Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences1991-86152310-7081Samara State Technical University2061710.14498/vsgtu1674Research ArticleDuality equations on a 4-manifold of conformal torsion-free connection and some of their solutions for the zero signatureKrivonosovLeonid Nikolaevich<p>Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor</p>l.n.krivonosov@gmail.comLukyanovVyacheslav Anatolievich<p>Candidate of physico-mathematical sciences, Senior Researcher</p>oxyzt@ya.ruNizhny Novgorod State Technical University1506201923220722814022020Copyright © 2019, Samara State Technical University2019<p>On a 4-manifold of conformal torsion-free connection with zero signature (--++) we found conditions under which the conformal curvature matrix is dual (self-dual or anti-self-dual). These conditions are 5 partial differential equations of the 2nd order on 10 coefficients of the angular metric and 4 partial differential equations of the 1st order, containing also 3 coefficients of external 2-form of charge. (External 2-form of charge is one of the components of the conformal curvature matrix.) Duality equations for a metric of a diagonal type are composed. They form a system of five second-order differential equations on three unknown functions of all four variables. We found several series of solutions for this system. In particular, we obtained all solutions for a logarithmically polynomial diagonal metric, that is, for a metric whose coefficients are exponents of polynomials of four variables.</p>manifold of conformal connectioncurvaturetorsionHodge operatorself-dualityanti-self-dualityYang-Mills equationsмногообразие конформной связностикривизнакручениеоператор Ходжаавтодуальностьантиавтодуальностьуравнения Янга-Миллса[Лукьянов В. А., Кривоносов Л. Н., "Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения с различными сигнатурами", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:4 (2017), 633-650][Акивис М. А., Коннов В. В., "Некоторые локальные аспекты теории конформных структур", УМН, 48:1(289) (1993), 3-40 @@Akivis M. A., Konnov V. V., "Some local aspects of the theory of conformal structure", Russian Math. Surveys, 48:1 (1993), 1-35][Акивис М. А., "О вполне изотропных подмногообразиях четырехмерной псевдоконформной структуры", Изв. вузов. Матем., 1983, № 1, 3-11 @@Akivis M. A., "On completely isotropic submanifolds of a four-dimensional pseudoconformal structure", Soviet Math. (Iz. VUZ), 27:1 (1983), 1-11][Коннов В. В., "Асимптотическая псевдоконформная структура на четырехмерной гиперповерхности и ее вполне изотропные двумерные подмногообразия", Изв. вузов. Матем., 1992, № 6, 71-79][Картан Э., "Пространства конформной связности", Пространства аффинной, проективной и конформной связности, Казанск. ун-т, Казань, 1962, 153-206][Kobayashi Sh., "Automorphisms of G-Structures", Transformation Groups in Differential Geometry, Classics in Mathematics, 70, Springer, Berlin, Heidelberg, 1995, 1-38][Atiyah M. F., Hitchin N. J., Singer I. M., "Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry", Proc. Roy. Soc. London. Series A, 362:1711 (1978), 425-461][Кривоносов Л. Н., Лукьянов В. А., "Основная теорема для (анти)автодуальной конформной связности без кручения", Изв. вузов. Матем., 2019, № 2, 29-38][Кривоносов Л. Н., Лукьянов В. А., "Структура основного тензора пространства конформной связности без кручения. Конформные связности на гиперповерхности проективного пространства", Сиб. журн. чист. и прикл. матем., 17:2 (2017), 21-38][Dunajski M., Ferapontov E. V., Kruglikov B., "On the Einstein-Weyl and conformal self-duality equations", J. Math. Phys., 56 (2015), 083501][Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, ОГИЗ ГИТТЛ, М.-Л., 1948, 432 с.]