Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University21121ArticlesСтатьиRheological model of viscoelastic body with memory and differential equations of fractional oscillatorРеологические модели вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторовOgorodnikovEugeniy NОгородниковЕвгений Николаевич

(к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. прикладной математики и информатики; Самарский государственный технический университет; Samara State Technical University

(к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. прикладной математики и информатики; Самарский государственный технический университет

eugen.ogo@gmail.comRadchenkoVladimir PРадченкоВладимир Павлович

(д.ф.-м.н., профессор), зав. кафедрой, каф. прикладной математики и информатики; Самарский государственный технический университет; Samara State Technical University

(д.ф.-м.н., профессор), зав. кафедрой, каф. прикладной математики и информатики; Самарский государственный технический университет

radch@samgtu.ruYashaginNikolay SЯшагинНиколай Сергеевич

аспирант, каф. прикладной математики и информатики; Самарский государственный технический университет; Samara State Technical University

аспирант, каф. прикладной математики и информатики; Самарский государственный технический университет

nik-yashagin@yandex.ruSamara State Technical UniversityСамарский государственный технический университет15032011151NO1 (2011)№1 (2011)25526818022020Copyright ©; 2011, Samara State Technical UniversityCopyright ©; 2011, Самарский государственный технический университет2011Samara State Technical UniversityСамарский государственный технический университетhttps://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/21121

One-dimensional generalized rheologic model of viscoelastic body with Riemann- Liouville derivatives is considered. Instead of derivatives of order α > 1 there are employed in defining relations derivatives of order 0 < α < 1 from integer derivatives. It's shown, that the differential equation for the deformation with given dependence of the tension from the time with classical initial conditions of Cauchy are reduced to the Volterra integral equations. Some variants of the generalized fractional Voigt's model are considered. Explicit solutions for corresponding differential equation for the deformation are found out. It's indicated, that these solutions coincide with the classical ones when the fractional parameter vanishes.

Рассмотрена одномерная обобщённая модель вязкоупругого тела с дробными производными Римана Лиувилля. Вместо производных порядка α > 1 в определяющем соотношении используются производные порядка 0 < α < 1 от целочисленных производных. Показано, что что дифференциальное уравнение относительно деформации при заданной зависимости напряжения от времени с классическими начальными условиями Коши редуцируется к интегральному уравнению вольтерровского типа. Рассмотрены варианты обобщённой дробной модели Фойхта. Найдены явные решения соответствующих дифференциальных уравнений относительно деформации. Отмечено совпадение этих решений с классическим при нулевом значении параметра дробности.

rheological model of viscoelastic bodydifferential equations with fractional Riemann-Liouvillederivatives Mittag-Leffler type special functionsреологические модели вязкоупругого теладифференциальные уравнения с дробными производными Римана Лиувилляспециальные функции типа Миттаг ЛеффлераРаботнов Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.Bagley R. L., Torvik P. J. Fractional calculus - A different approach to the analysis of viscoelastically damped structures // AIAA J. Vol. 21, no. 5. Pp. 741-748Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с с.Scott Blair G. W. A survey of general and applied rheology. London: Sir Isaac Pitman & Sons, 1949. 314 pp.Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ, 1948. Т. 12, № 3. С. 251-260.Работнов Ю. Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ, 1948. Т. 12, № 1. С. 53-62.Caputo M., Mainardi F. Linear models of dissipation in anelastic solids // La Rivista del Nuovo Cimento, 1971. Vol. 1, no. 2. Pp. 161-198.Caputo M., Mainardi F. A new dissipation model based on memory mechanism // Pure Appl. Geophys., 1971. Vol. 91, no. 1. Pp. 134-147.Bagley R. L., Torvik P. J. A theorical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity // J. Rheol., 1983. Vol. 27, no. 3. Pp. 201-210.Нахушев А. М. Математические модели вязкоупругого тела // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки, 2000. № 3. С. 107-109.Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. Vol. 204 / ed. J. van Mill. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Математические модели вязкоупругого тела и вынужденные колебания дробных осцилляторов / В сб.: Матерiали конф., Тринадцята Мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М. Кравчука (13-15 травня, 2010), Т. 1. Київ: НТУУ, 2010. С. 344-345.Огородников Е. Н. Математические модели дробных осцилляторов, постановка и структура решения задачи Коши / В сб.: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 1: Математические модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 177-181.Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Вынужденные колебания дробных осцилляторов / В сб.: Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием (29-31 мая 2008 г.). Часть 1: Математические модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2008. С. 215-221.Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. О некоторых свойствах операторов с функциями типа Миттаг Леффлера в ядрах / В сб.: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 181-188.Огородников Е. Н. Корректность задачи Коши Гурса для системы вырождающихся нагруженных гиперболических уравнений в некоторых специальных случаях и её равносильность задачам с нелокальными краевыми условиями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2004. № 26. С. 26-38.Огородников Е. Н. О некоторых краевых задачах для системы уравнений Бицадзе Лыкова с инволютивной матрицей / В сб.: Тр. десятой межвуз. науч. конф. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Мат. моделирование и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2000. С. 119-126.Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун- та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 1(18). С. 276-279.Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Об одном обобщении функции типа Миттаг Леффлера, интегральном операторе с указанной функцией в ядре, их свойствах и приложениях / В сб.: Актуальные проблемы современной науки: Труды 5-го Международного форума. Естественные науки. Ч. 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. Самара: СамГТУ, 2010. С. 261-267.Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Постановка и решение задач типа Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. № 1(20). С. 24-36.