Mathematical model of creep and creep rupture strength for hydrogen-charged VT6 titanium alloy at a temperature of 600$^\circ$C

Full Text

Введение и постановка задачи

Значительная часть исследований по математическому моделированию ползучести и длительной прочности металлов посвящена анализу деформации конструкционных элементов, эксплуатирующихся в нейтральных (неагрессивных) средах.

Влияние водорода на ползучесть и длительную прочность титанового сплава ВТ6 при 600$^\circ$C приводит к существенно более сложному поведению материала. Данный эффект изучался в условиях одноосного растяжения [1, 2], а также при сложном напряженном состоянии [3–5].

Несмотря на длительную историю систематических исследований в области металловедения и технологии титановых сплавов, отраженную в фундаментальных монографиях [6, 7] и зарубежном энциклопедическом издании [8] (в переводе [9]), проблема моделирования ползучести в условиях воздействия водородосодержащих сред остается малоизученной. Имеющийся массив работ в основном посвящен влиянию агрессивных сред на металлофизическое состояние материалов, тогда как феноменологическому моделированию ползучести и длительной прочности при повышенных температурах (свыше 500$^\circ$C) уделено явно недостаточное внимание.

Значительный вклад в развитие данного направления внесли научные школы Института механики МГУ имени М. В. Ломоносова [1, 2, 5, 10–14] и НИИ механики ННГУ им. Н. И. Лобачевского [3, 4].

Построение моделей ползучести и длительной прочности для наводороженных титановых сплавов осложнено значительным разбросом экспериментальных данных. Это обусловлено комплексным влиянием множества факторов: концентрации водорода, фазового состава, морфологии фаз, легирования, режима термообработки и уровня напряжений [7–9]. Поскольку испытания, как правило, проводятся на образцах в состоянии поставки, полный учет перечисленных переменных невозможен, что приводит к существенному разбросу данных, особенно для образцов из разных плавок одного материала [1–3].

Для решения данной проблемы необходимы новые методические подходы к снижению влияния структурных факторов на параметры ползучести (частично реализованные в [1, 2]) и оптимальное планирование экспериментов для снижения трудоемкости исследований.

Перспективным направлением представляется метод прогнозирования полных кривых ползучести по данным образца-лидера, разработанный в [15, 16]. В отличие от более ранних работ [17–20], где прогнозировалось только время до разрушения, данный метод позволяет восстановить всю кривую ползучести при различных напряжениях, используя лишь начальные скорости деформации.

Следует отметить, что метод прогнозирования по лидеру теоретически строго обоснован лишь для механизма вязкого разрушения при ползучести [15, 16]. В работе [21] предпринята попытка обобщения этого подхода для прогнозирования деформации наводороженных образцов из титанового сплава ВТ6 при 600$^\circ$C. В результате получены расчетные данные, разброс которых (например, по времени разрушения) существенно превышает наблюдавшийся в [15, 16]. Это расхождение обусловлено частичным охрупчиванием материала после внедрения водорода, что исключает вязкий механизм разрушения, для которого исходный метод и был разработан [15, 16]. Тем не менее результаты работы [21] можно считать удовлетворительными и для наводороженных образцов титанового сплава ВТ6 при температуре 600$^\circ$C.

В работах [1, 5, 22] предпринята попытка построения реологической одноосной модели ползучести и длительной прочности титанового сплава ВТ6 при температуре 600$^\circ$C с учетом наводораживания (концентрации $c_m\in\{0.1; 0.2;$  $0.3\}$ мас. %) на основе классических уравнений Ю. Н. Работнова с параметром поврежденности $\omega$. В настоящей работе ставится задача построения модели ползучести и длительной прочности наводороженных образцов энергетического типа на основе тех же экспериментальных данных [1, 22], что и в указанных исследованиях.

1. Основная реологическая модель

В работе [23] предложена система уравнений для описания первой и второй стадий изотермической ползучести при отсутствии агрессивной среды:
\[\begin{equation} \tag{1}
\begin{gathered}
p(t)=u(t)+v(t)+w(t);
\\
 u(t)= \sum\limits_{k=1}^s u_k(t),\quad
\dot u_k(t)=\lambda_k \bigl[ a_k \sigma^m(t)-u_k(t)\bigr];\\
v(t)=\sum\limits_{k=1}^s v_k(t),\quad
\dot v_k(t)=
\begin{cases}
\lambda_k \bigl[ b_k \sigma^m(t)-v_k(t)\bigr], & b_k \sigma^m(t) > v_k(t),\\
\hspace{1.5cm}0, & b_k \sigma^m (t) \leqslant v_k(t);
\end{cases}
\\
\dot w(t)=c \sigma^n(t),
\end{gathered}
\end{equation}  \]
где $p(t)$ — деформация ползучести; $u(t)$, $v(t)$, $w(t)$ — ее вязкоупругая, вязкопластическая и вязкая компоненты соответственно; $\lambda_k$, $a_k$, $b_k$, $c$, $m$, $n$ — материальные константы.

Для описания третьей стадии ползучести используется гипотеза, согласно которой ускорение деформации связано с накоплением микроповреждений и соответствующим уменьшением эффективной площади поперечного сечения образца, что приводит к росту истинных напряжений. Таким образом, необходимо различать номинальное напряжение $\sigma_0(t)= F(t)/ S_0$ и истинное напряжение $\sigma(t) = F(t) / S(t)$, где $F(t)$ — растягивающее усилие, $S_0$ — первоначальная площадь поперечного сечения, а $S(t)$ — текущая площадь с учетом повреждений.

Связь между $\sigma$ и $\sigma_0$ задается соотношением
\[\begin{equation}\tag{2}
    \sigma = \sigma_0 (1 +\omega),
\end{equation}\]
где параметр поврежденности $\omega$ вводится уравнением
\[\begin{equation}\tag{3}
    \dot{\omega}= \alpha \sigma \dot{p},
\end{equation}\]
что соответствует его пропорциональности работе истинного напряжения на деформации ползучести.

Величина $\alpha$ в (3) в общем случае может зависеть от номинального напряжения $\sigma_0$:
\[\begin{equation}\tag{4}
    \alpha =\alpha_1  \sigma_0 ^{m_1},
\end{equation}\]
где $\alpha_1$ и $m_1$ — постоянные. Для ряда материалов в частном случае $\alpha = \text{const}$.

Для совместного описания всех трех стадий ползучести в уравнениях (1) в качестве напряжения следует использовать истинное напряжение $\sigma(t)$, определяемое системой (2), (3).

В качестве критерия разрушения принята величина удельной работы истинного напряжения на деформации ползучести:
\[\begin{equation}
\tag{5}
A(t)=\int_{0}^{t} \sigma(\tau) \, \dot{p}(\tau) \, d\tau.
\end{equation}\]
Время до разрушения $t^*$ определяется из условия $A(t^*) = A^*$, где $A^*$ — критическая работа, которая в общем случае может зависеть от $\sigma_0$, т.е. $A^*=A^*(\sigma_0)$. Однако для большинства материалов $A^*=\text{const}$.

Из системы уравнений (1)–(3), (5) может быть получено соотношение для работы:
\[\begin{equation}\tag{6}
    A(t) = \dfrac{1}{\alpha} \bigl(  (1 - n \sigma^{n+1}_0 \alpha c t  )^{- {1}/{n}} - 1 \bigr).
\end{equation}\]

Экспериментальные данные по ползучести сплава ВТ6 при температуре 600$^\circ$C, представленные в [1, 5, 22], свидетельствуют об отсутствии первой стадии как для ненаводороженных, так и для наводороженных образцов. В связи с этим в соотношениях (1) полагаем $u(t)=v(t)=0$, и решение системы (1)–(3) для деформации ползучести принимает вид
\[\begin{equation}\tag{7}
    p(t)=-\dfrac{1}{n \alpha \sigma_0} \ln \bigl| 1 - n \sigma^{n+1}_0 \alpha c t \bigr|.
\end{equation}\]

2. Результаты расчета ползучести и длительной прочности наводороженных  образцов из сплава ВТ6 при $T=600^\circ$C

Для проверки модели (7) использованы экспериментальные данные для наводороженного сплава ВТ6 при температуре 600$^\circ$C, с концентрацией водорода $c_m \in \{0; 0.1; 0.2; 0.3\}$ мас.% из работ [1, 22]. Испытания, выполненные в широком диапазоне номинальных напряжений $\sigma_0 \in \{47; 67; 117; 167; 217\}$ МПа, проводились на сплошных цилиндрических образцах диаметром 5 мм и рабочей длиной $l_0=25$ мм, изготовленных из горячекатаного прутка. Поскольку исходная концентрация водорода не превышала 0.008 мас.%, в дальнейшем для ненаводороженных образцов принималось $c_m=0$ мас.%. В качестве характеристики деформированного состояния использована логарифмическая деформация
\[
p(t)=\ln \bigl(l(t)/l_0\bigr),
\]
где $l(t)$ — текущее удлинение образца в момент времени $t$.

Значения параметров $c$ и $n$ определялись по начальным участкам усредненных кривых ползучести при  5, 4 и 3 уровнях напряжений $\sigma_0\in \{47; 67; 117;$ $ 167; 217\}$ МПа для концентраций водорода $c_m \in \{0; 0.1; 0.2; 0.3\}$ мас.% соответственно методом наименьших квадратов (МНК). Параметр $\alpha$ для каждой кривой находился подстановкой экспериментальных данных $p(t^*)=p^*$ и $t=t^*$, соответствующих моменту разрушения, в уравнение (7) и решением его относительно $\alpha$.

Величина $A^*$ определялась из соотношения (6) при каждом уровне концентрации водорода $c_m$ и напряжении $\sigma_0$ по найденным значениям $c$, $n$, $\alpha$ и экспериментальному времени до разрушения $t^*$ (деформация $p^*=p(t^*)$). Результаты первичного расчета величин $c$, $n$, $\alpha$ и $A^*$ приведены в табл. 1, а соответствующие им расчетные кривые ползучести (штриховые линии) — на рис. 1–4.

 

Рис. 1. Кривые ползучести сплава ВТ6 ($T = 600$$^\circ$C, $c_m = 0$ мас.%): экспериментальные (сплошные линии), первичный расчет по модели (7) (штриховые линии) и окончательный расчет по полной модели (1)–(8) (штрих-пунктирные линии). Кривые: 1 — $\sigma = 217$ МПа, 2 — $\sigma = 167$ МПа, 3 — $\sigma = 117$ МПа, 4 — $\sigma = 67$ МПа, 5 — $\sigma = 47$ МПа (онлайн в цвете)
[Figure 1. Creep curves for the VT6 alloy ($T = 600$$^\circ$C, $c_m = 0$ wt.%): experimental (solid lines), initial calculation using model (7) (dashed lines), and final calculation using the full model (1)–(8) (dash-dotted lines). Curves: 1—$\sigma = 217$ MPa, 2—$\sigma = 167$ MPa, 3—$\sigma = 117$ MPa, 4—$\sigma = 67$ MPa, 5—$\sigma = 47$ MPa (color online)]

 

Рис. 2. Кривые ползучести сплава ВТ6 ($T = 600$$^\circ$C, $c_m = 0.1$ мас.%): экспериментальные (сплошные линии), первичный расчет по модели (7) (штриховые линии) и окончательный расчет по полной модели (1)–(8) (штрих-пунктирные линии). Обозначения кривых соответствуют рис. 1 (онлайн в цвете)
[Figure 2. Creep curves for the VT6 alloy ($T = 600$$^\circ$C, $c_m = 0.1$ wt.%): experimental (solid lines), initial calculation using model (7) (dashed lines), and final calculation using the full model (1)–(8) (dash-dotted lines). Curve labels correspond to those in Fig. 1 (color online)]

 

Рис. 3. Кривые ползучести сплава ВТ6 ($T = 600$$^\circ$C, $c_m = 0.2$ мас.%): экспериментальные (сплошные линии), первичный расчет по модели (7) (штриховые линии) и окончательный расчет по полной модели (1)–(8) (штрих-пунктирные линии). Обозначения кривых соответствуют рис. 1 (онлайн в цвете)
[Figure 3. Creep curves for the VT6 alloy ($T = 600$$^\circ$C, $c_m = 0.2$ wt.%): experimental (solid lines), initial calculation using model (7) (dashed lines), and final calculation using the full model (1)–(8) (dash-dotted lines). Curve labels correspond to those in Fig. 1 (color online)]

 

Рис. 4. Кривые ползучести сплава ВТ6 ($T = 600$$^\circ$C, $c_m = 0.3$ мас.%): экспериментальные (сплошные линии), первичный расчет по модели (7) (штриховые линии) и окончательный расчет по полной модели (1)–(8) (штрих-пунктирные линии). Обозначения кривых соответствуют рис. 1 (онлайн в цвете)
[Figure 4. Creep curves for the VT6 alloy ($T = 600$$^\circ$C, $c_m = 0.3$ wt.%): experimental (solid lines), initial calculation using model (7) (dashed lines), and final calculation using the full model (1)–(8) (dash-dotted lines). Curve labels correspond to those in Fig. 1 (color online)]

 

Как отмечалось в [1, 5, 22], осредненные экспериментальные кривые при каждом $\sigma_0$ и $c_m$ получены по 2–3 реализациям, причем наблюдался значительный разброс деформации ползучести для отдельных реализаций. Именно с учетом этого факта выполнялась дальнейшая обработка данных при построении модели (3)–(6) ($u(t)=v(t)=0$).

 

Таблица 1. Расчетные значения параметров $c$, $n$, $\alpha$, $A^*$ модели (7) для сплава ВТ6 ($T = 600$$^\circ$C) при различных содержаниях водорода $c_m$ и уровнях напряжений [Calculated values of the model (7) parameters $c$, $n$, $\alpha$, $A^*$ for the VT6 alloy ($T = 600$$^\circ$C) at different hydrogen contents $c_m$ and stress levels]

$c_m$, wt.%	$\sigma_0$, MPa	$c$	$n$	$p^*$	$t^*, h$	$\alpha$	$A^*$
0	47	$2 \cdot 10^{-8}$	3.05	0.56	83.1	0.0304	39.92
	67			0.66	24.76	0.0258	82.55
	117			0.61	4.72	0.0139	122
	167			0.45	1.16	0.0134	129.8
	217			0.37	0.43	0.0125	138.4
0.1	47	$2.42 \cdot 10^{-8}$	2.94	0.81	100.36	0.0355	80.6
	67			0.42	27.96	0.0292	43.7
	117			0.52	7.02	0.0128	91.3
	167			0.36	1.79	0.0121	88.4
	217			0.27	0.55	0.0146	92.7
0.2	67	$8.35\cdot 10^{-13}$	4.93	0.28	38	0.0948	51.9
	117			0.17	2.12	0.0622	39.9
	167			0.23	1.1	0.0134	50.3
	217			0.30	0.99	0.0006	66.4
0.3	117	$1.39\cdot 10^{-18}$	6.81	0.22	73	0.1019	128
	167			0.14	11	0.0419	39.6
	217			0.15	2.31	0.0258	51

 

Анализ данных для параметра $\alpha$ (табл. 1) свидетельствует о его монотонном убывании с ростом $\sigma_0$ при каждом фиксированном $c_m$. Поэтому для аппроксимации $\alpha$ использовано соотношение (4); соответствующие значения $\alpha_1$ и $m_1$, полученные МНК, приведены в табл. 2.

 

Таблица 2. Параметры аппроксимаций  (4) и (8) и расчетные значения $\langle A^* \rangle$ [Parameters of the approximations (4) and (8), and the calculated values of $\langle A^* \rangle$]

$c_m$, wt.%	$\alpha_1$	$m_1$	$\alpha_2$	$m_2$	$ \langle {A^*} \rangle$
$0$	$0.34$	$-0.63$	$101.8$	$-2.88$	$101.8$
$0.1$	$0.515$	$-0.71$	$101.8$	$-2.88$	$76.4$
$0.2$	$7.7 \cdot 10^2$	$-2.14$	$101.8$	$-2.88$	$57.2$
$0.3$	$4.3 \cdot 10^3$	$-2.24$	$101.8$	$-2.88$	$43$

 

Анализ работы $A^*$ в момент разрушения (последний столбец табл. 1) показывает, что при каждом фиксированном $c_m$ для всех напряжений $\sigma_0$ ее можно считать постоянной и равной среднему значению по всем реализациям. Осредненные значения $\langle A^* \rangle$ для каждого $c_m$ приведены в табл. 1 (отметим, что при $c_m=0.3$ мас.% и $\sigma_0=117$ МПа величина $A^*$ не учитывалась, поскольку это значение является выбросом). Зависимость $\langle A^* \rangle$ от $c_m$ аппроксимируется выражением
\[\begin{equation}
\tag{8}
\langle A^* \rangle = \alpha_2 \exp(m_2 c_m),
\end{equation}\]
где коэффициенты $\alpha_2$ и $m_2$, определенные МНК, равны $\alpha_2=101.8$ и $m_2=-2.88$.

Традиционная схема построения реологической модели для произвольной концентрации $c_m$ заключается в установлении аппроксимационных зависимостей величин $c$, $n$, $\alpha_1$ и $m_1$ от $c_m$. Однако анализ данных для $c$ и $n$ (табл. 1), определяющих закон установившейся ползучести на начальных участках, показывает, что величина $n$, во-первых, немонотонна, во-вторых, существенно возрастает с увеличением $c_m$, в то время как $c$ изменяется на 10 порядков. Аналогично величина $\alpha_1$ (табл. 2) изменяется на 4 порядка. Для таких данных любая (например, степенная или экспоненциальная) аппроксимация по $c_m$ приводит к большим математическим погрешностям, которые в сочетании с естественным разбросом экспериментальных данных дают неприемлемые результаты для расчета деформации и длительной прочности. Поэтому для получения адекватных расчетов по модели (1)–(7) для величин $c$, $n$, $\alpha_1$, $m_1$ предпочтительнее использовать кусочно-линейную интерполяцию на множестве $c_m \in [{0; 0.3}]$ мас.% по узловым значениям $c_m = \{0; 0.1; 0.2; 0.3\}$ мас.% без сглаживания методом наименьших квадратов.

С учетом приведенных выше соображений на рис. 1–4 штрих-пунктирными линиями представлены результаты расчетов по модели (1)–(8) для сплава ВТ6 при температуре 600$^\circ$C при различной степени наводораживания; экспериментальные данные показаны сплошными линиями. Кроме того, с использованием энергетического критерия разрушения (5), (6) и зависимости (8) для $\langle A^* \rangle$ рассчитано время разрушения $t_1^*$ для всех имеющихся пар $\{\sigma_0, c_m\}$ (табл. 3). Для сравнения в табл. 3 приведены экспериментальные значения $t^*$ [1, 5, 22] и расчетные значения $t^*_2$ по модели авторов [1, 5, 22]. В двух последних столбцах табл. 3 даны значения относительных погрешностей
\[\begin{equation*}
\Delta_i = \Bigl| \frac{t^*-t^*_i}{t^*}\Bigr| \cdot 100\,\% , \quad i=1, 2,
\end{equation*}\]
для разработанной модели (1)–(8) и модели авторов [1, 5, 22] соответственно.

 

Таблица 3. Экспериментальные и расчетные времена до разрушения сплава ВТ6 ($T = 600$$^\circ$C) при различных $c_m$ и $\sigma_0$ [Experimental and calculated creep rupture times for the VT6 alloy ($T = 600$$^\circ$C) at various $c_m$ and $\sigma_0$]

$\sigma_0$, MPa	$c_m$, wt.%	$t^*$, h	$t^*_1$, h	$t^*_2$, h	$\Delta_1$	$\Delta_2$
47	0	83.1	91.47	57.97	10.11	30.2
	0.1	100.36	105.91	80.27	5.53	20.0
67	0	24.76	26.96	19.40	8.90	21.6
	0.1	27.96	33.14	26.84	18.5	4.0
	0.2	38	37.98	45.3	0.05	19.2
117	0	4.72	3.91	3.45	17.2	26.9
	0.1	7.02	5.23	4.77	25.5	32.1
	0.2	2.12	4.56	7.83	115.1	269.3
	0.3	73	75.09	40.9	2.86	44
167	0	1.16	1.13	1.14	2.6	1.72
	0.1	1.79	1.58	1.58	11.7	11.7
	0.2	1.1	1.12	2.55	1.82	131.8
	0.3	11	10.34	13.20	5.96	20.00
217	0	0.43	0.45	0.51	4,65	18.6
	0.1	0.55	0.65	0.7	18.2	27.3
	0.2	0.99	0.37	1.17	62.6	18.1
	0.3	2.31	2.39	5.77	3.5	149.8

 

Оценка результатов позволяет сделать вывод об удовлетворительном соответствии расчетов ползучести и длительной прочности по модели (1)–(8) как экспериментальным данным, так и результатам, полученным по модели [1, 5, 22]. 

Анализ результатов и выводы

В работе показано, что метод прогнозирования деформации ползучести и длительной прочности на основе модели (1)–(8) дает приемлемые результаты для наводороженных образцов из сплава ВТ6 при 600$^\circ$C даже с учетом значительного разброса экспериментальных данных, отмеченного в [1, 5, 22]. 

Анализ модели позволяет сформулировать следующие основные выводы.

1. С увеличением как напряжения при фиксированной концентрации водорода $c_m$, так и самой концентрации $c_m$ происходит снижение «пластических» свойств материала и критического значения работы разрушения $\langle A^* \rangle$, что свидетельствует о частичном охрупчивании сплава ВТ6 после внедрения водорода.
2. Существенный рост показателей нелинейности $n$ и $|m_1|$ с увеличением $c_m$ (табл. 1 и 2) указывает на наложение механизмов хрупкого разрушения на основной механизм ползучести.
3. Величины $c$ и $\alpha_1$ изменяются на несколько порядков при росте $c_m$ (табл. 1 и 2), что делает неприменимыми стандартные аппроксимационные зависимости от концентрации. Использованный в работе подход кусочно-линейной интерполяции этих параметров позволил снизить погрешность расчетов по модели (1)–(8) по сравнению с экспериментальными данными и результатами других моделей (см. табл. 3).

Конкурирующие интересы. Конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи нет.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (тема № FSSE-2023-0003) в рамках государственного задания Самарского государственного технического университета.

About the authors

Vladimir P. Radchenko

Samara State Technical University

Email: radchenko.vp@samgtu.ru
ORCID iD: 0000-0003-4168-9660
Scopus Author ID: 7004402189
ResearcherId: J-5229-2013
https://www.mathnet.ru/rus/person38375

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Dept; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

Elena A. Afanaseva

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: afanasieva.ea@samgtu.ru
ORCID iD: 0000-0001-7815-2723
SPIN-code: 7548-9837
https://www.mathnet.ru/rus/person188683

Cand. Phys. & Math. Sci.; Junior Researcher; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

Mikhail N. Saushkin

Samara State Technical University

Email: saushkin.mn@samgtu.ru
ORCID iD: 0000-0002-8260-2069
Scopus Author ID: 35318659800
ResearcherId: A-8120-2015
https://www.mathnet.ru/rus/person38368

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

References

Supplementary files