Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences1991-86152310-7081Samara State Technical University2058010.14498/vsgtu1543Research ArticleAnalysis of properties of creep curves generated by the linear viscoelasticity theory under arbitrary loading programs at initial stageKhokhlovAndrew VCand. Techn. Sci.; Senior Researcher; Lab. of Elasticity and Plasticity; Institute of Mechanicsandrey-khokhlov@ya.ruLomonosov Moscow State University15032018221659514022020Copyright © 2018, Samara State Technical University2018The general equation of creep curves family generated by the linear integral constitutive relation of viscoelasticity (with an arbitrary creep compliance function) under arbitrary non-decreasing stress histories at initial stage of loading up to a given stress level is derived and analyzed. Basic qualitative properties of the theoretic creep curves and their dependence on a rise time magnitude, on a loading program shape at initial stage and on creep function characteristics are studied analytically in the uni-axial case assuming creep compliance is an increasing convex-up function of time. Monotonicity and convexity intervals of creep curves, their asymptotic behavior at infinity and conditions for convergence to zero of the deviation from the creep curve under instantaneous (step) loading to a constant stress with time tending to infinity are examined. Two-sided bounds have been obtained for such creep curves and for deviation from the creep curve under step loading and for differences of creep curves with different initial programs of loading up to a given stress level. The uniform convergence of the theoretic creep curves family (with fixed loading law at initial stage) to the creep curve under step loading with the rise time tending to zero has been proved. The analysis revealed the importance of convexity restriction imposed on a creep compliance and the key role of its derivative limit value at infinity. It is proved that the derivative limit value equality to zero is the criterion for memory fading. General properties and peculiarities of the theoretic creep curves and their dependence on loading program shape at initial stage are illustrated by the examination of the classical rheological models (consisting of two or three spring and dashpot elements), fractional models and hybrid models (with piecewise creep function). The main classes of linear models are considered and specific features of their theoretic creep curves are marked. The results of the analysis are helpful to examine the linear viscoelasticity theory abilities to provide an adequate description of basic rheological phenomena related to creep and to indicate the field of applicability or non-applicability of the linear theory considering creep test data for a given material. The results constitutes the analytical foundation for obtaining precise two-sided bounds and correction formulas for creep compliance via theoretic or experimental creep curves with initial stage of loading (ramp loading, in particular) and for development of identification, fitting and verification techniques.linear viscoelasticitycreep compliancetheoretic creep curvesinitial loading stage influenceloading program shaperise timeramp loadingtwo-sided boundsdeviation asymptoticsconvergencefading memoryregular and singular modelsfractional modelsлинейная вязкоупругостьфункция ползучестикривые ползучестивлияние начальной стадии нагруженияформа начальной стадии нагружениядлительность начальной стадиинагружение с постоянной скоростьюдвусторонние оценкиасимптотика отклонениясходимостьзатухание памятирегулярные и сингулярные моделимодели с дробной производной[Колтунов М. А. Определение характеристик упруго-вязких сред по данным квазистатических опытов // Механика полимеров, 1967. № 5. С. 803-811.][Zapas L. J., Phillips J. C. Simple shearing flows in polyisobutylene solutions // J. Res. Nat. Bur. Stds. A, 1971. vol. 75, no. 1. pp. 33-41, Retrieved from https://archive.org/details/jresv75An1p33 (August 11, 2017).][Findley W. N., Lai J. S., Onaran K. Creep And Relaxation Of Nonlinear Viscoelastic Materials. Amsterdam: North Holland, 1976. xii+368 pp.][Уржумцев Ю. С., Майборода В. П. Технические средства и методы определения прочностных характеристик конструкций из полимеров. М.: Машиностроение, 1984. 168 с.][Tschoegl N. W. The Phenomenological Theory of Linear Viscoelastic Behavior. Berlin: Springer, 1989. xxv+769 pp.][Drozdov A. D. Mechanics of viscoelastic solids. New York: Wiley, 1998. 484 pp.][Lee S., Knauss W. G. A note on the determination of relaxation and creep data from ramp tests // Mech. Time-Depend. Mater., 2000. vol. 4, no. 1. pp. 1-7. doi: 10.1023/A:1009827622426.][Адамов А. А., Матвеенко В. П., Труфанов Н. А., Шардаков И. Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. 411 с.][Lu H., Wang B., Ma J., Huang G., Viswanathan H. Measurement of Creep Compliance of Solid Polymers by Nanoindentation // Mech. Time-Depend. Mater., 2003. vol. 7, no. 3-4. pp. 189-207. doi: 10.1023/B:MTDM.0000007217.07156.9b.][Oyen M. L. Spherical indentation creep following ramp loading // J. Mater. Res., 2005. vol. 20, no. 8. pp. 2094-2100. doi: 10.1557/JMR.2005.0259.][Oyen M.L. Sensitivity of polymer nanoindentation creep properties to experimental variables // Acta Mater., 2007. vol. 55, no. 11. pp. 3633-3639. doi: 10.1016/j.actamat.2006.12.031.][Хохлов А. В. Определяющее соотношение для реологических процессов: свойства теоретических кривых ползучести и моделирование затухания памяти // Изв. РАН. МТТ, 2007. № 2. С. 147-166.][Khan F. Loading history effects on the creep and relaxation behavior of thermoplastics // J. Eng. Mater. Technol., 2006. vol. 128, no. 4. pp. 564-571. doi: 10.1115/1.2345448.][Sorvari J., Malinen M., Hämäläinen J. Finite ramp time correction method for non-linear viscoelastic material model // Int. J. Non-Linear Mech., 2006. vol. 41, no. 9. pp. 1050-1056. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2006.10.015.][Sorvari J., Malinen M. On the direct estimation of creep and relaxation functions // Mech. Time-Depend. Mater., 2007. vol. 11, no. 2. pp. 143-157. doi: 10.1007/s11043-007-9038-1.][Duenwald S. E, Vanderby R., Lakes R. S. Constitutive equations for ligament and other soft tissue: evaluation by experiment // Acta Mech., 2009. vol. 205, no. 1-4. pp. 23-33. doi: 10.1007/s00707-009-0161-8.][Lakes R. S. Viscoelastic Materials. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009. xvi+462 pp. doi: 10.1017/CBO9780511626722.][Choi S., Cha S. W., Oh B. H. Identification of viscoelastic behavior for early-age concrete based on measured strain and stress histories // Mater. Struct., 2010. vol. 43, no. 8. pp. 1161-1175. doi: 10.1617/s11527-009-9574-z.][Di Paola M, Fiore V., Pinnola F., Valenza A. On the influence of the initial ramp for a correct definition of the parameters of fractional viscoelastic materials // Mech. Mater., 2014. vol. 69, no. 1. pp. 63-70. doi: 10.1016/j.mechmat.2013.09.017.][Fernandes V. A., De Focatiis D. S. The role of deformation history on stress relaxation and stress memory of filled rubber // Polymer Testing, 2014. vol. 40. pp. 124-132. doi: 10.1016/j.polymertesting.2014.08.018.][Zhang H., Lamnawar K., Maazouz A., Maia J. M. Experimental considerations on the step shear strain in polymer melts: sources of error and windows of confidence // Rheol. Acta, 2015. vol. 54, no. 2. pp. 121-138. doi: 10.1007/s00397-014-0814-y.][Jalocha D., Constantinescu A., Neviere R. Revisiting the identification of generalized Maxwell models from experimental results // Int. J. Solids Struct., 2015. vol. 67-68. pp. 169-181. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2015.04.018.][Хохлов А. В. Свойства семейств кривых ползучести для нагружения с постоянной скоростью на начальной стадии, порождаемых линейным соотношением вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности, 2016. Т. 78, № 2. С. 164-176.][Хохлов А. В. Идентификация нелинейной модели упруговязкопластичности типа Максвелла по кривым ползучести с начальной стадией нагружения. Часть 1. Математический фундамент // Деформация и разрушение материалов, 2017. № 9. С. 2-9.][Хохлов А. В. Двусторонние оценки для функции релаксации линейной теории наследственности через кривые релаксации при ramp-деформировании и методики её идентификации // Изв. РАН. МТТ, 2018. № 3. С. 81-104. doi: 10.7868/S0572329918030108.][Работнов Ю. Н. Некоторые вопросы теории ползучести // Вестник МГУ, 1948. № 10. С. 81-91.][Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.][Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.][Fung Y. C. Biomechanics. Mechanical Properties of Living Tissues. New York: SpringerVerlag, 1993. 568 pp.][Работнов Ю. Н., Паперник Л. Х., Степанычев Е. И. Приложение нелинейной теории наследственности к описанию временных эффектов в полимерных материалах // Механика полимеров, 1971. № 1. С. 74-87.][Хохлов А. В. Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатом нагружении, порождаемых нелинейным соотношением Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2017. № 3. С. 93-123. doi: 10.18698/1812-3368-2017-3-93-123.][Хохлов А. В. Качественный анализ общих свойств теоретических кривых линейного определяющего соотношения вязкоупругости // Наука и образование, 2016. № 5. С. 187-245. doi: 10.7463/0516.0840650.][Хохлов А. В. Свойства произведения функции ползучести и функции релаксации в линейной вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности, 2014. Т. 76, № 4. С. 343-356, режим доступа: http://ppp.mech.unn.ru/ru/nomera?anum=283 (дата обращения: 11.08.2017).][Хохлов А. В. Общие свойства диаграмм деформирования линейных моделей вязкоупругости при постоянной скорости деформации // Проблемы прочности и пластичности, 2015. Т. 77, № 1. С. 60-74, режим доступа: http://ppp.mech.unn.ru/ru/nomera?anum=296 (дата обращения: 11.08.2017).][Хохлов А. В. Кривые длительной прочности, порождаемые линейной теорией вязкоупругости в сочетании с критериями разрушения, учитывающими историю деформирования // Труды МАИ, 2016. № 91. С. 1-32, режим доступа: http://trudymai.ru/published.php?ID=75559 (дата обращения: 11.08.2017).][Nutting P. G. A new general law of deformation // J. Frankline Inst., 1921. vol. 191, no. 5. pp. 679-685. doi: 10.1016/S0016-0032(21)90171-6.][Gemant A. On fractional differentials // Phil. Mag., Ser. 7, 1938. vol. 25, no. 168. pp. 540-549. doi: 10.1080/14786443808562036.][Nutting P. A general stress-strain-time formula // J. Frankline Inst., 1943. vol. 235, no. 5. pp. 513-524. doi: 10.1016/S0016-0032(43)91483-8.][Scott-Blair G. W., Coppen F. The classification of rheological properties of industrial materials in the light of power-law relations between stress, strain, and time // J. Sci. Instrum., 1942. vol. 19, no. 6. pp. 88-93. doi: 10.1088/0950-7671/19/6/303.][Scott-Blair G. W.,Caffyn J. Significance of power-law relations in rheology // Nature, 1945. vol. 155. pp. 171-172. doi: 10.1038/155171c0.][Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ, 1948. Т. 12, № 3. С. 251-260.][Слонимский Г. Л. О законе деформации высокоэластичных полимерных тел // Докл. АН СССР, 1961. Т. 140, № 2. С. 343-346.][Мешков С. И. Интегральное представление дробно-экспоненциальных функций и их применение к динамическим задачам линейной вязко-упругости // ПМТФ, 1970. Т. 91, № 1. С. 103-110, режим доступа: http://www.sibran.ru/journals/issue.php?ID=157447&ARTICLE_ID=157473 (дата обращения: 11.08.2017).][Meshkov S. I., Pachevskaya G. N., Postnikov V. S., Rossikhin U. A. Integral representations of εγ -functions and their application to problems in linear viscoelasticity // Int. J. Eng. Sci., 1971. vol. 9, no. 4. pp. 387-398. doi: 10.1016/0020-7225(71)90059-0.][Caputo M., Mainardi F. Linear models of dissipation in anelastic solids // Riv. Nuovo Cimento, 1971. vol. 1, no. 2. pp. 161-198. doi: 10.1007/BF02820620.][Koeller R. Application of fractional calculus to the theory of viscoelasticity // J. Appl. Mech., 1984. vol. 51, no. 2. pp. 299-307. doi: 10.1115/1.3167616.][Koeller R. Polynomial operators, Stieltjes convolution, and fractional calculus in hereditary mechanics // Acta Mech., 1986. vol. 58, no. 3-4. pp. 251-264. doi: 10.1007/BF01176603.][Bagley R. L., Torvik P. J. On the fractional calculus model of viscoelastic behavior // J. Rheology, 1986. vol. 30, no. 1. pp. 133-155. doi: 10.1122/1.549887.][Bagley R. L. Power law and fractional calculus model of viscoelasticity // AIAA J., 1989. vol. 27, no. 10. pp. 1412-1417. doi: 10.2514/3.10279.][Friedrich Chr. Mechanical stress relaxation in polymers: fractional integral model versus fractional differential model // J. Non-Newtonian Fluid Mech., 1993. vol. 46, no. 2-3. pp. 307-314. doi: 10.1016/0377-0257(93)85052-C.][Podlubny I. Fractional differential equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications / Mathematics in Science and Engineering. vol. 198 San Diego: Academic Press, 1999. xxiv+340 pp. doi: 10.1016/s0076-5392(99)x8001-5.][Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. vol. 204. Amsterdam: Elsevier, 2006. xx+523 pp. doi: 10.1016/s0304-0208(06)x8001-5.][Rossikhin Yu., Shitikova M. Comparative analysis of viscoelastic models involving fractional derivatives of different orders // Fract. Calc. Appl. Anal, 2007. vol. 10, no. 2. pp. 111-121, Retrieved from https://eudml.org/doc/11320 (August 11, 2017).][Rossikhin Yu., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: Novel trends and recent results // Appl. Mech. Rev, 2010. vol. 63, no. 1, 010801. 52 pp. doi: 10.1115/1.4000563.][Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models. Hackensack: World Scientific, 2010. xx+347 pp. doi: 10.1142/9781848163300.][Sasso M., Palmieri G., Amodio G. Application of fractional derivative models in linear viscoelastic problems // Mech. Time-Depend. Mater., 2011. vol. 15, no. 4. pp. 367-387. doi: 10.1007/s11043-011-9153-x.][Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Реологические модели вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 1 (22). С. 255-268. doi: 10.14498/vsgtu932.][Katicha S. W., Apeagyei A. K., Flintsch G. W, Loulizi A. Universal linear viscoelastic approximation property of fractional viscoelastic models with application to asphalt concrete // Mech. Time-Depend. Mater., 2014. vol. 18, no. 3. pp. 555-571. doi: 10.1007/s11043-014-9241-9.][Pirrotta A., Cutrona S., Di Lorenzo S. Fractional visco-elastic Timoshenko beam from elastic Euler-Bernoulli beam // Acta Mech., 2015. vol. 226, no. 1. pp. 179-189. doi: 10.1007/s00707-014-1144-y.][Огородников Е. Н., Радченко В. П., Унгарова Л. Г. Математическое моделирование наследственно упругого деформируемого тела на основе структурных моделей и аппарата дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, № 1. С. 167-194. doi: 10.14498/vsgtu1456.][Christensen R. Theory of Viscoelasticity. An Introduction. New York: Academic Press, 1982. xii+364 pp. doi: 10.1016/b978-0-12-174252-2.x5001-7.][Drozdov A. D. Modelling an anomalous stress relaxation in glassy polymers (the Kitagawa effect) // Math. Comput. Model, 1998. vol. 27, no. 12. pp. 45-67. doi: 10.1016/S0895-7177(98)00072-7.][Löwe H., Müller P., Zippelius A. Dynamics of gelling liquids: A short survey (Review) //J. Phys. Cond. Matter, 2005. vol. 17, no. 20. pp. S1659-S1680. doi: 10.1088/0953-8984/17/20/002.][Ghauri I. M., Afzal N., Anwar M., Siddique S. A. Anomalous stress relaxation behavior of polycrystalline aluminum at low temperature // Int. J. Mod. Phys. B, 2007. vol. 21, no. 10. pp. 1745-1754. doi: 10.1142/S0217979207036977.][Drozdov A. D. Time-dependent response of polypropylene after strain reversal // Int. J. Solids Struct., 2010. vol. 47, no. 24. pp. 3221-3233. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2010.08.001.][Khan F., Yeakle C. Experimental investigation and modeling of non-monotonic creep behavior in polymers // Int. J. Plasticity, 2011. vol. 27, no. 4. pp. 512-521. doi: 10.1016/j.ijplas.2010.06.007.][Khan F., Yeakle C., Gomaa S. Characterization of the mechanical properties of a new grade of ultra high molecular weight polyethylene and modeling with the viscoplasticity based on overstress // J. Mech. Behav. Biomed. Mater., 2012. vol. 6, no. 2. pp. 174-180. doi: 10.1016/j.jmbbm.2011.10.009.][Drozdov A. D., Dusunceli N. Unusual mechanical response of carbon black-filled thermoplastic elastomers // Mech. Mater., 2014. vol. 69, no. 1. pp. 116-131. doi: 10.1016/j.mechmat.2013.09.019.]