Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences1991-86152310-7081Samara State Technical University2076310.14498/vsgtu1317Research ArticleOn a stability of polar symmetrical deformation of bodies from softening materialsStruzhanovValery V(Dr. Phys. & Math. Sci.; stru@imach.uran.ru), Chief Researcher, Lab. of Matherial Micromechanicsstru@imach.uran.ruBerdnikovKirill V(kir.berdnikov@mail.ru; Corresponding Author), Postgraduate Student, Lab. of Matherial Micromechanicskir.berdnikov@mail.ruInstitute of Engineering Science, Ural Branch of RAS1512201418411112018022020Copyright © 2014, Samara State Technical University2014Special case of continuum mechanical systems is considered. It is believed that deforming is carried out under conditions of polar symmetry of stresses and strains. Also it is assumed that material properties are described by Hencky model with softening under nonpositivity of volume deformation. Then union curve has region decreasing to zero. Aforementioned conditions are realized in such problems as expansion of spherical cavity in softening space and deforming of thick-walled spherical vessel by equable external pressure (it maybe bathyscaphe which is gradually submerged to the deep). Based on the Lagrange formalism integral quadratic functional is investigated. This functional is increment of total potential energy in the form of Lagrangian for mentioned problems. This study allows to formulate conditions of buckling for active loading which changes quasistatically. For considered problems sets of possible deformations are obtained. These possible deformations perturb the equilibrium position and do not break kinematic constraints. Obtained sets of possible deformations allow to write criterion of buckling of deformation process in explicit form for mentioned problems. It is established that only with sufficiently developed softening zone buckling of deformation process is possible.hardeningsofteningHencky environmentpolar symmetrystabilityLagrangianHesse matrixvariationsупрочнениеразупрочнениесреда Генкиполярная симметрияустойчивостьлагранжианматрица Гессевариации[Drucker D. C. A definition of a stable inelastic material // ASME J. Appl. Mech., 1959. vol. 26. pp. 101-195.][Стружанов В. В., Бурмашева Н. В. Вычислительная процедура нахождения предельных значений параметров нагружения механических систем // Вычислительная механика сплошных сред, 2011. Т. 4, № 4. С. 107-113. doi: 10.7242/1999-6691/2011.4.4.45.][Стружанов В. В., Просвиряков Е. Ю. Растяжение с кручением. Сообщение 2: Устойчивость процесса деформирования образца в механической системе. Жесткое и мягкое нагружения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. № 2(17). С. 77-86. doi: 10.14498/vsgtu403.][Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970. 492 с.][Стружанов В. В., Миронов В. И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. 192 с.][Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. В 2-х книгах. Кн. 1. М.: Мир, 1984. 350 с.][Постон T., Стюарт И. Tеория катастроф и её приложения. М.: Мир, 1980. 608 с.][Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. 432 с.][тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974. 224 с.][Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 636 с.][Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Математические модели и современные физические теории поля // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2009. Т. 9, № 4(2). С. 41-94.][Ильюшин А. А. Пластичность. Часть 1. Упруго-пластические деформации. М., Л.: ОГИЗ, 1948. 378 с.][Стружанов В. В., Бердников К. В. Об определяющих соотношениях среды Генки для разупрочняющегося материала при диагональном тензоре деформаций // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 3(28). С. 72-80. doi: 10.14498/vsgtu1115.][Лурье А. И. Tеория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.][Хан Х. Tеория упругости. Основы линейной теории и её применения. М.: Мир, 1988. 344 с.][Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.][Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М: Мир, 1989. 655 с.]