Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University46279810.14498/vsgtu2026HIGWRZMathematical Modeling, Numerical Methods and Software ComplexesМатематическое моделирование, численные методы и комплексы программResearch ArticleImplicit iterative scheme based on the pseudo--inversion algorithm and its applicationНеявная итерационная схема на основе алгоритма псевдообращения и её примененияhttps://orcid.org/0000-0001-6082-9097ZhdanovAlexandr I.ЖдановАлександр Иванович
Russian Federation

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Professor; Dept. of Applied Mathematics andInformatics; Professor; Dept. of Electrical Power Engineering, Electrical Engineering, and Automation Process Technology

доктор физико-математических наук, профессор; профессор; каф. прикладной математики и информатики; профессор; каф. электроэнергетики, электротехники и автоматизации технологии процессов

zhdanovaleksan@yandex.ruhttps://www.mathnet.ru/person41724https://orcid.org/0000-0002-8138-9200SidorovYuri V.СидоровЮрий Вячеславович
Russian Federation

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics and Informatics

кандидат физико-математических наук; доцент; каф. прикладной математики и информатики

linuxboy2007@gmail.comhttps://www.mathnet.ru/person114787Samara State Technical UniversityСамарский государственный технический университетSamara State Technical University, Novokuybyshevsk BranchФилиал ФГБОУ ВО «СамГТУ» в г. Новокуйбышевске020920242811171292905202324082023Copyright ©; 2024, Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Copyright ©; 2024, Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)2024Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/462798

A new version of the implicit iterative scheme is proposed for the implementation of which only matrix-vector computational procedures are required. This makes the proposed computational scheme potentially highly efficient for solving a wide class of high-dimensional problems on modern high-performance computing platforms, such as Nvidia Cuda. It is shown that the proposed algorithms can be used to solve ill-conditioned linear systems and least squares problems, as well as to construct iterative regularization algorithms. The results of computational experiments are presented, confirming the effectiveness of the proposed computational algorithms.

Предложена новая версия неявной итерационной схемы, для реализации которой требуются лишь матрично-векторные вычислительные процедуры. Это делает предлагаемую вычислительную схему потенциально высокоэффективной для решения широкого класса задач большой размерности на современных высокопроизводительных вычислительных платформах, например Nvidia Cuda. Показано, что предлагаемые алгоритмы могут быть использованы для решения плохо обусловленных линейных систем и задач наименьших квадратов, а также для построения итерационных алгоритмов регуляризации. Приводятся результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие эффективность предлагаемых вычислительных алгоритмов.

implicit iterative schemesimple iteration methodill-conditioned problemsBen–Israel iterative pseudo-inversioniterative regularizationmatrix-vector operationsнеявная итерационная схемаметод простых итерацийплохо обусловленные задачиитерационное псевдообращение Бен–Израэляитерационная регуляризацияматрично-векторные операцииSun L., Wei Y., Zhou J. On an iterative method for solving the least squares problem of rank-deficient systems, Int. J. Comp. Math., 2015, vol. 92, no. 3, pp. 532–541. DOI: https://doi.org/10.1080/00207160.2014.900173.Sun L.,Wei Y., Zhou J. On an iterative method for solving the least squares problem of rankdeficient systems // Int. J. Comp. Math., 2015. vol. 92, no. 3. pp. 532–541. DOI: https://doi.org/10.1080/00207160.2014.900173.Zhdanov A. I. Implicit iterative schemes based on singular decomposition and regularizing algorithms, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2018, vol. 22, no. 3, pp. 549–556. EDN: PJITAX. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1592.Zhdanov A. I. Implicit iterative schemes based on singular decomposition and regularizing algorithms // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2018. vol. 22, no. 3. pp. 549–556. EDN: PJITAX. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1592.Zhdanov A. I. Implicit iterative schemes based on augmented linear systems, Dokl. Math., 2022, vol. 105, no. 2, pp. 131–134. EDN: SNWVMI. DOI: https://doi.org/10.1134/S106456242202020X.Жданов А. И. Неявная итерационная схема на основе расширенных линейных систем // Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 2022. Т. 503. С. 91–94. EDN: COMJBF. DOI: https://doi.org/10.31857/S2686954322020205.Ben–Israel A., Greville T. N. E. Generalized Inverses: Theory and Applications. New York, Springer, 2003, xv+420 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/b97366.Ben–Israel A., Greville T. N. E. Generalized Inverses: Theory and Applications. New York: Springer, 2003. xv+420 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/b97366.Riley J. D. Solving systems of linear equations with a positive definite, symmetric, but possibly ill-conditioned matrix, Math. Comp., 1955, vol. 9, pp. 96–101. DOI: https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1955-0074915-1.Riley J. D. Solving systems of linear equations with a positive definite, symmetric, but possibly ill-conditioned matrix // Math. Comp., 1955. vol. 9. pp. 96–101. DOI: https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1955-0074915-1.Esmaeili H., Erfanifar R., Rashidi M. An efficient Schulz-type method to compute the Moore–Penrose inverse, Int. J. Industr. Math., 2018, vol. 10, no. 2, pp. 221–228.Esmaeili H., Erfanifar R., Rashidi M. An efficient Schulz-type method to compute the Moore–Penrose inverse // Int. J. Industr. Math., 2018. vol. 10, no. 2. pp. 221–228.Toutounian F., Soleymani F. An iterative method for computing the approximate inverse of a square matrix and the Moore–Penrose inverse of a non-square matrix, Appl. Math. Comp., 2013, vol. 224, pp. 671–680. DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.08.086.Toutounian F., Soleymani F. An iterative method for computing the approximate inverse of a square matrix and the Moore–Penrose inverse of a non-square matrix // Appl. Math. Comp., 2013. vol. 224. pp. 671–680. DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.08.086.Golub G. H. van Loan C. F. Matrix Computations. Baltimore, Johns Hopkins Univ., 2013, xxiv+756 pp.Golub G. H. van Loan C. F. Matrix Computations. Baltimore: Johns Hopkins Univ., 2013. xxiv+756 pp.Schulz G. Iterative Berechung der reziproken Matrix, ZAMM, 1933, vol. 13, no. 1, pp. 57–59. DOI: https://doi.org/10.1002/zamm.19330130111.Schulz G. Iterative Berechung der reziproken Matrix // ZAMM, 1933. vol. 13, no. 1. pp. 57–59. DOI: https://doi.org/10.1002/zamm.19330130111.Hansen P. C. REGULARIZATION TOOLS: A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems, Numer. Algor., 1994, vol. 6, pp. 1–53. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02149761.Hansen P. C. REGULARIZATION TOOLS: A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems // Numer. Algor., 1994. vol. 6. pp. 1–53. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02149761.Pillonetto G., Chen T., Chiuso A., et al. Regularized System Identification: Learning Dynamic Models from Data. Cham, Springer, 2022, xxiv+377 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-95860-2.Pillonetto G., Chen T., Chiuso A., et al. Regularized System Identification: Learning Dynamic Models from Data. Cham: Springer, 2022. xxiv+377 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-95860-2.Wang E., Zhang Q., Shen B. et al. Intel math kernel library, In: High-Performance Computing on the Intel® Xeon Phi™. Cham, Springer, 2014, pp. 167–188. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-06486-4_7.Wang E., Zhang Q., Shen B. et al. Intel math kernel library / High-Performance Computing on the Intel® Xeon Phi™. Cham: Springer, 2014. pp. 167–188. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-06486-4_7.Fatica M. CUDA toolkit and libraries, In: 2008 IEEE Hot Chips 20 Symposium (24–26 August 2008). Stanford, CA, USA, 2008, pp. 1–22. DOI: https://doi.org/10.1109/HOTCHIPS.2008.7476520.Fatica M. CUDA toolkit and libraries / 2008 IEEE Hot Chips 20 Symposium (24–26 August 2008). Stanford, CA, USA, 2008. pp. 1–22. DOI: https://doi.org/10.1109/HOTCHIPS.2008.7476520.Zare H., Hajarian M. Determination of regularization parameter via solving a multiobjective optimization problem, Appl. Num. Math., 2020, vol. 156, pp. 542–554. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apnum.2020.05.021.Zare H., Hajarian M. Determination of regularization parameter via solving a multiobjective optimization problem // Appl. Num. Math., 2020. vol. 156. pp. 542–554. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apnum.2020.05.021.