(Cand. Phys. & Math. Sci.; palvelev@mi.ras.ru), Associate Professor, Dept. of Theory of Functions and Functional Analysis.
(к.ф.-м.н.; palvelev@mi.ras.ru), доцент, каф. теории функций и функционального анализа
Abelian Higgs models on Riemann surfaces are natural analogues of the (2 + 1)-dimensional Abelian Higgs model on the plane. The latter model arises in theory of superconductivity. For this model the following result was previously obtained: if two vortices (zeros of the Higgs field) move slowly, then after the head-on collision they scatter under the right angle, and if N vortices collide, then after the symmetric head-on collision they scatter on the angle π/N . In the critical case (when the parameter of the model is equal to 1) these results can be obtained with the help of so-called adiabatic principle. This principle allows to consider geodesics of so-called kinetic metric (metric that is given by kinetic energy functional) on the moduli space of static solutions as approximations to dynamical solutions of the model with small kinetic energy. Recently, the adiabatic principle was rigorously justified in the (2 + 1)-dimensional Abelian Higgs model on the plane in the critical case. Although the metric can not be written in explicit form, one can prove that required geodesics (describing the π/N scattering) exist, using smoothness of the metric in coordinates that are given by symmetric functions on positions of vortices and symmetry properties of the kinetic metric. A local analogue of the result on π/N scattering in (2+1)-dimensional Abelian Higgs model on the plane can be deduced only from smoothness property of the kinetic metric. One can suppose that this local version of the result on π/N scattering can be generalized to Abelian Higgs models on Riemann surfaces. It is proved in this paper that one can find geodesics of the kinetic metric that describe local π/N scattering after the symmetric collision in models on Riemann surfaces, using the fact that the kinetic metric is smooth in symmetric coordinates in the neihbourhood of a point of vortex collision. This smoothness property is established in the case of compact Riemann surfaces. With the help of adiabatic principle one could obtain local π/N scattering after the symmetric collision for dynamical models on compact Riemann surfaces. Unfortunately, the adiabatic principle in models on compact Riemann surfaces needs the proof yet, until now it is only a heuristic statement.
Абелевы модели Хиггса на римановых поверхностях являются естественным обобщением абелевой (2 + 1)-мерной модели Хиггса на плоскости, возникающей в теории сверхпроводимости. В модели на плоскости ранее было доказано, что при «медленном» движении двух вихрей (нулей поля Хиггса) после лобового столкновения они испытывают рассеяние под прямым углом, а при симметричном столкновении N вихрей под равными углами происходит рассеяние на угол π/N . В критическом случае (при значении параметра модели, равном единице) этот результат можно получить с помощью так называемого адиабатического принципа, который утверждает, что динамические решения модели с малой кинетической энергией могут быть приближены геодезическими на пространстве модулей статических решений в метрике, задаваемой кинетической энергией (кинетической метрике). Адиабатический принцип в абелевой (2+1)-мерной модели Хиггса в критическом случае был недавно строго обоснован. Хотя явный вид метрики не удается выписать даже в случае двух вихрей, наличие требуемых геодезических удается установить, пользуясь гладкостью метрики в координатах, задаваемых симметрическими функциями положений вихрей, и свойствами симметрии метрики. Локальный аналог этого результата можно доказать, пользуясь только гладкостью кинетической метрики. Это позволяет предположить, что локальный вариант утверждения о рассеянии N вихрей на угол π/N при симметричном столкновении переносится на случай моделей на римановых поверхностях. В работе показано, что наличие геодезических кинетической метрики, описывающих требуемое поведение вихрей, в моделях на компактных римановых поверхностях следует из гладкости кинетической метрики в симметрических координатах в окрестности точек столкновения всех вихрей. Указанное свойство гладкости доказано в случае компактных римановых поверхностей. Применив адиабатический принцип для моделей на римановых поверхностях, можно получить утверждение о локальном рассеянии медленно движущихся вихрей в динамических моделях на компактных римановых поверхностях. К сожалению, этот адиабатический принцип еще нуждается в строгом обосновании.