Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University100961Short CommunicationsКраткие сообщенияShort CommunicationOn a ordering of area tensor elements orientations in a micropolar continuum immersed in an external plane spaceО согласовании ориентаций тензорных элементов площади в микрополярном континууме, погружаемом во внешнее плоское пространствоhttps://orcid.org/0000-0002-3267-474212760003400F-4192-20144022-4305MurashkinEvgenii V.МурашкинЕвгений Валерьевич

Cand. Phys. & Math. Sci., PhD, MD; Senior Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

кандидат физико-математических наук; старший научный сотрудник; лаб. моделирования в механике деформируемого твердого тела

evmurashkin@gmail.comhttp://www.mathnet.ru/person53045https://orcid.org/0000-0002-0866-21516602740688J-8505-20195886-9203RadayevYuri N.РадаевЮрий Николаевич

D.Sc. (Phys. & Math. Sci.), Ph.D., M.Sc., Professor; Leading Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

доктор физико-математических наук, профессор; ведущий научный сотрудник; лаб. моделирования в механике деформируемого твердого тела

y.radayev@gmail.comhttp://www.mathnet.ru/person39479Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of SciencesИнститут проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН17022022301220212547767861702202217022022Copyright ©; 2021, Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Copyright ©; 2021, Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)2021Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/100961

The paper deals with the problems of ordering the reper orientations for a micropolar continuum immersed in an external plane space. Based on the concept of an elementary tensor volume (area) \(M\)-cells, an algorithm for comparing and matching external spatial orientations of \(M\)-cells is proposed. The process of continuous transfer of reper directions associated with a \(M\)-cell is considered. As a result, we can talk about the orientation of micropolar continuum itself and its boundary. The oriented continuum plays an important role in micropolar elasticity. This is especially true for the theory of hemitropic elastic media. The pseudotensor formulation of Stokes' theorem is discussed.

Рассматриваются проблемы согласования ориентаций реперов для микрополярного континуума, погруженного во внешнее плоское пространство. На основе понятия элементарного тензорного объема (площади) \(M\)-ячейки, описывается алгоритм сравнения и согласования внешних пространственных ориентаций \(M\)-ячеек. Рассматривается процесс непрерывного переноса реперных направлений, ассоциированных с \(M\)-ячейкой. В результате можно вести речь об ориентации самого микрополярного континуума и его границы. Ориентированный континуум играет важную роль в микрополярной теории упругости, корректное построение которой возможно только в рамках псевдотензорного формализма и ориентируемого многообразия. В особенности это касается теории гемитропных упругих сред. Обсуждается псевдотензорная формулировка теоремы Стокса.

relative tensororienting pseudoscalarmicrorotationdisplacementmicropolar hemitropic continuumотносительный тензорориентирующий псевдоскалярмикроповоротперемещениемикрополярный гемитропный континуумThis study was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (State Registration Number AAAA–A20–120011690132–4) and by the Russian Foundation for Basic Research (projects nos. 18–01–00844, 20–01–00666).Работа выполнена в рамках государственного задания (№ госрегистрации АААА–А20–120011690132–4) и при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований проекты № 19–51–60001, № 20–01–00666.Eisenhart L. P. Riemannian Geometry. Princeton, N.J., Princeton Univ., 1967, vii+306 pp.Eisenhart L. P. Riemannian Geometry. Princeton, N.J.: Princeton Univ., 1967. vii+306 pp.Raschewski P. K. Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis [Riemannian Geometry and Tensor Analysis]. Frankfurt am Main, Verlag Harri Deutsch, 1995, 606 pp. (In German)Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On a micropolar theory of growing solids, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 3, pp. 424–444. https://doi.org/10.14498/vsgtu1792.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On a micropolar theory of growing solids // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020. vol. 24, no. 3. pp. 424–444. https://doi.org/10.14498/vsgtu1792.Murashkin E. V., Radayev Y. N. On a differential constraint in asymmetric theories of the mechanics of growing solids, Mech. Solids, 2019, vol. 54, no. 8, pp. 1157–1164. https://doi.org/10.3103/S0025654419080053.Murashkin E. V., Radayev Y. N. On a differential constraint in asymmetric theories of the mechanics of growing solids // Mech. Solids, 2019. vol. 54, no. 8. pp. 1157–1164. https://doi.org/10.3103/S0025654419080053.Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of relative tensors, Trans. Amer. Math. Soc., 1924, vol. 26, no. 3, pp. 373–377. https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1924-1501284-6.Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of relative tensors // Trans. Amer. Math. Soc., 1924. vol. 26, no. 3. pp. 373–377. https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1924-1501284-6.Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 24. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1927, viii+102 pp.Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms / Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. vol. 24. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1927. viii+102 pp.Gurevich G. B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, P. Noordhoff, 1964, viii+429 pp.Gurevich G. B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen: P. Noordhoff, 1964. viii+429 pp.Truesdell C., Toupin R. The Classical Field Theories, In: Principles of Classical Mechanics and Field Theory, Encyclopedia of Physics, III/1; ed. S. Flügge. Berlin, Göttingen, Heidelberg, Springer, 1960, pp. 226–902. https://doi.org/10.1007/978-3-642-45943-6_2.Truesdell C., Toupin R. The Classical Field Theories / Principles of Classical Mechanics and Field Theory / Encyclopedia of Physics, III/1; ed. S. Flügge. Berlin, Göttingen, Heidelberg: Springer, 1960. pp. 226–902. https://doi.org/10.1007/978-3-642-45943-6_2.Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicists. Oxford, Clarendon Press, 1954, xii+277 pp.Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicists. Oxford: Clarendon Press, 1954. xii+277 pp.Sokolnikoff I. S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, Applied Mathematics Series. New York, John Wiley & Sons Inc, 1964, xii+361 pp.Sokolnikoff I. S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua / Applied Mathematics Series. New York: John Wiley & Sons Inc, 1964. xii+361 pp.Synge J. L., Schild A. Tensor Calculus, Dover Books on Advanced Mathematics, vol. 5. New York, Courier Corporation, 1978, ix+324 pp.Synge J. L., Schild A. Tensor Calculus / Dover Books on Advanced Mathematics. vol. 5. New York: Courier Corporation, 1978. ix+324 pp.Rozenfel’d B. A. Mnogomernye prostranstva [Multidimensional Spaces]. Moscow, Nauka, 1966, 648 pp. (In Russian)Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 647 с.Kovalev V. A., Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulation, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 752–761. https://doi.org/10.14498/vsgtu1799.Kovalev V. A., Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulation // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020. vol. 24, no. 4. pp. 752–761. https://doi.org/10.14498/vsgtu1799.Radayev Yu. N., Murashkin E. V. Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media, Problems of Strength and Plasticity, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412 (In Russian). https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.Радаев Ю. Н., Мурашкин Е. В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности, 2020. Т. 82, № 4. С. 399–412. https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.Radayev Yu. N., Murashkin E. V. A generalization of the algebraic theory of Hamilton–Cayley, Mech. Solids, 2021, vol. 56, no. 6 (to appear).Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Об одном обобщении алгебраической теории Гамильтона–Кэли // Изв. РАН. МТТ, 2021. № 6. С. 130–138. https://doi.org/10.31857/S0572329921060106.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On a pseudotensor generalization of the Hugoniot-Hadamard linking boundary conditions, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2021, no. 2(48), pp. 104–114 (In Russian). https://doi.org/10.37972/chgpu.2021.48.2.013.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Об одном псевдотензорном обобщении связывающих двусторонних граничных условий Югонио–Адамара // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2021. № 2(48). С. 104–114. https://doi.org/10.37972/chgpu.2021.48.2.013.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Direct, inverse and mirror wave modes of coupled displacements and microrotations monochromatic plane waves in hemitropic micropolar media, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2021, no. 2(48), pp. 115–127 (In Russian). https://doi.org/10.37972/chgpu.2021.48.2.014.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Прямые, инверсные и зеркальные волновые моды связанных волн перемещений и микровращений в гемитропных микрополярных средах // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2021. № 2(48). С. 115–127. https://doi.org/10.37972/chgpu.2021.48.2.014.Radayev Yu. N., Murashkin E. V. On the theory of oriented tensor elements of the area of a micropolar continuum immersed in an external flat space, Mech. Solids, 2022, vol. 57, no. 2 (to appear).Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К теории ориентированных тензорных элементов площади микрополярного континуума, погруженного во внешнее плоское пространство // Изв. РАН. МТТ, 2022. № 2 (в печати).Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Course held at the Department for Mechanics of Deformable Bodies, July 1970, Udine, International Centre for Mechanical Sciences. Courses and Lectures, vol. 25. Wien, New York, Springer, 1972, 286 pp. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9.Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Course held at the Department for Mechanics of Deformable Bodies, July 1970, Udine / International Centre for Mechanical Sciences. Courses and Lectures. vol. 25. Wien, New York: Springer, 1972. 286 pp. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9.Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, Pergamon Press, 1986, viii+383 pp.Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford: Pergamon Press, 1986. viii+383 pp.Besdo D. Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat–Kontinuums [A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat–continuum], Acta Mechanica, 1974, vol. 20, no. 1, pp. 105–131 (In German). https://doi.org/10.1007/BF01374965.Besdo D. Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat–Kontinuums [A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat–continuum] // Acta Mechanica, 1974. vol. 20, no. 1. pp. 105–131 (In German). https://doi.org/10.1007/BF01374965.Shilov G. E. An Introduction to the Theory of Linear Spaces, Dover Books on Advanced Mathematics. New York, Dover Publ., 1974, ix+310 pp.Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. М.: ГИТТЛ, 1952. 384 с.Sushkevich A. K. Osnovy vysshei algebry [Fundamentals of Higher Algebra]. Moscow, ONTI, 1937, 476 pp. (In Russian)Сушкевич А. К. Основы высшей алгебры. М.: ОНТИ, 1937. 476 с.Lagally M. Vorlesungen über Vektor-Rechnung [Vector Calculus]. Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 1928, xvii+358 pp. (In German)Lagally M. Vorlesungen über Vektor-Rechnung [Vector Calculus]. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft, 1928. xvii+358 pp. (In German)Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. L. Sovremennaia geometriia [Modern Geometry]. Moscow, Nauka, 1979, 760 pp. (In Russian)Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Л. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 760 с.