(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Information Security & Control Theory
к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. информационной безопасности и теории управления
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics
(к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. высшей математики.
In this paper we study Leibniz-Poisson algebras satisfying polynomial identities. We study Leibniz-Poisson special and Leibniz-Poisson extended special polynomials. We show that the sequence of codimensions $\{r_n({\bf V})\}_{n\geq 1}$ of every extended special space of variety ${\bf V}$ of Leibniz-Poisson algebras over an arbitrary field is either bounded by a polynomial or at least exponential. Furthermore, if this sequence is bounded by polynomial then there is a polynomial $R(x)$ with rational coefficients such that $r_n({\bf V}) = R(n)$ for all sufficiently large n. It follows that there exists no variety of Leibniz-Poisson algebras with intermediate growth of the sequence $\{r_n({\bf V})\}_{n\geq 1}$ between polynomial and exponential. We present lower and upper bounds for the polynomials $R(x)$ of an arbitrary fixed degree.
Исследуются полиномиальные алгебры Лейбница-Пуассона. Рассматриваются тождества специального вида в данных алгебрах. Показано, что последовательность коразмерностей $\{r_n({\bf V})\}_{n\geq 1}$ любого пространства специального вида многообразия алгебр Лейбница-Пуассона ${\bf V}$ над произвольным полем либо ограничена полиномом, либо не ниже показательной функции. При этом, если данная последовательность ограничена полиномом, то найдется такой многочлен $R(x)$ с рациональными коэффициентами, что $r_n({\bf V}) = R(n)$ для всех достаточно больших $n$. Из данного результата следует, что не существует многообразий алгебр Лейбница-Пуассона ${\bf V}$, для которых последовательность $\{r_n({\bf V})\}_{n\geq 1}$ имела бы промежуточный рост между полиномиальным и экспоненциальным. Приводятся нижняя и верхняя границы для многочленов $R(x)$ произвольной фиксированной степени.