Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences1991-86152310-7081Samara State Technical University2049610.14498/vsgtu1487Research ArticleOn one nonlocal problem for the Euler-Darboux equationRodionovaIrina N(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics-DolgopolovMikhail V(Cand. Phys. & Math. Sci.; volopoglodahsim@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of General and Theoretical Physics; Lab. of Mathematical Physics.volopoglodahsim@mail.ruDolgopolovVyacheslav M(Cand. Phys. & Math. Sci.; paskal1940@mail.ru), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informaticspaskal1940@mail.ruSamara National Research University1506201620225927514022020Copyright © 2016, Samara State Technical University2016The boundary value problem with displacement is determined for the generalized Euler-Darboux equation in the field representing the first quadrant. This problem, unlike previous productions, specifies two conditions, connect integrals and fractional derivatives from the values of the sought solution in the boundary points. On the line of singularity of the coefficients of the equations the matching conditions continuous with respect to the solution and its normal derivation are considered. The authors took for the basis of solving the earlier obtained by themselves the Cauchy problem solution of the special class due to the integral representations of one of the specified functions acquired simple form both for positive and for negative values of Euler-Darboux equation parameter. The nonlocal problem set by the authors is reduced to the system of Volterra integral equations with unpacked operators, the only solution which is given explicitly in the corresponding class of functions. From the above the uniqueness of the solution of nonlocal problem follows. The existence is proved by the direct verification. This reasoning allowed us to obtain the solution of nonlocal problem in the explicit form both for the positive and for the negative values of Euler-Darboux equation parameter.integral equations systemboundary value problempartial differential equationсистема интегральных уравненийкраевая задачадифференциальное уравнение в частных производных[Долгополов В. М., Долгополов М. В., Родионова И. Н. Две задачи для гиперболического уравнения в трёхмерном пространстве // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2008. Т. 67, № 8-1. С. 95-107.][Долгополов В. М., Долгополов М. В., Родионова И. Н. Построение специальных классов решений некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа // Докл. РАН, 2009. Т. 429, № 5. С. 583-589.][Долгополов М. В., Родионова И. Н. Задачи для уравнений гиперболического типа на плоскости и в трехмерном пространстве с условиями сопряжения на характеристике // Изв. РАН. Сер. матем., 2011. Т. 75, № 4. С. 21-28. doi: 10.4213/im4117.][Долгополов В. М., Родионова И. Н. Экстремальные свойства решений специальных классов одного уравнения гиперболического типа // Матем. заметки, 2012. Т. 92, № 4. С. 533-540. doi: 10.4213/mzm8900.][Dolgopolov M. V., Dolgopolov V. M., Rodionova I. N. Two Problems Involving Equations of Hyperbolic Type of the Third Order in the Three-Dimensional Space // Advancement and Development in Mathematical Sciences, 2012. vol. 3, no. 1-2. pp. 25-38.][Родионова И. Н., Долгополов В. М. Аналог задачи ∆1 для гиперболического уравнения второго порядка в трехмерном евклидовом пространстве // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. № 4(19). С. 697-709. doi: 10.14498/vsgtu1436.][Нахушев А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН ССССР, 1969. Т. 187, № 4. С. 736-739.][Нахушев А. М. О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Диффер. уравн., 1969. Т. 5, № 1. С. 44-59.][Нахушева З. А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений. Нальчик: Кабардино-Балкарский научный центр РАН, 2012. 196 с.][Андреев А. А., Рябов А. В. Некоторые краевые задачи типа Бицадзе-Самарского для обобщённого уравнения Трикоми в неограниченных областях / Дифференциальные уравнения и их приложения: Межвуз. сб. трудов по ф.-м. наукам, Выпуск 2. Куйбышев: КПтИ, 1975. С. 9-15.][Андреев А. А., Рябов А. В. О некоторых краевых задачах для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области / Дифференциальные уравнения и их приложения: Межвуз. сб. трудов по ф.-м. наукам, Выпуск 2. Куйбышев: КПтИ, 1975. С. 15-21.][Волкодавов В. Ф., Репин О. А. Решение краевой задачи со смещением для гиперболического уравнения / Дифференциальные уравнения и их приложения: Межвуз. сб. трудов по ф.-м. наукам, Выпуск 2. Куйбышев: КПтИ, 1975. С. 44-49.][Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. О новой задаче со смещением в неограниченной области для уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами / Математическая физика: Межвуз. (межведомст.) тематический сб. научн. трудов. Куйбышев: КПтИ, 1979. С. 3-9.][Кириленко С. В., Енукова Т. М. О решении одной краевой задачи Σab со смещением в неограниченной области для уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами / Математическая физика: Межвуз. (межведомст.) тематический сб. научн. трудов. Куйбышев: КПтИ, 1979. С. 12-24.][Волкодавов В. Ф., Мельникова А. И. Задача с нелокальными краевыми условиями для вырождающегося гиперболического уравнения / Дифференциальные уравнения (Математическая физика): Межвуз. сб. научн. трудов. Т. 248. Куйбышев, 1981. С. 24-31.][Волкодавов В. Ф., Ломоносова Т. Б. Обобщённая задача Гурса для уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами / Дифференциальные уравнения с частными производными: Межвуз. сб. научн. трудов. Куйбышев, 1983. С. 3-8.][Волкодавов В. Ф., Родионова И. Н. Решение системы интегральных уравнений Вольтерра первого рода с одной специальной функцией в ядрах // Диффер. уравн., 1990. Т. 26, № 5. С. 903-904.][Волкодавов В. Ф., Родионова И. Н. Формулы обращения некоторых двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Изв. вузов. Матем., 1998. № 9. С. 30-32.][Андреев А. А., Огородников Е. Н. Некоторые краевые задачи с условиями типа Бицадзе-Самарского для системы уравнений с оператором Бицадзе-Лыкова / Математическое моделирование и краевые задачи: Труды девятой межвузовской конференции, Часть 3. Самара: СамГТУ, 1999. С. 3-11.][Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Самара: Саратовский ун-т, Самарский филиал, 1992. 164 с.][Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.][Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Диффер. уравн., 2002. Т. 38, № 10. С. 1412-1417.][Репин О. А., Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Диффер. уравн., 2012. Т. 48, № 8. С. 1140-1149.][Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Изв. вузов. Матем., 2013. № 8. С. 57-65.][Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача с дробными производными для уравнения смешанного типа // Изв. вузов. Матем., 2014. № 8. С. 79-85.][Репин О. А., Кумыкова С. К. Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4(37). С. 22-32. doi: 10.14498/vsgtu1348.][Андреев А. А., Огородников Е. Н. Применение матричных интегро-дифференциальных операторов в постановке и решении нелокальных краевых задач для систем уравнений гиперболического типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2001. № 12. С. 45-53. doi: 10.14498/vsgtu61.][Андреев А. А., Огородников Е. Н. Некоторые локальные и нелокальные аналоги задачи Коши-Гурса для системы уравнений типа Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2002. № 16. С. 19-35. doi: 10.14498/vsgtu91.]