Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences1991-86152310-7081Samara State Technical University2043010.14498/vsgtu1386Research ArticleOn solutions of elliptic equations with nonpower nonlinearities in unbounded domainsKozhevnikovaLarisa M(Dr. Phys. & Math. Sci.; kosul@gmail.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of Mathematical Analysiskosul@gmail.ruKhadzhiAnna ASenior Teacher, Dept. of Scientific Disciplinesanna_5955@mail.ruSterlitamak Branch of Bashkir State University15032015191446214022020Copyright © 2015, Samara State Technical University2015The paper highlighted some class of anisotropic elliptic equations of second order in divergence form with younger members with nonpower nonlinearities $$ \sum\limits_{\alpha=1}^{n}(a_{\alpha}({\bf x},u,\nabla u))_{x_{\alpha}}-a_0({\bf x},u,\nabla u)=0. $$ The condition of total monotony is imposed on the Caratheodory functions included in the equation. Restrictions on the growth of the functions are formulated in terms of a special class of convex functions. These requirements provide limited, coercive, monotone and semicontinuous corresponding elliptic operator. For the considered equations with nonpower nonlinearities the qualitative properties of solutions of the Dirichlet problem in unbounded domains $ \Omega \subset \mathbb {R} _n, \; n \geq 2$ are studied. The existence and uniqueness of generalized solutions in anisotropic Sobolev-Orlicz spaces are proved. Moreover, for arbitrary unbounded domains, the Embedding theorems for anisotropic Sobolev-Orlicz spaces are generalized. It makes possible to prove the global boundedness of solutions of the Dirichlet problem. The original geometric characteristic for unbounded domains along the selected axis is used. In terms of the characteristic the exponential estimate for the rate of decrease at infinity of solutions of the problem with finite data is set.anisotropic elliptic equationsSobolev-Orlicz spacenonpower nonlinearitythe existence of solutionunbounded domainsboundedness of solutionsdecay of solutionанизотропное эллиптическое уравнениенестепенные нелинейностипространство Соболева-Орличасуществование решениянеограниченная областьограниченность решенияубывание решения[Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 199-200.][Вишик М. И. О разрешимости первой краевой задачи для квазилинейных уравнений с быстрорастущими коэффициентами в классах Орлича // ДАН СССР, 1963. Т. 151, № 4. С. 758-761.][Дубинский Ю. А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сб., 1965. Т. 67(109), № 4. С. 609-642.][Donaldson T. Nonlinear elliptic boundary value problems in Orlicz-Sobolev spaces // J. Diff. Eq., 1971. vol. 10, no. 3. pp. 507-528. doi: 10.1016/0022-0396(71)90009-x.][Климов В. С. Краевые задачи в пространствах Орлича-Соболева / Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: Ярославский государственный университет, 1976. С. 75-93.][De Giorgi E. Sulla differenziabilitàe l'analiticità delle estremali degli integrali multipliregolari // Mem. Acad. Sci. Torino, Serie III, 1957. vol. 3. pp. 25-43 (In Italian)][De Giorgi E. On the differentiability and the analiticity of extremals of regular multiple integrals / Selected papers; eds. Luigi Ambrosio, Gianni Dal Maso, Marco Forti, Mario Miranda, and Sergio Spagnolo. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2006. pp. 149-166.][Moser J. A new proof of de Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math., 1960. vol. 13, no. 3. pp. 457-468. doi: 10.1002/cpa.3160130308.][Кружков С. Н. Априорные оценки и некоторые свойства решений эллиптических и параболических уравнений // Матем. сб., 1964. Т. 65(107), № 4. С. 522-570.][Serrin J. Local behavior of solutions of quasi-linear equations // Acta Math., 1964. vol. 111, no. 1. pp. 247-302. doi: 10.1007/BF02391014.][Ландис Е. М. Новое доказательство теоремы E. Де Джорджи / Тр. ММО, Т. 16. М.: Издательство Московского университета, 1967. С. 319-328.][Колодий И. М. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. унив., Сер. 1., 1970. № 5. С. 45-52.][Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. Ограниченность решений анизотропных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн., 2014. Т. 6, № 2. С. 67-77.][Королев А. Г. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений с нестепенными нелинеиностями // Матем. сб., 1989. Т. 180, № 1. С. 78-100.][Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 578 с.][Климов В. С. Теоремы вложения для пространств Орлича и их приложения к краевым задачам // Сиб. матем. журн., 1972. Т. 13. С. 334-348.][Королев А. Г. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями // Матем. заметки, 1987. Т. 42, № 2. С. 244-255.][Олейник О. А., Иосифьян Г. А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб., 1980. Т. 112(154), № 4(8). С. 588-610.][Кондратьев В. А., Копачек И., Леквеишвили Д. М., Олейник О. А. Неулучшаемые оценки в пространствах Гельдера и точный принцип Сен-Венана для решений бигармонического уравнения / Современные проблемы математики. Дифференциальные уравнения, математический анализ и их приложения: Сборник статей. Посвящается академику Льву Семеновичу Понтрягину к его семидесятипятилетию / Тр. МИАН СССР, Т. 166, 1984. С. 91-106.][Кожевникова Л. М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб., 2008. Т. 199, № 8. С. 61-94. doi: 10.4213/sm4235.][Гилимшина В. Ф., Мукминов Ф. Х. Об убывании решения неравномерно эллиптического уравнения // Изв. РАН. Сер. матем., 2011. Т. 75, № 1. С. 53-70. doi: 10.4213/im3292.][Кожевникова Л. М., Каримов Р. Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн., 2010. Т. 2, № 2. С. 53-66.][Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. Решения анизотопных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 1(30). С. 90-96. doi: 10.14498/vsgtu1163.][Рутицкий Я. Б., Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматлит, 1958. 587 с.][Королев А. Г. Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича // Вестн. Моск. унив., Сер. 1., 1983. № 1. С. 32-37.][Лионс Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 596 с.][Андриянова Э. Р. Оценки скорости убывания решения параболического уравнения с нестепенными нелинейностями // Уфимск. матем. журн., 2014. Т. 6, № 2. С. 3-25.]