Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences1991-86152310-7081Samara State Technical University2058210.14498/vsgtu1588Research ArticleDynamic stability of deformable elements of designs at supersonic mode of flowVelmisovPetr ADr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Higher Mathematicsvelmisov@ulstu.ruAnkilovAndrey VCand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Higher Mathematicsankil@ulstu.ruUlyanovsk State Technical University150320182219611514022020Copyright © 2018, Samara State Technical University2018The stability of deformable element of a construction in the form of a plate-strip with its flowing by supersonic flow of ideal gas is investigated. Adopted in paper definitions of stability are consistent with the concept of stability of dynamical systems by Lyapunov. For the description of dynamics of an elastic body the nonlinear mathematical model taking into account transverse and longitudinal deformations of the elastic plate is used. The model describes the associated system of partial differential equations for two unknown functions of deformations. Aerodynamic pressure upon a plate is defined according to Ilyushin’s “piston” theory. On the base of the built functional for the case of hinged motionless fixing the ends of the plate the sufficient conditions of stability of the solution of the system of equations describing the length-cross oscillations of the plate are obtained. The estimation of the amplitude of deformations depending on initial conditions is made. On a specific example of one mechanical system the using of the proved theorems and estimates is shown.aerohydroelasticitymathematical modelingdynamic stabilityelastic platesupersonic flow of gassystem of the partial differential equationsfunctionalаэрогидроупругостьматематическое моделированиединамическая устойчивостьупругая пластинасверхзвуковой поток газасистема дифференциальных уравнений в частных производныхфункционал[Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек. M.: Наука, 2006. 247 с.][Vedeneev V. V. Effect of damping on flutter of simply supported and clamped panels at low supersonic speeds // J. Fluids Structs., 2013. vol. 40. pp. 366-372. doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2013.04.004.][Гувернюк С. В., Зубков А. Ф., Симоненко М. М. Экспериментальное исследование сверхзвукового обтекания осесимметричной кольцевой каверны // Инженерно-физический журнал, 2016. Т. 89, № 3. С. 670-679.][Gounko Y. P. Patterns of steady axisymmetric supersonic compression flows with a Mach disk // Shock Waves, 2017. vol. 27, no. 3. pp. 495-506. doi: 10.1007/s00193-016-0700-x.][Кийко И. А., Показеев В. В. К постановке задачи о колебаниях и устойчивости полосы в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН. МЖГ, 2009. № 1. С. 159-166.][Ryakhovskiy A. I., Schmidt A. A. MHD supersonic flow control: OpenFOAM simulation // Proc. ISP RAS, 2016. vol. 28, no. 1. pp. 197-206. doi: 10.15514/ISPRAS-2016-28(1)-11.][Aulisa E., Ibragimov A., Kaya-Cekin E. Y. Fluid structure interaction problem with changing thickness beam and slightly compressible fluid // Discrete & Continuous Dynamical Systems-S, 2014. vol. 7, no. 6. pp. 1133-1148. doi: 10.3934/dcdss.2014.7.1133.][Baghdasaryan G. Y., Mikilyan M. A., Saghoyan R. O. Influence of supersonic gas flow on the amplitude of non-linear oscillations of rectangular plates // Mechanics-Proceedings of National Academy of Sciences of Armenia, 2016. vol. 69, no. 4. pp. 20-40, Retrieved from http://mechanics.asj-oa.am/2168/ on 12 March 2018.][Brehm C., Housman J. A., Kiris C. C. Noise generation mechanisms for a supersonic jet impinging on an inclined plate // J. Fluid Mech., 2016. vol. 797. pp. 802-850. doi: 10.1017/jfm.2016.244.][Filippi A. A., Skews B. W. Supersonic flow fields resulting from axisymmetric internal surface curvature // J. Fluid Mech., 2017. no. 831. pp. 271-288. doi: 10.1017/jfm.2017.643.][Kounadis A. N. Flutter instability and other singularity phenomena in symmetric systems via combination of mass distribution and weak damping // Internat. J. Nonlinear. Mech., 2007. vol. 42, no. 1. pp. 24-35. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2006.11.009.][Willems S., Gülhan A. and Esser B. Shock induced fluid-structure interaction on a flexible wall in supersonic turbulent flow // Progress in Flight Physics, 2013. no. 5. pp. 285-308. doi: 10.1051/eucass/201305285.][Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Исследование динамики и устойчивости упругого элемента конструкции при сверхзвуковом обтекании // Вестник Саратовского государственного технического университета, 2011. № 3(57). Вып. 1. С. 59-67.][Вельмисов П. А., Судаков В. А., Анкилов А. В. Об устойчивости решений начальнокраевой задачи о динамике защитного экрана при взаимодействии со сверхзвуковым потоком газа // Вестник Ульяновского государственного технического университета, 2013. № 3. С. 45-52.][Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Исследование устойчивости вязкоупругого элемента конструкции при сверхзвуковом обтекании // Журнал Средневолжского математического общества, 2016. Т. 18, № 3. С. 80-90.][Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. 504 с.][Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. Ульяновск: УлГТУ, 2009. 220 с.][Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Функционалы Ляпунова в некоторых задачах динамической устойчивости аэроупругих конструкций. Ульяновск: УлГТУ, 2015. 146 с.][Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Казакова Ю. А. Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 2013. № 2(31). С. 120-126. doi: 10.14498/vsgtu1180.][Ankilov A. V., Vel’misov P. A. Stability of solutions to an aerohydroelasticity problem // J. Math. Sci., 2016. vol. 219, no. 1. pp. 14-26. doi: 10.1007/s10958-016-3079-4.]