Dept. of Computational Mathematics and Informatics
соискатель, каф. вычислительной математики и информатики.
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Head of Dept., Dept. of Computational Mathematics and Informatics.
(д.ф.-м.н., проф.), заведующий кафедрой, каф. вычислительной математики и информатики
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Computational Mathematics and Informatics
(к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. вычислительной математики и информатики
We made the comparison study and characterize the spectral properties of differential operators induced by the Dirichlet problem for the hyperbolic system without the lowest terms of the form $$ \cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{x}^2} = \lambda{u^1}+f^1, \quad \cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{x}^2} = \lambda{u^2}+ f^2, $$ and for the hyperbolic system with the lowest terms of the form $$ \cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{x}^2}+\cfrac{\partial{u^2}}{\partial{x}} =\lambda{u^1}+f^1, \quad \cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{x}^2}+\cfrac{\partial{u^1}}{\partial{x}} = \lambda{u^2}+ f^2, $$, which are considered in the closure $V_{t,x}$ of the bounded domain $\Omega_{t,x}=(0;\pi)^2$ in Euclidean space $\mathbb{R}^2_{t,x}.$ The spectral properties of the boundary value problems for the systems of linear differential equations of the hyperbolic type are investigated in the Hilbert space $\mathcal{H}_{t,x}$ in the terms of spectral closed operators $L:\mathcal{H}_{t,x}\to\mathcal{H}_{t,x}$. We study the spectra of the closed differential operators $L:\mathcal{H}_{t,x}\to\mathcal{H}_{t,x},$ induced by the Dirichlet problem for the second order hyperbolic systems: $C\sigma{L}=R\sigma{L}$ - empty set; point spectrum $P\sigma{L}$ is in the real straight line of the complex plane $\mathbb{C}$. The operator $L$ eigen vector functions generate the orthogonal basis for the hyperbolic system without the lowest terms. For the hyperbolic system with the lowest terms the operator $L$ eigen vector functions generate the Riesz basis, nonorthogonal in the Hilbert space $\mathcal{H}_{t,x}.$ The theorems on the structure of the induced by the Dirichlet problem operator $L$ spectrum $\sigma L$ are formulated.
Работа посвящена сравнительному изучению и описанию спектральных свойств дифференциальных операторов, порождённых задачей Дирихле для гиперболической системы без «младших членов» вида $$ \cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{x}^2} = \lambda{u^1}+f^1, \quad \cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{x}^2} = \lambda{u^2}+ f^2, $$ и для гиперболической системы с <<младшими членами>> - $$ \cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{x}^2}+\cfrac{\partial{u^2}}{\partial{x}} =\lambda{u^1}+f^1, \quad \cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{x}^2}+\cfrac{\partial{u^1}}{\partial{x}} = \lambda{u^2}+ f^2, $$ рассматриваемых в замыкании $V_{t,x}$ ограниченной области $\Omega_{t,x}=(0;\pi)^2$ евклидова пространства $\mathbb{R}^2_{t,x}.$ Исследование спектральных свойств граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа ведётся в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_{t,x}$ в терминах спектрально замкнутых операторов $L:\mathcal{H}_{t,x}\to\mathcal{H}_{t,x}$. В настоящей работе для замкнутых дифференциальных операторов $L:\mathcal{H}_{t,x}\to\mathcal{H}_{t,x},$ порождённых задачей Дирихле для гиперболических систем второго порядка, изучены спектры: $C\sigma{L}=R\sigma{L}$ - пустое множество; точечный спектр $P\sigma{L}$ располагается в вещественной прямой комплексной плоскости $\mathbb{C}$. В случае гиперболической системы без младших членов собственные вектор-функции оператора $L$ образуют ортогональный базис. В случае гиперболической системы с младшими членами вектор-функции оператора $L$ образуют базис Рисса, не являющийся ортогональным в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_{t,x}.$ Сформулированы теоремы о структуре спектра $\sigma L$ оператора $L$, порождённого задачей Дирихле.