Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University14109410.14498/vsgtu1997WSCTDRDifferential Equations and Mathematical PhysicsДифференциальные уравнения и математическая физикаResearch ArticleInverse problem for an integro-differential equation of hyperbolic type with additional information of a special form in a bounded domainОбратная задача для интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа с дополнительной информацией специального вида в ограниченной областиhttps://orcid.org/0000-0001-9249-835XSafarovJurabek Sh.СафаровЖурабек Шакарович
Uzbekistan

Dr. Phys. & Math. Sci.; Senior Researcher; Lab. of Differential Equations and their Applications; Professor; Dept. of Higher Mathematics

доктор физико-математических наук, профессор; старший научный сотрудник; лаб. дифференциальных уравнений и их приложений; профессор; каф. высшей математики

j.safarov65@mail.ruhttps://www.mathnet.ru/person73792V. I. Romanovsky Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of UzbekistanИнститут математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики УзбекистанTashkent University of Information TechnologiesТашкентский университет информационных технологий0209202428129442701202322032024Copyright ©; 2024, Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Copyright ©; 2024, Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)2024Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/141094

A one-dimensional inverse problem of determining the kernel of the integralterm of an integro-differential equation of hyperbolic type in a variableboundeddomain $x$ is considered. Firstly, the direct problem is investigated, for the regular part of which the Cauchy problem on the axis $x=0$ is obtained using the method of singularity extraction. Subsequently, an integral equation for the unknown function is derived by the d’Alembert formula.For the direct problem, the inverse problem of determining the kernel entering the integral term of the equation is studied. To find it, an additional condition is specified in a special form. As a result, the inverse problem is reduced to an equivalent system of integral equations for unknown functions. The principle of contraction mappings in the space of continuous functions with weighted norms is applied to the obtained system.For the given problem, a theorem of global unique solvability has beenproven, which is the main result of the study.

Рассматривается одномерная обратная задача определения ядра интегрального члена интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа в ограниченной по переменной $x$ области. Сначала исследуется прямая задача, для регулярной части которой методом выделения особенностей получена задача Коши на оси $x=0$. Далее с помощью формулы Даламбера получено интегральное уравнение относительно искомой функции.Для прямой задачи изучается обратная задача определения ядра, входящего в интегральный член уравнения. Для его отыскания задается дополнительное условие в специальном виде. В итоге обратная задача сводится к эквивалентной системе интегральных уравнений относительно неизвестных функций. К полученной системе применяется принцип сжимающих отображений в пространстве непрерывных функций с весовыми нормами.Для поставленной задачи доказана теорема глобальной однозначной разрешимости, которая является основным результатом статьи.

integro-differential equationinverse problemintegral kernelcontraction mapping principleBanach theoremинтегро-дифференциальное уравнениеобратная задачаядро интегралапринцип сжимающих отображенийтеорема БанахаLorenzi A., Sinestrari E. Stability results for a partial integrodifferential inverse problem, In: Volterra integrodifferential equations in Banach spaces and applications, Proc. Conf., Trento/Italy 1987, Pitman Res. Notes Math. Ser., 190, 1989, pp. 271–294.Lorenzi A., Sinestrari E. Stability results for a partial integrodifferential inverse problem / Volterra integrodifferential equations in Banach spaces and applications, Proc. Conf., Trento/Italy 1987 / Pitman Res. Notes Math. Ser., 190, 1989. pp. 271–294.Lorenzi A., Paparoni E. Direct and inverse problems in the theory of materials with memory, Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, 1992, vol. 87, pp. 105–138.Lorenzi A., Paparoni E. Direct and inverse problems in the theory of materials with memory // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, 1992. vol. 87. pp. 105–138.Lorenzi A. An identification problem related to a nonlinear hyperbolic integro-differential equation, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 1994, vol. 22, no. 1, pp. 21–44. DOI: https://doi.org/10.1016/0362-546X(94)90003-5.Lorenzi A. An identification problem related to a nonlinear hyperbolic integro-differential equation // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 1994. vol. 22, no. 1. pp. 21–44. DOI: https://doi.org/10.1016/0362-546X(94)90003-5.Safarov Z. S., Durdiev D. K. Inverse problem for an integro-differential equation of acoustics, Differ. Equat., 2018, vol. 54, no. 1, pp. 134–142. EDN: SBEEZR. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266118010111.Сафаров Ж. Ш., Дурдиев Д. К. Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения акустики // Диффер. уравн., 2018. Т. 54, №1. С. 136–144. EDN: QLHNCP. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064118010119.Safarov J. S Global solvability of the one-dimensional inverse problem for the integrodifferential equation of acoustics, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2018, vol. 11, no. 6, pp. 753–763. EDN: YPMSKT. DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2018-11-6-753-763.Safarov J. S Global solvability of the one-dimensional inverse problem for the integro-differential equation of acoustics // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2018. vol. 11, no. 6. pp. 753–763. EDN: YPMSKT. DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2018-11-6-753-763.Romanov V. G. On the determination of the coefficients in the viscoelasticity equations, Siberian Math. J., 2014, vol. 55, no. 3, pp. 503–510. EDN: UGODUV. DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446614030124.Романов В. Г. Об определении коэффициентов в уравнениях вязкоупругости // Сиб. матем. журн., 2014. Т. 55, №3. С. 617–626. EDN: SJBRGD.Durdiev D. K., Safarov Z. S. Inverse problem of determining the one-dimensional kernel of the viscoelasticity equation in a bounded domain, Math. Notes, 2015, vol. 97, no. 6, pp. 867–877. EDN: UTMWIN. DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434615050223.Дурдиев Д. К., Сафаров Ж. Ш. Обратная задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области // Матем. заметки, 2015. Т. 97, №6. С. 855–867. EDN: UAJXTD. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm10659.Rahmonov A. A., Durdiev U. D., Bozorov Z. R. Problem of determining the speed of sound and the memory of an anisotropic medium, Theoret. and Math. Phys., 2021, vol. 207, no. 1, pp. 494–513. EDN: IWWZQA. DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577921040085.Рахмонов А. А. Дурдиев У. Д., Бозоров З. Р. Задача определения скорости звука и функции памяти анизотропной среды // Теор. и матем. физика, 2021. Т. 207, №1. С. 112–132. EDN: VQBJPL. DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10035.Guidetti D. Reconstruction of a convolution kernel in a parabolic problem with a memory term in the boundary conditions, Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar, 2013, vol. 4, no. 1, pp. 47–55. DOI: https://doi.org/10.6092/issn.2240-2829/4154.Guidetti D. Reconstruction of a convolution kernel in a parabolic problem with a memory term in the boundary conditions // Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar, 2013. vol. 4, no. 1. pp. 47–55. DOI: https://doi.org/10.6092/issn.2240-2829/4154.Cavaterra C., Guidetti D. Identification of a convolution kernel in a control problem for the heat equation with a boundary memory term, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 2014, vol. 193, no. 3, pp. 779–816. DOI: https://doi.org/10.1007/s10231-012-0301-y.Cavaterra C., Guidetti D. Identification of a convolution kernel in a control problem for the heat equation with a boundary memory term // Ann. Mat. Pura Appl. (4), 2014. vol. 193, no. 3. pp. 779–816. DOI: https://doi.org/10.1007/s10231-012-0301-y.Janno J., von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in viscoelasticity, Math. Methods Appl. Sci., 1997, vol. 20, no. 4, pp. 291–314. DOI: https://doi.org/10.1002/(SICI)1099-1476(19970310)20:4<291::AID-MMA860>3.0.CO;2-W.Janno J., von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in viscoelasticity // Math. Methods Appl. Sci., 1997. vol. 20, no. 4. pp. 291–314. DOI: https://doi.org/10.1002/(SICI)1099-1476(19970310)20:4<291::AID-MMA860>3.0.CO;2-W.Durdiev D. K., Rakhmonov A. A. The problem of determining the 2D kernel in a system of integro-differential equations of a viscoelastic porous medium, J. Appl. Industr. Math., 2020, vol. 14, no. 2, pp. 281–295. EDN: GRSYPW. DOI: https://doi.org/10.1134/S1990478920020076.Дурдиев Д. К., Рахмонов А. А Задача об определении двумерного ядра в системе интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругой пористой среды // Сиб. журн. индустр. матем., 2020. Т. 23, №2. С. 63–80. EDN: KIFSZH. DOI: https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2020.23.205.Durdiev D. K., Nuriddinov Zh. Z Determination of a multidimensional kernel in some parabolic integro-differential equation, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2021, vol. 14, no. 1, pp. 117–127. EDN: RMPPXU. DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2021-14-1-117-127.Durdiev D. K., Nuriddinov Zh. Z Determination of a multidimensional kernel in some parabolic integro-differential equation // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2021. vol. 14, no. 1. pp. 117–127. EDN: RMPPXU. DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2021-14-1-117-127.Safarov J. Sh. Two-dimensional inverse problem for an integro-differential equation of hyperbolic type, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2022, vol. 15, no. 5, pp. 651–662. EDN: ADDBPG. DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2022-15-5-651-662.Safarov J. Sh. Two-dimensional inverse problem for an integro-differential equation of hyperbolic type // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2022. vol. 15, no. 5. pp. 651–662. EDN: ADDBPG. DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2022-15-5-651-662.Durdiev D. K., Safarov Zh. Sh. The local solvability of a problem of determining the spatial part of a multidimensional kernel in the integro-differential equation of hyperbolic type, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2012, no. 4, pp. 37–47 (In Russian). EDN: PUQBLB. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1097.Дурдиев Д. К., Сафаров Ж. Ш. Локальная разрешимость задачи определения пространственной части многомерного ядра в интегро-дифференциальном уравнении гиперболического типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. №4. С. 37–47. EDN: PUQBLB. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1097.Durdiev D. K., Safarov J. Sh. Problem of determining the two-dimensional kernel of the viscoelasticity equation with a weakly horizontal inhomogeneity, J. Appl. Ind. Math., 2022, vol. 16, no. 1, pp. 22–44. EDN: ANKIMT. DOI: https://doi.org/10.1134/s1990478922010033.Дурдиев Д. К., Сафаров Ж. Ш. Задача об определении двумерного ядра уравнения вязкоупругости со слабо горизонтальной неоднородностью // Сиб. журн. индустр. матем., 2022. Т. 25, №1. С. 14–38. EDN: BVTEGR. DOI: https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2022.25.102.Durdiev D. K., Safarov J. Sh. The problem of determining the memory of an environment with weak horizontal heterogeneity, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2022, vol. 32, no. 3, pp. 383–402 (In Russian). EDN: ILHEXI. DOI: https://doi.org/10.35634/vm220303.Дурдиев Д. К., Сафаров Ж. Ш. Задача определения памяти среды со слабо горизонтальной неоднородностью // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2022. Т. 32, №3. С. 383–402. EDN: ILHEXI. DOI: https://doi.org/10.35634/vm220303.Durdiev D. K., Totieva Z. D. About global solvability of a multidimensional inverse problem for an equation with memory /, Siberian Math. J., 2021, vol. 62, no. 2, pp. 215–229. EDN: VRTEUJ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0037446621020038.Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. О глобальной разрешимости одной многомерной обратной задачи для уравнения с памятью // Сиб. матем. журн., 2021. Т. 62, №2. С. 269–285. EDN: IAZZFL. DOI: https://doi.org/10.33048/smzh.2021.62.203.Alekseev A. S., Dobrinskii V. I. Some questions of practical use of inverse dynamical problems of seismics, In: Matematicheskie problemy geofiziki [Mathematical Problems of Geophysics]. Iss. 6, no. 2. Novosibirsk, Computing Center of the USSR Academy of Sciences, 1975, pp. 7–53 (In Russian).Алексеев А. С., Добринский В. И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики / Математические проблемы геофизики. Вып. 6, ч. 2. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. С. 7–53.Janno J., von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in heat flow, J. Inverse Ill-Posed Probl., 1996, vol. 4, no. 1, pp. 39–66. DOI: https://doi.org/10.1515/jiip.1996.4.1.39.Janno J., von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in heat flow // J. Inverse Ill-Posed Probl., 1996. vol. 4, no. 1. pp. 39–66. DOI: https://doi.org/10.1515/jiip.1996.4.1.39.Durdiev D., Shishkina E., Sitnik S. The explicit formula for solution of anomalous diffusion equation in the multi-dimensional space, Lobachevskii J. Math., 2021, vol. 42, no. 6, pp. 1264–1273, arXiv: 2009.10594 [math.CA]. DOI: https://doi.org/10.1134/S199508022106007X.Durdiev D., Shishkina E., Sitnik S. The explicit formula for solution of anomalous diffusion equation in the multi-dimensional space // Lobachevskii J. Math., 2021. vol. 42, no. 6. pp. 1264–1273, arXiv: 2009.10594 [math.CA]. DOI: https://doi.org/10.1134/S199508022106007X.Kolmogorov A. N., Fomin S. V Elementy teorii funktsii i funktsional’nogo analiza [Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis]. Moscow, Nauka, 1976, 542 pp. (In Russian)Коломогоров А. Н., Фомин С. В Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 542 с.Vladimirov V. S. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1988, 512 pp. (In Russian)Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512 с.Romanov V. G. Obratnye zadachi matematicheskoi fiziki [Inverse Problem for Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1984, 310 pp. (In Russian)Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 310 с.