Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
доктор физико-математических наук, профессор
We study boundary value and spectral problems in a bounded domain $G$ with smooth border for operators $\operatorname{rot} +\lambda I$ and $\nabla \operatorname{div} +\lambda I$ in the Sobolev spaces. For $\lambda\neq 0$ these operators are reducible (by B. Veinberg and V. Grushin method) to elliptical matrices and the boundary value problems and satisfy the conditions of V. Solonnikov's ellipticity. Useful properties of solutions of these spectral problems derive from the theory and estimates. The $\nabla \operatorname{div}$ and $ \operatorname{rot}$ operators have self-adjoint extensions $\mathcal{N}_d$ and $\mathcal{S}$ in orthogonal subspaces $\mathcal{A}_{\gamma }$ and $\mathbf{V}^0$ forming from potential and vortex fields in $\mathbf{L}_{2}(G)$. Their eigenvectors form orthogonal basis in $\mathcal{A}_{\gamma }$ and $\mathbf{V}^0$ elements which are presented by Fourier series and operators are transformations of series. We define analogues of Sobolev spaces $\mathbf{A}^{2k}_{\gamma }$ and $\mathbf{W}^m$ orders of $2k$ and $m$ in classes of potential and vortex fields and classes $ C (2k,m)$ of their direct sums. It is proved that if $\lambda\neq \operatorname{Sp}(\operatorname{rot})$, then the operator $ \operatorname{rot}+\lambda I$ displays the class $C(2k,m+1)$ on the class $C(2k,m)$ one-to-one and continuously. And if $\lambda\neq \operatorname{Sp}(\nabla \operatorname{div})$, then operator $\nabla \operatorname{div}+\lambda I$ maps the class $C(2(k+1), m)$ on the class $C(2k,m)$, respectively.
В ограниченной области $G\subset \mathbb{R}^3$ с гладкойграницей изучаются краевые и спектральные задачи для операторов $\operatorname{rot} +\lambda I$ и $\nabla \operatorname{div} +\lambda I$в пространствах Соболева. При $\lambda\neq 0$ операторы расширяются (методом Б. Вайнберга и В. Грушина) до эллиптических матриц,а краевые задачи удовлетворяют условиям эллиптичности В. Солонникова.Из теории и оценок вытекают полезные свойства решений спектральных задач. Операторы $\nabla \operatorname{div}$ и $ \operatorname{rot}$ имеют самосопряженныерасширения $\mathcal{N}_d$ и $\mathcal{S}$ в ортогональныеподпространства $\mathcal{A}_{\gamma }$ и $V^0$ потенциальных и вихревых полей в $\mathbf{L}_{2}(G)$, а их собственные векторы задают ортогональные базисы в $\mathcal{A}_{\gamma }$ и $V^0$, элементы которых представляются рядами Фурье, а операторы — преобразованиями рядов.Определены аналоги пространств Соболева $\mathbf{A}^{2k}_{\gamma }$ и $\mathbf{W}^m$ порядков $2k$ и $m$ в классах потенциальных и вихревых полей и классы $ C(2k,m)$ их прямых сумм. Доказано, что при $\lambda\neq \operatorname{Sp}(\operatorname{rot})$ оператор $ \operatorname{rot}+\lambda I$ отображает класс $C(2k,m+1)$ на класс $C(2k,m)$ взаимно однозначно и непрерывно, а при $\lambda\neq \operatorname{Sp}(\nabla \operatorname{div})$ оператор $\nabla \operatorname{div}+\lambda I$ отображает $C(2(k+1), m)$ на $C(2k,m)$ соответственно.