Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University2074210.14498/vsgtu1292ArticlesСтатьиResearch ArticleBoundary integral equation method in the modeling of nonlinear deformation and failure of the 3D inhomogeneous mediaМетод граничных интегральных уравнений в моделировании нелинейного деформирования и разрушения трехмерных неоднородных средPetushkovVladimir AПетушковВладимир Алексеевич

(Dr. Phys. & Math. Sci.), Professor, Lab. of Mathematics Modeling.

(д.ф.-м.н.), профессор, лаборатория математического моделирования.

pva_ras@inbox.comA. A. Blagonravov Mechanical Engineering Institute RASИнститут машиноведения им. А. А. Благонравова РАН15062014182NO2 (2014)№2 (2014)9611418022020Copyright ©; 2014, Samara State Technical UniversityCopyright ©; 2014, Самарский государственный технический университет2014Samara State Technical UniversityСамарский государственный технический университетhttps://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/20742

The method of boundary integral equations is applied for solving the nonlinear problems of thermo-elastic-plastic deformation and fracture of inhomogeneous 3D bodies of the complex form. Solution is constructed on the basis of the generalized identity of Somigliana involving method of sequential linearization in the form of initial plastic deformations. The increments of plastic deformation are determined on the basis of the flow theory of hardening elastoplastic media with the use of modifed Prandtl-Reus's relations. The cases of complex thermo mechanical loading of compound piecewise homogeneous media in contact are considered. For describing the processes of nonlinear deformation and fracture of the bodies with a complex geometry and local peculiarities a method of discrete domains (DDBIEM) is developed. The solutions of some practical significant 3D non-linear problems of the mechanics of deformation and fracture are presented.

Метод граничных интегральных уравнений применяется для решения нелинейных задач термо-упругопластического деформирования и разрушения неоднородных объёмных тел сложной формы. Решение строится на основе обобщённого тождества Сомильяны и метода последовательной линеаризации в форме начальных пластических деформаций. Приращения пластической деформации определяются на основе теории течения упрочняющихся упругопластических сред с использованием модифицированных соотношений Прандтля-Рейсса. Рассмотрены случаи сложного термосилового нагружения находящихся в контакте составных кусочно-однородных сред. Для описания процессов нелинейного деформирования и разрушения тел сложной геометрии с локальными особенностями используется разработанный ранее метод дискретных областей. Представлены решения трёхмерных нелинейных задач механики деформирования и разрушения, имеющих практическое значение.

inhomogeneous 3D medianonlinear deformation and fractureboundary integral equation methodcollocation approachsubdomains methodнеоднородные трёхмерные средынелинейное деформирование и разрушениеметод граничных интегральных уравненийколлокационное приближениеметод подобластейС. Г. Михлин, Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.S. G. Mikhlin, Multidimensional Singular Integrals and Integral Equations / International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, vol. 83. New York, Pergamon Press, 1965, xii+259 pp.В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелия, М. О. Башелейшвили, Т. В. Бурчуладзе, Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1986. 664 с.V. D. Kupradze, T. G. Gegelia, M. O. Basheleishvili, T. V. Burchuladze, Three-Dimensional Problems of the Mathematical Theory of Elasticity and Thermoelasticity, New York, NorthHolland, 1979, xix+929 pp.K. Hayami, “Variable Transformations for Nearly Singular Integrals in the Boundary Element Method” // Publ. Res. Inst. Math. Sci., 2005. vol. 41. pp. 821-842. doi: 10.2977/prims/1145474596.В. А. Петушков, “Численная реализация метода граничных интегральных уравнений применительно к нелинейным задачам механики деформирования и разрушения объемных тел” / Моделирование в механике: Сб. научн. тр. ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1989. Т. 3(30), № 1. С. 133-156.S. Rjasanow, O. Steinbach, The fast solution of boundary integral equations, Mathematical and Analytical Techniques with Applications to Engineering, Heidelberg, Springer, 2007, xi+279 pp. doi: 10.1007/0-387-34042-4.Y. J. Liu, S. Mukherjee, N. Nishimura, M. Schanz, W. Ye, A. Sutradhar, E. Pan, N. A. Dumont, A. Frangi, A. Saez, “Recent Advances and Emerging Applications of the Boundary Element Method” // Appl. Mech. Rev., 2012. vol. 64, no. 3. 030802, 38 pp. doi: 10.1115/1.4005491.N. A. Makhutov, V. A. Petushkov, V. I. Zysin, “Using the method of boundary integral equations for the numerical solution of volume problems of nonlinear fracture mechanics” // Strength of Materials, 1988. vol. 20, no. 7., pp. 833-841 doi: 10.1007/BF01528693.В. А. Петушков, В. И. Зысин, “Пакет прикладных программ МЕГРЭ-3Д для численного моделирования нелинейных процессов деформирования и разрушения объемных тел. Алгоритмы и реализация в ОС ЕС” / Программное обеспечение математического моделирования, Сб. Пакеты прикладных программ. М.: Наука, 1992. С. 111-126.G. C. Hsiao, O. Steinbach, W. L. Wendland, “Domain decomposition methods via boundary integral equations” // J. Comp. Appl. Math., 2000. vol. 125, no. 1-2. pp. 521-537. doi: 10.1016/S0377-0427(00)00488-X.В. А. Петушков, Р. М. Шнейдерович, “О термоупругопластическом деформировании гофрированных оболочек вращения при конечных смещениях” // Проблемы прочности, I979. № 6. С. 2I-27.V. A. Petushkov, R. M. Shneiderovich, “Thermoelastic plastic deformation of corrugated shells of revolution at finite displacements” // Strength of Materials, 1979. vol. 11, no. 6. pp. 578-585. doi: 10.1007/BF00770100.J. Nečas, I. Hlaváček, Mathematical Theory of Elastic and Elasto-Plastic Bodies - An Introduction / Studies in Applied Mechanics, vol. 3, Amsterdam, New York, Elsevier Sci. Publ. Co., 1980, 342 pp. doi: 10.1016/B978-0-444-99754-8.50001-1.W. L. Wendland, “On Some Mathematical Aspects of Boundary Element Methods for Elliptic Problems” / The mathematics of finite elements and applications. ed. J. R. Whiteman, New York, Acad. Press Inc., 1985, pp. 193-227. doi: 10.1016/B978-0-12-747255-3.50019-8.M. Costabel, “Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results” // SIAM J. Math. Anal., 1988. vol. 19, no. 3. pp. 613-626 doi: 10.1137/0519043.G. Strang, G. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, 2nd edition, Wellesley, MA, Wellesley-Cambridge Press, 2008, 400 pp.Г. Стренг, Д. Фикс, Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 294 с.J. M. Crotty, “A block equation solver for large unsymmetric matrices arising in the boundary integral equation method” // Int. J. Numer. Meth. Engng., 1982. vol. 18, no. 7. pp. 997-1017. doi: 10.1002/nme.1620180705.В. А. Петушков, А. Ф. Аникин, “Исследование разрушения трехмерных упругих тел с трещинами” // Прикладная механика, 1986. Т. 22, № 9. С. 15-23.V. A. Petushkov, A. F. Anikin, “Investigation of the fracture of three-dimensional elastic bodies with cracks” // Soviet Applied Mechanics, 1986. vol. 22, no. 9. pp. 815-822. doi: 10.1007/BF00888886.А. Ф. Аникин, В. А. Петушков, “О комплексе программ «САПР-82» и вычислительных аспектах моделирования на ЭВМ пространственных процессов деформирования и разрушения конструкций при повышенных температурах” // Проблемы прочности, 1987. № 7. С. 62-67.A. F. Anikin, V. A. Petushkov, ““SAPR-82” software package and the computational aspects of the computer modeling of three-dimensional deformation and failure processes of structures at elevated temperatures” // Strength of Materials, 1987. vol. 19, no. 7. pp. 944-951. doi: 10.1007/BF01523534.K. Park, G. H. Paulino, “Cohesive Zone Models: A Critical Review of Traction-Separation Relationships Across Fracture Surfaces” // Appl. Mech. Rev., 2013. vol. 64, no. 6. 060802, 20 pp. doi: 10.1115/1.4023110.G. C. Hsiao, W. L. Wendland, Boundary Integral Equations / Applied Mathematical Sciences, vol. 164, Berlin, Springer, 2008, xix+618 pp. doi: 10.1007/978-3-540-68545-6.I. S. Raju, J. C. Newman Jr., “Stress-intensity factors for a wide range of semi-elliptical surface cracks in finite-thickness plates” // Engng. Fracture Mech., 1979. vol. 11, no. 4. pp. 817-829. doi: 10.1016/0013-7944(79)90139-5.