Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences1991-86152310-7081Samara State Technical University3468710.14498/vsgtu1665Research ArticleExact analytical solution for the stationary two-dimensional heat conduction problem with a heat sourceKudinovIgor VasilievichCandidate of technical sciences, no statusigor-kudinov@bk.ruKurganovaOlga Yuryevnawithout scientific degree, no statusTkachevVasily K.Samara State Technical University1503201923119520310062020Copyright © 2019, Samara State Technical University2019The exact analytic solution for the stationary two-dimensional heat conduction problem with a heat source for an infinite square bar was obtained. It was based on the Bubnov–Galyorkin orthogonal method using trigonometric systems of coordinate functions. The infinite system of ordinary differential equations obtained by the Bubnov–Galyorkin method is divided and reduced by the orthogonality property of trigonometric coordinate functions to the solution of a generalized equation which provides the exact analytical solution in a simple form, i.e. in the form of an infinite series. In view of the symmetry of the problem, only a quarter of the cross-section of the bar is considered for the boundary conditions of the adiabatic wall (the absence of heat transfer) along the cut lines, which allows (in contrast to the well-known classical exact analytical solution) to significantly simplify the process of the solution and the final equation.Poisson equationtwo-dimensional boundary value problemheat sourceBubnov–Galyorkin methodorthogonal system of coordinate functionsexact analytic solutionуравнение Пуассонадвумерная краевая задачаисточник теплотыметод Бубнова–Галеркинаортогональная система координатных функцийточное аналитическое решение[Chen C. S., Muleshkov A. S., Golberg M. A., Mattheij R.M.M., "A mesh-free approach to solving the axisymmetric Poisson's equation", Numer. Meth. Part. D. E., 21:2 (2005), 349-367][Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, Физматлит, М., 1999, 798 с.][Глазунов Ю. Т., Вариационные методы, Регулярная и хаотическая динамика; Институт компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2006, 470 с.][Цой П. В., Системные методы расчета краевых задач тепломассопереноса, МЭИ, М., 2005, 568 с.][Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, Физматгиз, Л., 1950, 695 с.][Кудинов В. А., Кудинов И. В., "Об одном методе получения точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности на основе использования ортогональных методов", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010, № 5(21), 159-169][Кудинов В. А., Кудинов И. В., Скворцова М. П., "Обобщенные функции и дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для многослойных тел", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 55:4 (2015), 669-680][Bollati J., Semitiel J., Tarzia D. A., "Heat balance integral methods applied to the one-phase Stefan problem with a convective boundary condition at the fixed face", Appl. Math. Comp., 331 (2018), 1-19][Hristov J., "The heat radiation diffusion equation explicit analytical solutions by improved integral-balance method", Thermal science, 22:2 (2018), 777-788][Hristov J., "Double integral-balance method the fractional subdiffusion equation: approximate solutions, optimization problems to be resolved and numerical simulations", J. Vib. Control, 23:17 (2017), 2795-2818][Hristov J., "Multiple integral-balance method basic idea and an example with Mullin's model of thermal grooving", Thermal science, 21:3 (2017), 1555-1560][Кудинов В. А., Стефанюк Е. В., "Аналитический метод решения задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий", Инженерно-физический журнал, 82:3 (2009), 540-558][Стефанюк Е. В., Кудинов В. А., "Получение приближенных аналитических решений при рассогласовании начальных и граничных условий в задачах теории теплопроводности", Изв. вузов. Матем., 2010, № 4, 63-71][Кудинов В. А., Дикоп В. В., Габдушев Р. Ж., Стефанюк С. А., "Об одном методе определения собственных чисел в нестационарных задачах теплопроводности", Изв. РАН. Энергетика, 2002, № 4, 112-117][Канторович Л. В., "Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных", Докл. АН СССР, 2:9 (1934), 532-534][Федоров Ф. М., Граничный метод решения прикладных задач математической физики, Наука, Новосибирск, 2000, 220 с.][Кудряшов Н. А., "Приближенные решения одной задачи нелинейной теплопроводности", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 45:11 (2005), 2044-2051][Wang G. T., Pei K., Agarwal R. P., Zhang L. H., Ahmad B., "Nonlocal Hadamard fractional boundary value problem with Hadamard integral and discrete boundary conditions on a half-line", J. Comp. Appl. Math., 343 (2018), 230-239][Кудинов В. А., Клеблеев Р. М., Куклова Е. А., "Получение точных аналитических решений нестационарных задач теплопроводности ортогональными методами", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:1 (2017), 197-206]