(Cand. Phys. & Math. Sci.), Assotiate Professor, Dept. of Mathematical Physics & Analysis
(к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. математической физики и анализа
Assistant Lecturer, Dept. of Mathematical Physics & Analysis
ассистент, каф. математической физики и анализа
We consider a $2\times2$ operator matrix $A$ (so-called generalized Friedrichs model) associated with a system of at most two quantum particles on ${\rm d}$-dimensional lattice. This operator matrix acts in the direct sum of zero- and one-particle subspaces of a Fock space. We investigate the structure of the closure of the numerical range $W(A)$ of this operator in detail by terms of its matrix entries for all dimensions of the torus ${\bf T}^{\rm d}$. Moreover, we study the cases when the set $W(A)$ is closed and give necessary and sufficient conditions under which the spectrum of $A$ coincides with its numerical range.
Рассматривается $2 \times 2$ операторная матрица (обобщённая модель Фридрихса) $A$, ассоциированная с системой не более чем двух квантовых частиц на ${\rm d}$-мерной решётке. Этот оператор действует в прямой сумме ноль-частичного и одночастичного подпространств фоковского пространства. Структура замыкания числовой области значений $W(A)$ этого оператора подробно исследована в терминах его матричных элементов при всех размерностях тора ${\bf T}^{\rm d}$. Выделены случаи, когда множество $W(A)$ замкнуто. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр оператора $A$ совпадал с~множеством $W(A)$.