On the uniqueness of solutions to initial-boundary value problems for high-order linear pseudohyperbolic equations

Full Text

Введение

Рассматривается начально-краевая задача для линейного уравнения в частных производных высокого порядка. Основной целью работы является доказательство теоремы единственности решения данной задачи.

Пусть $p_{i,k}(x)\in C^n(0;l)\cap C[{0;l}]$, где $l>0$, $n\in \mathbb{N}$. При этом существуют такие $\alpha_i>0$, что для всех $i$ выполняется неравенство $p_{i,k}(x)>\alpha_i$. Определим линейные дифференциальные операторы порядка $2n$ с переменными коэффициентами. Пусть $L_i:C^{2n}(0;l)\to C(0;l)$, $u\to L_i(u)$, определяемые следующим образом:
\[\begin{equation}
\tag{1}
L_i(u)=\sum^n_{k=0}{(-1)^k \frac{\partial^k}{\partial x^k} \Bigl(p_{i,k}(x)\frac{\partial^ku}{\partial x^k}\Bigr)},\quad i=1, 2,
\end{equation}\]
где $u=u(x,t)\in C^{2n,2}([0,l]\times[0,T])$, $l>0$, $T>0$. 

Основное уравнение, рассматриваемое в работе, имеет вид
\[\begin{equation}
\tag{2}
L_2\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial t^2}\Bigr)+L_1(u)=f(x,t),
\end{equation}\]
с однородными краевыми условиями
\[\begin{equation}
\tag{3}
\frac{\partial^{m_{0_k}}u}{\partial x^{m_{0_k}}}\Bigr|_{x=0}=
\frac{\partial^{m_{l_k}}u}{\partial x^{m_{l_k}}}\Bigr|_{x=l}=0,
\end{equation}\]
где $0\leqslant m_{0_k}, m_{l_k}\leqslant 2n-1$, $\sum_k{(m_{0_k}+m_{l_k})}=2n$, и начальными условиями
\[\begin{equation}
\tag{4}
u\big|_{t=0}=u_0(x),\quad u_t\big|_{t=0}=u_1(x),
\end{equation}\]
причем функции $u_0(x)$, $u_1(x)$ удовлетворяют краевым условиям (3), что представляет собой условие согласования, необходимое для существования решения.

Уравнение (2) может рассматриваться как обобщенная математическая модель различных колебаний механических систем, таких как колебания струн, стержней и других подобных объектов. Условия (3) определяют способ закрепления концов соответствующего колеблющегося объекта.

Рассматриваются свободные механические колебания, то есть математические модели, в которых правая часть уравнения (2) тождественно равна нулю: $f(x,t)\equiv 0$.

В частности, при 
\[
L_2=-\rho I\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\rho A,\quad  
L_1=EI\frac{\partial^4}{\partial x^4}-\kappa \frac{(EI)^2}{GA}\frac{\partial^6}{\partial x^6}
\]
получаем уравнение, описывающее свободные колебания однородной короткой балки с шарнирным закреплением на концах [1]:
\[\begin{equation}
\tag{5}
\rho A\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\rho I\frac{\partial^4u}{\partial t^2\partial x^2}+EI\frac{\partial^4u}{\partial x^4}-\kappa \frac{(EI)^2}{GA}\frac{\partial^6u}{\partial x^6}=0,
\end{equation}\]
где $\rho$ — массовая плотность, $A$ — площадь поперечного сечения, $I$ — момент инерции поперечного сечения относительно оси $z$, $E$ — модуль Юнга, $G$ — модуль сдвига, $\kappa$ — коэффициент сдвига. При учете только инерции вращения в уравнении (5) слагаемое с шестой производной по пространственной переменной исчезает, что приводит к модификации оператора $L_1$, принимающего вид $L_1=EI\frac{\partial^4}{\partial x^4}$, в то время как оператор $L_2$ сохраняет свою форму. В этом случае получаем уравнение 
\[\begin{equation}
\tag{6}
\rho A\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\rho I\frac{\partial^4u}{\partial t^2\partial x^2}+EI\frac{\partial^4u}{\partial x^4}=0.
\end{equation}\]

1. О выводе уравнения колебаний

Отметим, что дифференциальное уравнение колебаний (2) может быть получено из принципа наименьшего действия. Рассмотрим квадратичный функционал $l(v)$, определяемый выражением
\[\begin{equation*}
l(v)\bigr|_{t=\tau}=
\frac{1}{2} \sum^n_{k=0} \int^l_0 \Bigl[ 
p_{2,k}(x)\Bigl(\frac{\partial^{k+1}v}{\partial x^k\partial t}\Bigr)^2-
p_{1,k}(x)\Bigl(\frac{\partial^kv}{\partial x^k}\Bigr)^2\Bigr]_{t=\tau}dx,
\end{equation*}\]
для которого введем действие вдоль траектории и его вариацию:
\[\begin{equation}
\tag{7}
S(v)=\int^{t_1}_{t_0} l(v)\bigr|_{t=\tau}d\tau,
\quad  
\delta S= \frac{d}{d\varepsilon}S(v+\varepsilon \Delta v)\Bigr|_{\varepsilon=0},
\end{equation}\]
где $\forall  \Delta v\in C^{n,1}([{0, l}]\times[t_0, t_1])$ при $\Delta v\bigr|_{t=t_0}=\Delta v\bigr|_{t=t_1}=0$. Непосредственное вычисление $\delta S$ дает
\[\begin{multline}
\tag{8}
\delta S=\int^{t_1}_{t_0}\sum^n_{k=0}
\int^l_0 \Bigl( p_{2,k}(x)\frac{\partial^{k+1}v}{\partial x^k\partial t}\frac{\partial^{k+1}\Delta v}{\partial x^k\partial t}-  
p_{1,k}(x)\frac{\partial^kv}{\partial x^k}\frac{\partial^k\Delta v}{\partial x^k}\Bigr)dxdt= {}
\\
{}
=-\int^{t_1}_{t_0} \int^l_0  
\biggl(
\sum^n_{k=0}(-1)^k\frac{\partial^k}{\partial x^k} \Bigl(p_{2,k}(x)\frac{\partial^{k+2}v}{\partial x^k\partial t^2}\Bigr) +(-1)^k\frac{\partial^k}{\partial x^k} \Bigl(p_{1,k}(x)\frac{\partial^ku}{\partial x^k}\Bigr)\biggr)\Delta v dxdt={}
\\
{}=-\int^{t_1}_{t_0}\int^l_0 
\Bigl(L_2\Bigl(\frac{\partial^2v}{\partial t^2}\Bigr)+L_1(v)\Bigr)\Delta v dxdt.
\end{multline}\]

Согласно принципу наименьшего действия Гамильтона (принципу стационарного действия), имеем $\delta S=0$. Из формулы (8) непосредственно следует уравнение (2).

Рассмотрим пример колебаний упругого стержня с переменными характеристиками сечения и плотности. Пусть
\[\begin{equation*}
l(v)\bigr|_{t=\tau}=
\frac{1}{2} \int^l_0 \Bigl[ 
\rho A\Bigl(\frac{\partial v}{\partial t}\Bigr)^2+
T(x)\Bigl(\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr)^2-
h(x)\Bigl(\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\Bigr)^2\Bigr]_{t=\tau}dx,
\end{equation*}\]
где $h(x)$ — переменная жесткость на изгиб, $T(x)$ — переменное натяжение. Применяя принцип наименьшего действия через формулы (7) и (8), получаем
\[\begin{multline*}
0=\delta S=\int^{t_1}_{t_0}\int^l_0 
\Bigl(
\rho A\frac{\partial v}{\partial t}\frac{\partial \Delta v}{\partial t}+
T(x)\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial \Delta v}{\partial x}-
h(x)\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\frac{\partial^2\Delta v}{\partial x^2}\Bigr)dxdt= {}
\\
{}=-\int^{t_1}_{t_0}\int^l_0 
\Bigl(\rho A\frac{\partial^2v}{\partial t^2}-\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(T(x)\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr)+ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\Bigl(h(x)\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\Bigr)\Bigr)\Delta v dxdt.
\end{multline*}\]
Отсюда следует уравнение свободных колебаний упругого стержня без затухания с переменными параметрами:
\[\begin{equation*}
\rho A\frac{\partial^2u}{\partial t^2}- 
\frac{\partial}{\partial x} \Bigl(T(x)\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)+
\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Bigl(h(x)\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\Bigr)=0,
\end{equation*}\]
где $L_2=\rho A$, $L_1=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\bigl(h(x)\frac{\partial^2}{\partial x^2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(T(x)\frac{\partial}{\partial x}\bigr)$. Для постоянных $h(x)$ и $T(x)$ получаем уравнение колебаний двутавровой балки, исследованное в [2].

Частным случаем  являются незатухающие колебания упругого стержня с постоянной жесткостью, описываемые уравнением
\[\begin{equation*}
\rho A\frac{\partial^2u}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4u}{\partial x^4}=0,
\end{equation*}\]
соответствующим операторам $L_2=\rho A$, $L_1=EI\frac{\partial^4}{\partial x^4}$. В работе [3] для этого уравнения с условиями жесткого закрепления доказана теорема единственности, получены решения в виде рядов Фурье и исследована их сходимость.

Исторически первые результаты по колебаниям балок и выводу уравнений вида (5), (6) были получены достаточно давно [4, 5]. Качественное исследование колебаний, описываемых этими модельными уравнениями, представлено в многочисленных работах, включая исследование зависимости от параметра сдвига в [6].

В [7] рассмотрены свободные колебания балки Релея, уравнение которой соответствует (2) и получено из принципа наименьшего действия, с численными методами исследования. Работа [8] посвящена вибрационному анализу упругой консольной балки с вязкоупругим слоем, где исследованы модели Эйлера—Бернулли и Кельвина—Фойгта, определены модальные параметры и динамические характеристики.

Численное исследование уравнения (6) проведено в [9], где изучено влияние геометрических и материальных параметров балки на характер колебаний при различных краевых условиях (3).

Псевдогиперболические уравнения, содержащие смешанные производные и неразрешимые относительно старшей временной производной, активно изучаются. В [10, 11] установлены условия однозначной разрешимости для уравнений четвертого порядка с членом $u_{ttxx}$ в анизотропных пространствах Соболева. Работа [12] методом интегральных оценок исследует единственность решений многомерных уравнений с оператором $\Delta u_t$. В [13] изучена разрешимость начально-краевых задач для псевдогиперболических уравнений третьего порядка с нелокальными граничными условиями. В [14] доказаны существование и единственность обобщенного решения нелокальной задачи для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка на основе априорных оценок, метода Галеркина и теории пространств Соболева.

2. Существование решений

Решение начально-краевой задачи (2)–(4) может быть найдено в виде функционального ряда по специально подобранному базису. Для этой цели может быть применена процедура Галеркина [15].

Пусть $\{w_m(x)\}_{m=1}^{\infty}$ — ортонормированный базис пространства $L_2[0,l]$, элементы которого удовлетворяют краевым условиям (3). Тогда приближенное решение уравнения (1) можно построить в виде галеркинских приближений:
\[
u_m(x,t)=\sum^m_{k=1}a_k(t)w_k(x),
\]
где коэффициенты $a_k(t)$ определяются из системы уравнений, получаемой подстановкой $u_m(x,t)$ в уравнение (2):
\[
\sum^m_{k=1}\Bigl(\frac{d^2a_k(t)}{dt^2}L_2(w_k(x))+a_k(t)L_1(w_k(x))\Bigr)=\sum^m_{k=1}f_k(t)w_k(x),
\]
причем $f_k(t)$ являются коэффициентами разложения правой части уравнения (2) по базису $\{w_m(x)\}_{m=1}^{\infty}$. Используя свойство ортогональности базисных функций $w_k(x)$, получаем задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
\[\begin{equation}
\tag{9}
\frac{d^2a_k(t)}{dt^2} \bigl( L_2(w_k(x)),w_k(x))+a_k(t)(L_1(w_k(x) \bigr), \quad 
w_k(x))=f_k(t),
\end{equation}\]
\[
a_k(0)=(u_0)_k,\quad \frac{da_k}{dt}\Bigr|_{t=0}=(u_1)_k,
\]
где $(u_0)_k$, $(u_1)_k$ — коэффициенты разложения начальных условий (4) по рассматриваемому базису.

Существование решения задачи Коши для уравнения (9) гарантируется классическими теоремами теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение исходной задачи может быть представлено в виде предела последовательности галеркинских приближений:
\[
u(x,t)=\lim_{m\to\infty} u_m(x,t).
\]
Вопрос существования данного предела подробно рассмотрен в работе [15].

3. Энергетическое тождество

Утверждение. Дифференциальные операторы $L_i(u)$, определенные в (1), являются самосопряженными, то есть выполняется равенство
\[\begin{equation}
\tag{10}
(L_i(u),v) = (u,L_i(v)),
\end{equation}\]
где функции $u(x,t),$ $v(x,t)$ удовлетворяют граничным условиям (3).

Доказательство. Требуется доказать равенство
\[
(L_i(u),v) = \int^l_0 L_i(u) \cdot v \, dx = \int^l_0 u \cdot L_i(v) \,  dx = (u,L_i(v)).
\]
Учитывая краевые условия (3) для функций $u$, $v$ и применяя интегрирование по частям, получаем
\[\begin{multline*}
(L_i(u),v) = 
\int^l_0 L_i(u) \cdot v \, dx = 
\int^l_0 \sum^n_{k=0} (-1)^k \frac{\partial^k}{\partial x^k}\Bigl(p_{i,k}(x)\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\Bigr) \cdot v \, dx = {}
\\
{}= \int^l_0 \sum^n_{k=0} p_{i,k}(x) \frac{\partial^k u}{\partial x^k} \cdot \frac{\partial^k v}{\partial x^k} \, dx.
\end{multline*}\]

Аналогичные вычисления дают:
\[\begin{multline*}
(u,L_i(v)) = 
\int^l_0 u \cdot L_i(v) \, dx = 
\int^l_0 \sum^n_{k=0} v \cdot (-1)^k \frac{\partial^k}{\partial x^k}\Bigl(p_{i,k}(x)\frac{\partial^k v}{\partial x^k}\Bigr) \, dx = {}\\
{}= \int^l_0 \sum^n_{k=0} p_{i,k}(x) \frac{\partial^k u}{\partial x^k} \cdot \frac{\partial^k v}{\partial x^k} \, dx,
\end{multline*}\]
что доказывает равенство (10). $\square$

Рассмотрим теперь уравнение (2), умноженное на $ {\partial u}/{\partial t}$ и проинтегрированное по области $[0,l]\times[0,T']$, где $0 \leqslant T' \leqslant T$:
\[\begin{equation}
\tag{11}
\int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 \Bigl(L_2\Bigl(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\Bigr) + L_1(u)\Bigr) \frac{\partial u}{\partial t} \, dx dt = \int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 f(x,t) \frac{\partial u}{\partial t} \, dx dt.
\end{equation}\]

Преобразуем слагаемые в левой части (11):
\[\begin{multline*}
\int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 L_1(u) \frac{\partial u}{\partial t} dx dt =   \int^{T'}_0 \!\! \int^l_0  \biggl(
\sum^n_{k=0} (-1)^k \frac{\partial^k}{\partial x^k}\Bigl(p_{1,k}(x)\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\Bigr)\biggr) \frac{\partial u}{\partial t} \, dx dt = {} 
\\
{}= \sum^n_{k=0} (-1)^k \int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 \frac{\partial^k}{\partial x^k} 
\Bigl(p_{1,k}(x)\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\Bigr) \frac{\partial u}{\partial t} dx dt.
\end{multline*}\]

Используя доказанное утверждение, получаем
\[\begin{multline*}
\int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 L_1(u) \frac{\partial u}{\partial t} \, dx dt  = \sum^n_{k=0} \int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 p_{1,k}(x) \frac{\partial^k u}{\partial x^k} \frac{\partial^{k+1} u}{\partial x^k \partial t} \, dx dt = {}
\\
{}= \sum^n_{k=0} \int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 \frac{p_{1,k}(x)}{2} \frac{\partial}{\partial t}
\Bigl(\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\Bigr)^2 \, dx dt = \frac{1}{2} \int^{T'}_0 \!\! \frac{\partial}{\partial t} \sum^n_{k=0} \int^l_0 p_{1,k}(x)\Bigl(\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\Bigr)^2 \, dx dt.
\end{multline*}\]

Аналогично преобразуем второе слагаемое:
\[\begin{multline*}
\int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 L_2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right) \frac{\partial u}{\partial t} \, dx dt  = \int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 \sum^n_{k=0} p_{2,k}(x) \frac{\partial^{k+2} u}{\partial x^k \partial t^2} \cdot \frac{\partial^{k+1} u}{\partial x^k \partial t} \, dx dt = {}
\\
{}= \int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 \sum^n_{k=0} \frac{p_{2,k}(x)}{2} \frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{\partial^{k+1} u}{\partial x^k \partial t}\Bigr)^2 \, dx dt  = \frac{1}{2} \int^{T'}_0 \!\! \frac{\partial}{\partial t} \sum^n_{k=0} \int^l_0 p_{2,k}(x)\Bigl(\frac{\partial^{k+1} u}{\partial x^k \partial t}\Bigr)^2 \, dx dt.
\end{multline*}\]

Определим функционал энергии $E(\tau)$:
\[\begin{equation}
\tag{12}
E(\tau) = \frac{1}{2} \sum^n_{k=0} \int^l_0 \Bigl[
p_{2,k}(x)\Bigl(\frac{\partial^{k+1} u}{\partial x^k \partial t}\Bigr)^2 + 
p_{1,k}(x)\Bigl(\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\Bigr)^2\Bigr]_{t=\tau} dx.
\end{equation}\]

Используя определение (12), перепишем (11) в виде
\[\begin{equation}
\tag{13}
\int^{T'}_0 \!\! \frac{\partial}{\partial t} E(t) \, dt = 
\int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 f(x,t) \frac{\partial u}{\partial t} \, dx dt,
\end{equation}\]
или, в другой форме:
\[
E(T') = E(0) + \int^{T'}_0 \!\! \int^l_0 f(x,t) \frac{\partial u}{\partial t} \, dx dt.
\]

Соотношение (13) выражает закон сохранения энергии колебательной системы. Для класса функций с конечным значением функционала энергии (12) можно доказать теорему единственности решения.

Теорема (О единственности решения). Если решение задачи (2)–(4) существует, то оно единственно.

Доказательство. Предположим, что существуют два различных решения $u_1(x,t)$ и $u_2(x,t)$ задачи (2)–(4). 

Рассмотрим функцию $v(x,t) = u_1(x,t) - u_2(x,t)$, которая является решением соответствующей однородной задачи с нулевыми начальными условиями и правой частью. Тогда из (13) следует, что для любого $T' \leqslant T$:
\[\begin{equation}
\tag{14}
E(T') = E(0),
\end{equation}\]
где
\[\begin{multline*}
E(0) = \frac{1}{2} \sum^n_{k=0} \int^l_0 
\Bigl[
p_{2,k}(x)\Bigl(\frac{\partial^{k+1} v}{\partial x^k \partial t}\Bigr)^2 + 
p_{1,k}(x)\Bigl(\frac{\partial^k v}{\partial x^k}\Bigr)^2 \Bigr]_{t=0} dx = {}
\\
{}= \frac{1}{2} \sum^n_{k=0} \int^l_0 
\Bigl(p_{2,k}(x)\Bigl(\frac{\partial^k v_1}{\partial x^k}\Bigr)^2 + 
p_{1,k}(x)\Bigl(\frac{\partial^k v_0}{\partial x^k}\Bigr)^2\Bigr) \, dx.
\end{multline*}\]

Поскольку $v_0(x) \equiv v_1(x) \equiv 0$, получаем $E(0) = 0$, и из (14) следует $E(T') = 0$ для любого $T'$, что означает $v \equiv 0$. Это противоречит исходному предположению, следовательно, $u_1(x,t) \equiv u_2(x,t)$. $\square$ 

Заключение

В работе доказана теорема единственности решения начально-краевой задачи для уравнения колебаний упругих механических систем. Рассматриваемое уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных псевдогиперболического типа высокого порядка. Для начально-краевой задачи с переменными коэффициентами, удовлетворяющими условию положительности, введен функционал энергии и получено соответствующее энергетическое тождество.

Конкурирующие интересы. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов в отношении данной публикации.
Авторский вклад и ответственность. Автор несет полную ответственность за содержание и подготовку окончательной версии рукописи. Окончательная версия рукописи одобрена автором.
Финансирование. Исследование выполнено при поддержке гранта Минобрнауки России на реализацию крупных научных проектов по приоритетным направлениям развития науки и техники (проект № 075–15–2024–544 от 24 апреля 2024 г.).

About the authors

Alexander M. Romanenkov

Moscow Aviation Institute (National Research University); Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: romanaleks@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0700-8465
SPIN-code: 7586-0934
Scopus Author ID: 57196480014
ResearcherId: AAH-9530-2020
https://www.mathnet.ru/rus/person29785

Cand. Techn. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Mathematics; Senior Researcher; Dept. of Mathematical Modeling of Heterogeneous Systems

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4; 119333, Moscow, Vavilova str., 44/2

References

Supplementary files