Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences1991-86152310-7081Samara State Technical University2047710.14498/vsgtu1469Research ArticleOn problems with displacement in boundary conditions for hyperbolic equationUtkinaElena A(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematicseutkina1@yandex.ruKazan (Volga Region) Federal University15032016201657314022020Copyright © 2016, Samara State Technical University2016We consider three problems for hyperbolic equation on a plane in the characteristic domain. In these problems at least one of the conditions of the Goursat problem is replaced by nonlocal condition on the relevant characteristic. Non-local conditions are the linear combinations of the normal derivatives at points on opposite characteristics. In case of replacement of one condition we solve the problem by reduction to the Goursat problem for which it exists and is unique. To find the unknown Goursat condition author receives the integral equation, rewrite it in operational form and finds its unique solvability cases. To prove the unique solvability of the equation, the author shows the continuous linear operator and the fact, that some degree of the resulting operator is a contraction mapping. It is known that in this case the required Goursat condition can be written as Neumann series. We considered in detail only one of the tasks, but for both the unique solvability theorems are formulated. If the two conditions are changed, the uniqueness of the solution on the assumption that it exists, is proved by the method of a priori estimates. For this purpose, the inner product and the norm in $L_2$ are used. As a result, the conditions were obtained for the coefficients of a hyperbolic equation that ensure the uniqueness of the solution. An example is given, confirming that these conditions are essential. Namely, constructed an equation whose coefficients do not satisfy the conditions of the last theorem, given the conditions on the characteristics and nontrivial solution is built.hyperbolic equationnonlocal conditionsthe problem with displacementгиперболическое уравнениенелокальные условиязадача со смещениями[Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / Краевые задачи теории аналитических функций / Учен. зап. Казан. ун-та., Т. 122. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1962. С. 3-16.][Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1969. Т. 5, № 1. С. 44-59.][Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР, 1969. Т. 185, № 4. С. 739-740.][Скубачевский А. Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач // Матем. сб., 1982. Т. 117(159), № 4. С. 548-558.][Ильин В. А., Моисеев Е. И. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках // Матем. моделирование, 1990. Т. 2, № 8. С. 139-156.][Пулькина Л. С. Нелокальная задача для нагруженного гиперболического уравнения / Дифференциальные уравнения и динамические системы: Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко / Тр. МИАН, Т. 236. М.: Наука, 2002. С. 298-303.][Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР, 1987. Т. 297, № 3. С. 547-552.][Керефов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения, 1979. Т. 15, № 1. С. 74-78.][Уткина Е. А. Об одной задаче со смещениями в граничных условиях // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2011. № 8(89). С. 102-107.][Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское матем. общество, 2001. 226 с.][Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Ж. Вычисл. матем. и матем. физ., 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.][Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.][Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.]