Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
доктор физико-математических наук, профессор
Candidate of physico-mathematical sciences, no status
кандидат физико-математических наук, без звания
In this paper, the intervals of change in the exponent of the degree of degeneration of a mixed-type equation with characteristic degeneration are established. The first boundary problem and the modified boundary problem (analogue of the Keldysh problem) with the conditions of periodicity are correctly set. In the case of the first problem, a criterion for the uniqueness of its solution is manifested. It is shown that the solution of the analogue of the Keldysh problem is unique up to a term of a linear function. Solutions are constructed as the sum of series of eigenfunctions of the corresponding one-dimensional spectral problem. In justifying the convergence of a series representing the solution of the first boundary-value problem, the problem of small denominators of a more complex structure arises in the class of regular solutions of this equation than in previously known works. The estimate on separation from zero is established with the corresponding asymptotic. Based on this estimate, sufficient conditions are found for the boundary functions to substantiate the uniform convergence of the series and their derivatives up to the second order inclusive.
В работе установлены промежутки изменения показателя степени вырождения уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением, в которых первая краевая задача и видоизмененная краевая задача (аналог задачи Келдыша) с условиями периодичности поставлены корректно. В случае первой задачи установлен критерий единственности ее решения. Показано, что решение аналога задачи Келдыша единственно с точностью до слагаемого линейной функции. Решения построены в виде суммы ряда по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При обосновании сходимости ряда, представляющего решение первой краевой задачи, в классе регулярных решений данного уравнения возникает проблема малых знаменателей более сложной структуры, чем в ранее известных работах, в связи с чем установлена оценка об отделенности от нуля с соответствующей асимптотикой. На основании этой оценки найдены достаточные условия относительно граничных функций для обоснования равномерной сходимости ряда и их производных до второго порядка включительно.