{2},
\]
где $t$ — время, выраженное в юлианских столетиях, отсчитываемое от эпохи J2000.0 (12 ч. 1 января 2000 года).

Колебания угла $I$ происходят с периодом, равным периоду обращения узла (рис. 2), и его величина изменяется в пределах от $18^{\circ}$ до $28^{\circ}$. Угол $I$ был вычислен с использованием высокоточных лунных эфемерид.³

Следует отметить, что рассматриваемые вариации параметов $a_{\mathrm{ch}}$, $a_{\mathrm{h}}$ и $w_{\mathrm{ch}}$, $w_{\mathrm{h}}$ движения полюса оказываются синфазными с колебаниями угла $I$ (в случае амплитуд) и с колебаниями вдоль экватора точки $N_{M}$ (в случае фаз).

 

Рис. 2. Колебания угла $I$ наклона плоскости лунной орбиты к земному экватору
[Figure 2. Variations of the inclination angle $I$ of the lunar orbital plane relative to the Earth's equator]

 

2. Дифференциальные уравнения движения земного полюса

Уравнения движения полюса могут быть выведены из теоремы об изменении кинетического момента. Для деформируемой Земли они известны как динамические уравнения Эйлера—Лиувилля с переменным тензором инерции и в векторно-матричной форме записываются следующим образом [9, 17]:
\[\begin{equation}
\tag{2}
\begin{array}{l}
J \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times J \boldsymbol{\omega} = 
\boldsymbol{M} - \dot{J} \boldsymbol{\omega}, 
\\
\boldsymbol{M} = \boldsymbol{M}^{S} + \boldsymbol{M}^{L} - \dot{\boldsymbol{h}} - \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{h},
\\
\boldsymbol{\omega} = (p, q, r)^{\top}, \quad 
J = J^{*} + \delta J, \quad 
J^{*} = \mathrm{const},
\\
J^{*} = \operatorname{diag}(A^{*}, B^{*}, C^{*}), \quad 
\delta J = \delta J(t), \quad 
\|\delta J\| \ll \| J^{*} \|.
\end{array}
\end{equation}\]
Здесь $\boldsymbol{\omega}$ — вектор угловой скорости в системе координат, жестко связанной с Землей. Оси выбранной системы координат приближенно совпадают с главными центральными осями инерции $J^*$ «замороженной» фигуры Земли с учетом «экваториального выступа». Предполагается, что малые вариации тензора инерции $\delta J$ включают в себя различные гармонические составляющие, которые обусловлены как регулярным возмущающим воздействием гравитационных суточных приливов от Солнца и Луны, так и нерегулярными возмущениями геофизического происхождения. Величины $\boldsymbol{M}^{S}$ и $\boldsymbol{M}^{L}$ — возмущающие моменты от Солнца и Луны соответственно, а $\boldsymbol{h}$ — вектор суммарного кинетического момента подвижных сред (атмосферы и океана).

Вследствие малости компонент $p$, $q$ ($p, q \ll r$) и скорости изменения моментов инерции из (2) можно получить следующую систему уравнений:
\[\begin{equation}
\tag{3}
\begin{array}{ll}
\dot{p} + N_{p} q = j_{qr} + \mu_{p}, & p(t_{0}) = p_{0};
\\
\dot{q} - N_{q} p = -j_{pr} + \mu_{q}, & q(t_{0}) = q_{0},
\end{array}
\end{equation}\]
где
\[
N_{p} = \frac{C^{*} - B^{*}}{A^{*}} r_{0}, \quad 
N_{q} = \frac{C^{*} - A^{*}}{B^{*}} r_{0}, \quad 
r_{0} = 7.29 \cdot 10^{-5} \; \text{рад/с};
\]
величины $j_{pr} = \big\langle \frac{J_{pr} r_{0}^{2}}{B^{*}} \big\rangle_{\varphi}$, $j_{qr} = \big\langle \frac{J_{qr} r_{0}^{2}}{A^{*}} \big\rangle_{\varphi}$ — усредненные по суточному вращению приливные «выступы», определяемые центробежными моментами инерции деформируемой Земли; $A^{*}$, $B^{*}$, $C^{*}$ — осевые моменты инерции «замороженной» фигуры Земли. Величины $\mu_{p}$, $\mu_{q}$ имеют смысл удельных моментов сил и характеризуют внешние возмущения, приводящие к наблюдаемому движению земного полюса. Они обусловлены как гравитационно-приливными, так и геофизическими возмущениями со стороны подвижных сред.

После перехода в уравнениях (3) к координатам полюса $p \cong r_{0} x_{p}$, ${q \cong -r_{0} y_{p}}$ дифференциальные уравнения движения полюса принимают вид [18]
\[\begin{equation}
    \tag{4}
\begin{array}{ll}
\dot{x}_{p} - N y_{p} = j_{qr}^{0} + \mu_{x}, &  x_{p}(t_{0}) = x_{0}; \\
\dot{y}_{p} + N x_{p} = j_{pr}^{0} + \mu_{y}, &  y_{p}(t_{0}) = y_{0},
\end{array}
\end{equation}\]
где $j_{pr} = j_{pr}^{0} / r_{0}$, $j_{qr} = j_{qr}^{0} / r_{0}$ определяются центробежными моментами инерции $J_{pr}$, $J_{qr}$ и им пропорциональны; $\mu_{x} = \mu_p / r_{0}$, $\mu_y = -\mu_{q} / r_{0}$ — внешние возмущения, приводящие к наблюдаемому движению полюса с годичной и чандлеровской частотами; $N = N_{x} \approx N_{y}$ — собственная частота колебаний.

Величины $j_{pr}^{0}$, $j_{qr}^{0}$ содержат диссипативные слагаемые модели движения земного полюса и имеют вид [18]
\[\begin{equation*}
j_{pr}^{0} = \delta x_{p} - \sigma y_{p}, \quad 
j_{qr}^{0} = -\delta y_{p} - \sigma x_{p},
\end{equation*}\]
где $\sigma$ — известный коэффициент диссипации, а коэффициент $\delta$ является поправкой к частоте $N$, понижающей ее до наблюдаемого значения ($\sigma = 2\pi \times 0.0042$, $\hat{N} = N - \delta = 0.843$ цикл/год).

Таким образом, простейшая динамическая модель движения полюса представляет собой систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относительно координат полюса $x_{p}$, $y_{p}$, включающую диссипативные слагаемые и правую часть $\mu_{x}$, $\mu_{y}$, обусловленную возмущениями различного характера (гравитационными, атмосферными, океаническими и другими), которые и приводят к наблюдаемому движению полюса.

3. Дифференциальные уравнения движения земного полюса с учетом долготы восходящего узла орбиты Луны

Как показано в работе [3], уравнения для координат $x_{p}$, $y_{p}$ движения полюса содержат гармонику, зависящую от долготы восходящего узла $\Omega$ орбиты Луны:
\[\begin{equation*}
\begin{array}{l}
x_{p} = c_{x} + (a_{\mathrm{ch}} + b_{\mathrm{ch}} \cos \Omega)\cos w_{\mathrm{ch}} + (a_{\mathrm{h}} + b_{\mathrm{h}} \cos \Omega)\cos w_{\mathrm{h}},
\\
y_{p} = c_{y} + (a_{\mathrm{ch}} + b_{\mathrm{ch}} \cos \Omega)\sin w_{\mathrm{ch}} + (a_{\mathrm{h}} + b_{\mathrm{h}} \cos \Omega)\sin w_{\mathrm{h}} .
\end{array}
\end{equation*}\]

Покажем, что уточненные дифференциальные уравнения движения полюса, учитывающие $18$-летнюю цикличность, представляют собой уравнения с медленно меняющимися параметрами и могут быть записаны в следующем виде:
\[\begin{equation}
\tag{5}
\begin{array}{ll}
\dfrac{d}{dt} [x_p(1+\chi \cos \Omega) ] - \hat{N} y_{p}(1+\chi \cos \Omega) = \sigma x_{p} + \mu_{x}, & x_{p}(t_{0}) = x_{0};
\\
\dfrac{d}{dt} [y_p(1+\chi \cos \Omega) ] + \hat{N} x_{p}(1+\chi \cos \Omega) = \sigma y_{p} + \mu_{y}, & y_{p}(t_{0}) = y_{0}.
\end{array}
\end{equation}\]
Неизвестный коэффициент $\chi$ оценивался в ходе численных расчетов на основе данных наблюдений МСВЗ.

Для определения коэффициента $\chi$ и предварительной оценки точности модели были выполнены тестовые расчеты с привлечением данных наблюдений МСВЗ по следующему алгоритму.

Вначале строится аппроксимация наблюдаемой траектории движения земного полюса уравнениями вида (1) без учета трендовой составляющей.

Оптимальные значения параметров модели (1) определялись с помощью метода наименьших квадратов (МНК) [17] на основе статистической обработки астрометрических результатов высокоточных измерений угловых параметров движения Земли [1]. Для этого использовался ряд данных C04 МСВЗ  с дискретностью одно измерение в сутки, из которого путем фильтрации был исключен вековой и долгопериодический тренд (были отфильтрованы линейная и квадратичная составляющие, а также гармоники с периодами, превышающими период амплитудной модуляции чандлеровской и годичной компонент).

Обработка наблюдений выполнялась независимо для переменных $x_{p}$, $y_{p}$ в виде пятимерных аппроксимаций $\hat{x}_{p}$, $\hat{y}_{p}$:
\[\begin{equation}
\tag{6}
\begin{array}{c}
\hat{x}_{p}(\tau) = (\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{f}(\tau)), \quad
\hat{y}_{p}(\tau) = (\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{f}(\tau)),
\\
\boldsymbol{\xi} = (\xi_1, \dots, \xi_5)^{\top}, \quad
\boldsymbol{\eta} = (\eta_1, \dots, \eta_5)^{\top},
\\
\boldsymbol{f}(\tau) = (1, \cos 2\pi N\tau, \sin 2\pi N\tau, \cos 2\pi\tau, \sin 2\pi\tau)^{\top}.
\end{array}
\end{equation}\]
В (6) время $\tau$ измеряется в годах, $\boldsymbol{f}(\tau)$ — вектор опорных функций, векторы $\boldsymbol{\xi}$, $\boldsymbol{\eta}$ состоят из параметров, подлежащих определению с помощью МНК.

Затем из уравнений (4) были найдены возмущающие функции $\hat{\mu}_{x}$, $\hat{\mu}_{y}$ по известным аппроксимациям координат $\hat{x}_{p}$, $\hat{y}_{p}$. После этого модифицированные дифференциальные уравнения (5) были проинтегрированы методом Рунге—Кутты 4-го порядка на временном интервале 1976–2025 гг. с учетом найденных возмущений $\hat{\mu}_{x}$, $\hat{\mu}_{y}$. В качестве начальных условий было выбрано положение полюса в начальный момент согласно построенной аппроксимации. Коэффициент $\chi$ задавался в ходе интегрирования и варьировался от 0 до 0.19 с шагом 0.01.

На рис. 3 приведен график среднеквадратического отклонения (СКО) решения модели (5) в зависимости от значения коэффициента $\chi$ (сплошная линия). При $\chi = 0$ решение модели (5) соответствует решению модели (4) и представляет собой построенную ранее аппроксимацию траектории полюса. Зависимость СКО от $\chi$ имеет глобальный минимум при $\chi = 0.11$. Значения СКО при $\chi = 0$ и $\chi = 0.11$ равны $\sigma_{xy} = 78.4$ угл. мс. и $\sigma_{xy}^{*} = 77.23$ угл. мс. соответственно. 
Таким образом, на тестовом примере показано, что дополнительные слагаемые модели (5) позволили повысить точность аппроксимации траектории полюса на величину, соответствующую $3.6$ см на поверхности Земли.

 

Рис. 3. Зависимость среднеквадратического отклонения $\sigma _{xy} $ от коэффициента $\chi $
[Figure 3. Dependence of the standard deviation $\sigma _{xy}$ on the coefficient $\chi$]

 

4. Уточнение дифференциальных уравнений движения земного полюса с учетом геофизических возмущений

Как показано в работе [4], обнаруженные вариации параметров чандлеровской и годичной компонент не объясняются возмущениями со стороны подвижных сред атмосферы и океана. Решение дифференциальных уравнений (4) с учетом моментов импульса атмосферы и океана этих вариаций не содержит.

Воспользуемся теперь уравнениями (5) и проинтегрируем их с учетом основных геофизических возмущений. Возмущения $\mu_{x}$, $\mu_{y}$ выражаются через компоненты вектора кинетического момента геофизических сред. Для задания правых частей в уравнениях (5) воспользуемся геофизическими данными, предоставляемыми МСВЗ. Данные представляют собой ряды $\chi_{Fx}^{\mathrm{geoph}}$, $\chi_{Fy}^{\mathrm{geoph}}$ равномерной дискретности, формируемые независимо для различных возмущений, основными из которых являются возмущения со стороны атмосферы и океана.

Для численных расчетов приведем уравнения (5) к стандартному виду [1]:
\[\begin{equation}
\tag{7}
\begin{array}{ll}
\dot{x}_{p} - \hat{N} y_{p} + \dfrac{1}{1 - \chi \cos \Omega} \Bigl( \dfrac{\hat{N}}{2Q} + \chi \dot{\Omega} \sin\Omega \Bigr) x_{p} = \dfrac{\mu_{x}}{1 - \chi \cos \Omega}, & x_{p} (t_{0}) = x_{0};
\\
\dot{y}_{p} + \hat{N} x_{p} + \dfrac{1}{1 - \chi \cos \Omega} \Bigl( \dfrac{\hat{N}}{2Q} + \chi \dot{\Omega} \sin\Omega \Bigr) y_{p} = \dfrac{\mu_{y}}{1 - \chi \cos \Omega}, &  y_{p} (t_{0}) = y_{0}.
\end{array}
\end{equation}\]

Правые части уравнений (7) $\mu_{x}$, $\mu_{y}$ выражаются через $\chi_{Fx}^{\mathrm{geoph}}$, $\chi_{Fy}^{\mathrm{geoph}}$ следующим образом:
\[
\mu_{x} = \hat{N} \chi_{Fy}^{\mathrm{geoph}} + \frac{\hat{N}}{2Q} \chi_{Fx}^{\mathrm{geoph}}, \qquad
\mu_{y} = \hat{N} \chi_{Fx}^{\mathrm{geoph}} - \frac{\hat{N}}{2Q} \chi_{Fy}^{\mathrm{geoph}}.
\]
Здесь функции $\chi_{Fx}^{\mathrm{geoph}}$, $\chi_{Fy}^{\mathrm{geoph}}$ учитывают возмущения от атмосферы и океана.

Через коэффициент $Q$ в (7) выражены диссипативные слагаемые модели. Значение коэффициента $Q$ считается неизвестным параметром и может варьироваться в интервале от $50$ до $200$.

Интегрирование уравнений (7) проводилось аналогичным образом при изменении коэффициентов $\chi$ и $Q$ на временном интервале 1976–2025 гг. В качестве начальных значений в (7) были выбраны начальные значения $\hat{x}_{p}$, $\hat{y}_{p}$ аппроксимации данных наблюдений координат земного полюса МСВЗ. Как показали численные расчеты, наименьшее значение СКО достигается при значении коэффициента $Q = 63$, что слабо зависит от величины $\chi$. На рис. 4 приведены СКО решений в зависимости от значений коэффициента $\chi$ при фиксированном $Q = 63$. Минимальные значения СКО, $\sigma_{x}^{*} = 27.3$ угл. мс. и $\sigma_{y}^{*} = 26.06$ угл. мс., по каждой из координат были достигнуты при значении $\chi = 0.07$. При $\chi = 0$, то есть при интегрировании стандартной модели движения полюса, значения СКО составляют $\sigma_{x} = 28.17$ угл. мс. и $\sigma_{y} = 26.93$ угл. мс. Расчетная траектория модели (7) при $\chi = 0.07$ оказывается точнее на величину, соответствующую 3.7 см на поверхности Земли. Максимальный эффект от учета $18$-летних вариаций в уравнениях движения может достигать 5 см.

 

Рис. 4. Зависимость СКО $\sigma _{x} $ (сплошная линия), $\sigma _{y} $ (пунктирная линия) от коэффициента $\chi $
[Figure 4. Dependence of the standard deviations $\sigma_{x}$ (solid line) and $\sigma_{y}$ (dashed line) on the coefficient $\chi$]

 

Расчетные колебания координат полюса согласно модели (7) при $\chi = 0.07$ и $Q = 63$ представлены на рис. 5 в сравнении с данными МСВЗ.

 

Рис. 5. Колебания координат полюса $x_{p}$, $y_{p}$. Точки — данные наблюдений МСВЗ (прореженный ряд), сплошная линия — расчетная модель
[Figure 5. Pole coordinate oscillations $x_{p}$, $y_{p}$. Dots represent thinned observational data from the IERS, the solid line represents the calculated model]

 

Заключение

Предложенная динамическая модель колебаний земного полюса учитывает ранее обнаруженный колебательный процесс, связанный с долгопериодическим возмущением со стороны Луны. С помощью численных расчетов определены оптимальные значения параметров $\chi = 0.07$ и $Q = 63$ в уравнениях (7), при которых происходит формирование наблюдаемого колебательного процесса с частотой прецессии лунной орбиты. Учет данного механизма в рамках полной динамической модели позволил повысить точность описания траектории полюса на 3.7–5 см. Для дальнейшего повышения точности моделирования требуется более детальное совместное рассмотрение гравитационно-приливных и геофизических возмущений в рамках единой схемы.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все  авторы  принимали  участие  в  разработке  концепции статьи и  в  написании  рукописи. Авторы несут  полную  ответственность  за  предоставление  окончательной рукописи в печать. Окончательная  версия рукописи была одобрена всеми авторами. 
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

---

¹https://www.iers.org/
²https://www.iers.org/IERS/EN/DataProducts/EarthOrientationData/eop.html
³https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons/

About the authors

Vadim V. Perepelkin

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: vadim802@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-9061-4991
Scopus Author ID: 8263058800
ResearcherId: S-6900-2019
https://www.mathnet.ru/rus/person68736

Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mechatronics and Theoretical Mechanics

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4

Dmitry S. Rumyantsev

V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences

Email: n3030@mail.ru
ORCID iD: 0009-0003-1363-474X
SPIN-code: 5424-9860
Scopus Author ID: 14833232600
https://www.mathnet.ru/eng/person70195

Cand. Phys. & Math. Sci.; Senior Researcher; Lab. of Optimal Control Systems named after V. F. Krotov

Russian Federation, 117997, Moscow, Profsoyuznaya st., 65

Alexandra S. Filippova

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: filippovaas@mai.ru
ORCID iD: 0000-0002-8596-3556
SPIN-code: 9265-7597
Scopus Author ID: 55747497100
ResearcherId: K-9211-2014
https://www.mathnet.ru/rus/person236720

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Mechatronics and Theoretical Mechanics

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4

References

Supplementary files