Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences1991-86152310-7081Samara State Technical University20789Research ArticleOn one class of analytic solutions of the stationary axisymmetric convection Bénard–Maragoni viscous incompreeible fluidAristovSergey N(Dr. Phys. & Math. Sci.), Chief Researcher, Lab. Hydrodynamical Instabilityasn@icmm.ruProsviryakovEvgeii Yu(Ph. D. Phys. & Math.), Doctoral Candidate, Dept. of Bases of Constructionevgen_pros@mail.ruInstitute of Continuous Media Mechanics UB RASKazan National Research Technical University named after A. N. Tupolev1509201317311011818022020Copyright © 2013, Samara State Technical University2013The purpose of this work is to find solutions for the system of equations Oberbeck– Boussinesq flat convection Bénard–Marangoni a viscous incompressible fluid. In this viscous incompressible fluid the radial component of the temperature gradient may become zero. It is shown that the initial system may be reduced to the system of equations of ordinary differential equations of the eleventh order. We obtain the exact solution at the point of the extremum of the temperature (at zero including Grasgof’s). Integration of equations is carried out in dimensionless variables, which are non-classical way: put the scale factor for each variable, and not by linear characteristic size of the layer. The solution is the initial approximation to the solution of convection Bénard–Marangoni in numbers Grasgof’s, the big zero.axisymmetric thermocapillary convection (convection Bénard–Marangoni)localized parabolic heatersexact solutionisolinesHessian matrixeigenvalueslocalization of polynomials rootslocalization of eigenvalues of the matrixосесимметричная термокапиллярная конвекция (конвекция Бенара–Марангони)локализованный параболический нагревточное решениеизолинииматрица Гессесобственные числалокализация корней полиномовлокализация собственных чисел матрицы[А. В. Гетлинг, “Формирование пространственных структур конвекции Рэлея–Бенара” // УФН, 1991. Т. 161, № 9. С. 1–80.][Ф. А. Гарифуллин, “Возникновение конвекции в горизонтальных слоях жидкости” // Соросовск. образоват. ж., 2000. Т. 6, № 8. С. 108–114.][H. Bénard, Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide propageant de la chaleur par convection, en régime permanent. Thèse. Paris: Gauthier-Villars, 1901. 88 pp.; Ann. de Chim. et Phys., 1901. Vol. 23. Pp. 62–144.][H. Bénard, “Etude expérimentale des courants de convection dans une nappe liquide. — Régime permanent: tourbillons cellulaires” // J. Phys. Theor. Appl., 1900. Vol. 9, no. 1. Pp. 513–524.][H. Bénard, “Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide. – Méthodes optiques d’obeservation et d’enregistrement” // J. Phys. Theor. Appl., 1901. Vol. 10, no. 1. Pp. 254–266.][Н. В. Никитин, С. А. Никитин, В. И. Полежаев, “Конвективные неустойчивости в гидродинамической модели роста кристаллов методом Чохральского” // Усп. Мех., 2003. Т. 2, № 4. С. 3–45.][Г. С. Голицин, Природные процессы и явления: волны, планеты, конвекция, климат, статистика. М.: Физматлит, 2004. 344 с.][В. В. Алексеев, А. М. Гусев, “Свободная конвекция в геофизических процессах” // УФН, 1983. Т. 141, № 2. С. 311–343.][А. С. Монин, Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. 424 с.][А. Гилл, Динамика атмосферы и океана. Т. 1. М.: Мир, 1986. 397 с.][Р. В. Бирих, “О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости” // ПМТФ, 1966. № 3. С. 69–72.][L. G. Napolitano, “Plane Marangoni-Poiseuille flow of two immissible fluids” // Acta Astronaut., 1980. Vol. 7, no. 4–5. Pp. 461–478.][В. К. Андреев, Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения: Препринт № 1-10. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2010. 68 с.][O. Goncharova, O. Kabov, “Gas flow and thermocapillary effects of fluid flow dynamics in a horizontal layer” // Microgravity Sci. Technol., 2009. Vol. 21, no. 1. Pp. 129–137.][Л. Х. Ингель, М. В. Калашник, “Нетривиальные особенности гидротермодинамики морской воды и других стратифицированных растворов” // УФН, 2012. Т. 182, № 4. С. 379–406.][В. С. Бескин, “Осесимметричные стационарные течения в астрофизике” // УФН, 2003. Т. 173, № 11. С. 1247–1253.][Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. VI: Гидродинамика. М.: Наука, 2006. 736 с.][Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.][С. Н. Аристов, Вихревые течения в тонких слоях жидкости: Автореф.. дис. докт. физ.-мат. наук. Владивосток, 1990. 32 с.][А. Ф. Сидоров, “Об одном классе решений уравнений газовой динамики и естественной конвекции” / В сб.: Численные и аналитические методы решения задач механики сплошной среды; ред. А. Ф. Сидоров, Ю. Н. Кондюрин. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. С. 101–117.][C. C. Lin, “Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics” // Arch. Rational Mech. Anal., 1958. Vol. 1, no. 1. Pp. 391–395.][Е. Е. Тыртышников, Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2007. 480 с.][С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Элементы дифференциальной геометрии и топологии. М.: Наука, 1987. 432 с.][В. И. Арнольд, Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.][Т. Постон, И. Стюарт, Теория катастроф и её приложения. М.: Мир, 1980. 608 с.][Р. Гилмор, Прикладная теория катастроф. Т. 1. М.: Мир, 1984. 350 с.][Р. Хорн, Ч. Джонсон, Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.][М. М. Постников, Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981. 176 с.]