Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Leading Researcher; Namangan Branch; Professor; Dept. of Higher Mathematics
доктор физико-математических наук, профессор; ведущий научный сотрудник; Наманганскоe отделение; профессор; каф. высшей математики
PhD Doctoral Student; Dept. of Higher Mathematics
PhD докторант; каф. высшей математики
In the paper we consider the second boundary value problem in a rectangular domain for an inhomogeneous partial differential equation of the thirdorder with multiple characteristics with variable coefficients. The uniquenessof the solution of the posed problem is proved by the method of energy integrals. The uniqueness theorem is proved. A counter-example is constructedin the case of violation of the conditions of the uniqueness theorem. By themethod of separation of variables, the solution of the problem is sought asa product of two functions X (x) and Y (y). In order to determine Y (y),we generate an ordinary differential equation of the second order with twoboundary conditions at the boundaries of the segment [0, q]. For this problem, the eigenvalues and the corresponding eigenfunctions, when n = 0 andn ∈ N, are found. For determining X (x), we generate an ordinary differentialequation of the third order with three boundary conditions at the boundariesof the segment [0, p]. A new function, which makes the boundary conditionshomogeneous, is introduced. The solution of the given problem is constructedby means of the Green function. For n = 0 and for n ∈ N, the Green functionis individually constructed. It is verified that the obtained Green’s functionssatisfy the boundary conditions and properties of the Green function. Thesolution X (x) is written by virtue of the constructed Green functions. Aftersome transformations, the Fredholm integral equation of the second kind isgenerated and its solution is written in terms of the resolvent. Estimatesfor the resolvent and the Green function are obtained. The uniform convergence of both solution and its possible partial derivatives are shown under the conditions on the given functions. The convergence of the third order derivative of the solution with respect to the variable x is proved using the Cauchy-Bunyakovsky and Bessel inequalities. When justifying the uniformconvergence of the solution, the absence of a “small denominator” is proved.
В прямоугольной области рассматривается вторая краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с кратными характеристиками и с переменными коэффициентами. Единственность решения поставленной задачи доказана методом интегралов энергии. Для случая нарушения условий теоремы единственности построен контрпример.Решение задачи ищется в виде произведения двух функций $X(x)$ и $Y(y)$ с использованием метода разделения переменных. Для определения $Y(y)$ получено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя граничными условиями на границах сегмента $[0,q]$. Для этой задачи найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции при $n=0$ и $n \in N$. Для определения $X(x)$ получено обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка с тремя граничными условиями на границах сегмента $[0,p]$. Решение указанной задачи построено методом функции Грина. Отдельная функция Грина была построена для $n=0$ и отдельная функция Грина для случая, когда $n$ натуральное. Проверено, что найденные функции Грина удовлетворяют граничным условиям и свойствам функции Грина. Решение для $X(x)$ выписано через построенную функцию Грина.После некоторых преобразований получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода, решение которого выписано через резольвенту. Получены оценки резольвенты и функции Грина. Доказана равномерная сходимость решения и возможность его почленного дифференцирования при некоторых условиях на заданные функции. Сходимость производной третьего порядка решения по переменной $x$ доказывается с помощью неравенств Коши–Буняковского и Бесселя. При обосновании равномерной сходимости решения доказывается отсутствие "малого знаменателя".