Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University56293610.14498/vsgtu2046UHLXVKMechanics of SolidsМеханика деформируемого твердого телаResearch ArticleMathematical models of nonlinear dynamics of functionally graded nano/micro/macroscale porous closed cylindrical Kirchhoff-Love shellsМатематические модели нелинейной динамики функционально-градиентных нано/микро макромасштабных пористых замкнутых цилиндрических оболочек Кирхгофа-Ляваhttps://orcid.org/0000-0003-3238-231756435768900T-9860-20179900-0883YakovlevaTatiana V.ЯковлеваТатьяна Владимировна
Russian Federation

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Mathematics and Modeling

кандидат физико-математических наук, доцент; доцент; каф. математики и моделирования

yan-tan1987@mail.ruhttps://www.mathnet.ru/person53186https://orcid.org/0000-0002-4914-764XKryskoVadim A.КрыськоВадим Анатольевич
Russian Federation

Dr. Tech. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Mathematics and Modeling

доктор технических наук, профессор; заведующий кафедрой; каф. математики и моделирования

tak@san.ruhttps://www.mathnet.ru/person33628Yuri Gagarin State Technical University of SaratovСаратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.02092024281961162607202324042024Copyright ©; 2024, Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Copyright ©; 2024, Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)2024Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/562936

The article presents new mathematical models for the dynamics of nonlinear nano/micro/macro-scale functionally graded porous closed cylindrical shells. The Kirchhoff–Love hypothesis is chosen as the kinematic model for the shells. Geometric nonlinearity is considered according to the von Karman model. Nanoeffects are accounted for using by a modified moment theory of elasticity. Variational and differential equations, as well as boundary and initial conditions, are derived from Hamilton’s principle. A proof of the existence of a solution is conducted based on the theory of generalized solutions to differential equations (using methods of Hilbert spaces and variational methods).As examples, nano/micro/macro-scale closed cylindrical shells are considered as systems with "almost" an infinite number of degrees of freedom subjected to banded transverse alternating loading. The Bubnov–Galerkin method in higher approximations is adopted as the method for reducing partial differential equations to the Cauchy problem. Its convergence is investigated.The Cauchy problem is solved using Runge–Kutta methods of fourth to eighth order accuracy and the Newmark method. The application of several numerical methods at each stage of modeling is necessary to ensure the reliability of the obtained results. The study of complex oscillation characteristics of the closed cylindrical nano/micro/macro-scale shell is conducted using nonlinear dynamics methods, which involve constructing signals, phase portraits, applying Fourier analysis, and various wavelet transformations,among which the Morlet wavelet proved to be the most informative.An analysis of the type of chaotic oscillations is carried out based on the spectrum of Lyapunov exponents using the Sano–Sawada method and the dominant exponent through several methods: Kanca, Rosenstein, and Wolf. It is shown that the size-dependent parameter and the consideration of porosity have a significant impact on the nature of the oscillations of cylindrical shells. The phenomenon of hyper-chaos has been discovered.

Построены новые математические модели динамики нелинейных нано/микро/макромасштабных функционально-градиентных пористых замкнутых цилиндрических оболочек. В качестве кинематической модели для оболочек выбрана гипотеза Кирхгофа–Лява. Геометрическая нелинейность учитывается по модели фон Кармана. Наноэффекты учитываются согласно модифицированной моментной теории упругости. Вариационные и дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия получены из принципа Гамильтона. Проводится доказательство теоремы существования решения на основе теории обобщенных решений дифференциальных уравнений (методы гильбертовых пространств, ва-риационные методы).В качестве примеров рассмотрены нано/микро/макромасштабные замкнутые цилиндрические оболочки как системы с «почти» бесконечным числом степеней свободы под действием полосовой поперечной знакопеременной нагрузки. В качестве метода сведения уравнений в частных производных к задаче Коши принят метод Бубнова–Галеркина в высших приближениях. Исследована его сходимость.Задача Коши решена методами Рунге–Кутты от четвертого до восьмого порядков точности и методом Ньюмарка. Применение нескольких численных методов на каждом этапе моделирования необходимо для достоверности получаемых результатов. Исследование характера сложных колебаний замкнутой цилиндрической нано/микро/макромасштабной оболочки проведено методами нелинейной динамики, для этого построены сигналы, фазовые портреты, применены Фурье-анализ и различные вейвлет-преобразования, среди которых вейвлет Морле оказался наиболее информативным.Анализ типа хаотических колебаний проводится на основе спектра показателей Ляпунова методом Сано–Савада и старшего показателя несколькими методами: Канца, Розенштейна, Вольфа. Показано, что величина размерно-зависимого параметра и учет пористости оказывают существенное влияние на характер колебаний цилиндрических оболочек. Обнаружено явление гиперхаоса.

dynamicsporositymodified couple stress theorysolution existence theoremshyper chaosKirchhoff-Love modelдинамикапористостьмодифицированная моментная теория упругоститеоремы существования решениягипер-хаосмодель Кирхгофа-ЛяваThis study was supported by the Russian Science Foundation, project no. 22–71–10083, https://rscf.ru/en/project/22-71-10083/Исследования проведены при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 22–71–10083, https://rscf.ru/project/22-71-10083/)Krysko V. A., Awrejcewicz J., Zhigalov M. V., et al. On the mathematical models of the Timoshenko-type multi-layer flexible orthotropic shells, Nonlinear Dyn., 2018, vol. 92, no. 4, pp. 2093–2118. EDN: XXZWWL. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-018-4183-4.Krysko V. A., Awrejcewicz J., Zhigalov M. V., et al. On the mathematical models of the Timoshenko-type multi-layer flexible orthotropic shells // Nonlinear Dyn., 2018. vol. 92, no. 4. pp. 2093–2118. EDN: XXZWWL. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-018-4183-4.Awrejcewicz J., Krysko V. A., Zhigalov M. V., Krysko A. V. Contact interaction of two rectangular plates made from different materials with an account of physical nonlinearity, Nonlinear Dyn., 2018, vol. 91, no. 3, pp. 1191–1211. EDN: GBOHTC. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-017-3939-6.Awrejcewicz J., Krysko V. A., Zhigalov M. V., Krysko A. V. Contact interaction of two rectangular plates made from different materials with an account of physical nonlinearity // Nonlinear Dyn., 2018. vol. 91, no. 3. pp. 1191–1211. EDN: GBOHTC. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-017-3939-6.Awrejcewicz J., Krysko V. A., Pavlov S. P., et al. Thermoelastic vibrations of a Timoshenko microbeam based on the modified couple stress theory, Nonlinear Dyn., 2020, vol. 99, no. 2, pp. 919–943. EDN: AGXVNQ. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-019-04976-w.Awrejcewicz J., Krysko V. A., Pavlov S. P., et al. Thermoelastic vibrations of a Timoshenko microbeam based on the modified couple stress theory // Nonlinear Dyn., 2020. vol. 99, no. 2. pp. 919–943. EDN: AGXVNQ. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-019-04976-w.Awrejcewicz J., Krysko A., Erofeev N., et al. Quantifying chaos by various computational methods. Part 1: Simple systems, Entropy, 2018, vol. 20, no. 3, 175. EDN: XXGLGX. DOI: https://doi.org/10.3390/e20030175.Awrejcewicz J., Krysko A., Erofeev N., et al. Quantifying chaos by various computational methods. Part 1: Simple systems // Entropy, 2018. vol. 20, no. 3, 175. EDN: XXGLGX. DOI: https://doi.org/10.3390/e20030175.Amabili M., Balasubramanian P., Ferrari G. Travelling wave and non-stationary response in nonlinear vibrations of water-filled circular cylindrical shells: Experiments and simulations, J. Sound Vib., 2016, vol. 381, pp. 220–245. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2016.06.026.Amabili M., Balasubramanian P., Ferrari G. Travelling wave and non-stationary response in nonlinear vibrations of water-filled circular cylindrical shells: Experiments and simulations // J. Sound Vib., 2016. vol. 381. pp. 220–245. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2016.06.026.Amabili M. Nonlinear Mechanics of Shells and Plates: Composite, Soft and Biological Materials. New York, Cambridge Univ. Press, 2018, xvi+568 pp. DOI: https://doi.org/10.1017/9781316422892.Amabili M. Nonlinear Mechanics of Shells and Plates: Composite, Soft and Biological Materials. New York: Cambridge Univ. Press, 2018. xvi+568 pp. DOI: https://doi.org/10.1017/9781316422892.Birger I. A. Some general methods of solution for problems in the theory of plasticity, Prikl. Mat. Mekh., 1951, vol. 15, no. 6, pp. 765–770 (In Russian).Биргер И. А. Некоторые общие методы задач теории пластичности // ПММ, 1951. Т. 15, №6. С. 765–770.Vorovich I. I, Krasovskii Yu. P. On a method of elastic solutions, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1959, vol. 126, no. 4, pp. 740–743 (In Russian).Ворович И. И., Красовский Ю. П. О методе упругих решений // ДАН СССР, 1959. Т. 126, №4. С. 740–743.Volmir A. S. Nelineinaia dinamika plastin i obolochek [The Nonlinear Dynamics of Plates and Shells]. Moscow, Nauka, 1972, 432 pp. (In Russian)Вольмир A. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. M.: Наука, 1972. 432 с.Hamilton W. R. On a general method in dynamics, Philos. Trans. R. Soc. Lond., 1834. part II, pp. 247–308.Hamilton W. R. On a general method in dynamics // Philos. Trans. R. Soc. Lond., 1834. part II. pp. 247–308.Washizu K. Variational Methods in Elasiticity and Plasticity, International Series of Monographs in Aeronautics and Astronautics, vol. 9. Oxford, Pergamon Press, 1968, x+349 pp.Washizu K. Variational Methods in Elasiticity and Plasticity / International Series of Monographs in Aeronautics and Astronautics. vol. 9. Oxford: Pergamon Press, 1968. x+349 pp.Fichera G. Boundary value problems of elasticity with unilateral constraints, In: C. Truesdell (eds) Linear Theories of Elasticity and Thermoelasticity. Berlin, Heidelberg, Springer, 1973, pp. 391–424. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-39776-3_4.Fichera G. Boundary value problems of elasticity with unilateral constraints / C. Truesdell (eds) Linear Theories of Elasticity and Thermoelasticity. Berlin, Heidelberg: Springer, 1973. pp. 391–424. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-39776-3_4.Kupradze V. D., Gegelia T. G., Basheleishvili M. O., Burchuladze T. V. Three-dimensional Problems of the Mathematical Theory of Elasticity and Thermoelasticity, North-Holland Series in applied Mathematics and Mechanics, vol. 25. Amsterdam, New York, Oxford, North-Holland Publ., 1979, xix+929 pp.Kupradze V. D., Gegelia T. G., Basheleishvili M. O., Burchuladze T. V. Three-dimensional Problems of the Mathematical Theory of Elasticity and Thermoelasticity / North-Holland Series in applied Mathematics and Mechanics. vol. 25. Amsterdam, New York, Oxford: North-Holland Publ., 1979. xix+929 pp.Lions J.-L. Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires. Paris, Dunod, Gauthier-Villars, 1969 (In French).Lions J.-L. Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires. Paris: Dunod, Gauthier-Villars, 1969 (In French).Vorovich I. I., Aleksandrov V. M., Babenko V. A. Neklassicheskie smeshannye zadachi teorii uprugosti [Nonclassical Mixed Problems of Elasticity]. Moscow, Nauka, 1974, 455 pp. (In Russian)Ворович И. И., Александров В. М., Бабенко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.Morozov N. F. Izbrannye dvumernye zadachi teorii uprugosti [Selected Two-Dimensional Problems of the Elasticity Theory]. Leningrad, Leningrad State Univ., 1978, 182 pp. (In Russian)Морозов Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: ЛГУ, 1978. 182 с.Kornishin M. S., Isanbaeva F. S. Gibkie plastiny i paneli [Flexible Plates and Panels]. Moscow, Nauka, 1968, 258 pp. (In Russian)Корнишин М. С., Исанбаева Ф. С. Гибкие пластины и панели. M.: Наука, 1968. 258 с.Piechocki W. On the existence of solutions for heated non-linear orthotropic inhomogeneous shallow shells, Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Tech., 1969, vol. 17, pp. 597–601.Piechocki W. On the existence of solutions for heated non-linear orthotropic inhomogeneous shallow shells // Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Tech., 1969. vol. 17. pp. 597–601.Sobolev S. L. Applications of functional analysis in mathematical physics, Translations of Mathematical Monographs, vol. 7. Providence, R.I., American Mathematical Society, 1963, vii+239 pp.Соболев С. Л. Некоторые применения функционалъного анализа в математической физике. Л.: ЛГУ, 1950. 255 с.Vishik M. I. Quasi-linear strongly elliptic systems of differential equations in divergence form, Trans. Mosc. Math. Soc., 1963, vol. 12, pp. 140–208.Вишик М. И. Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму / Тр. ММО, Т. 12. М.: ГИФМЛ, 1963. С. 125–184.Dubinskii Yu. A. Quasilinear elliptic and parabolic equations of arbitrary order, Russian Math. Surveys, 1968, vol. 23, no. 1, pp. 45–91. DOI: https://doi.org/10.1070/RM1968v023n01ABEH001233.Дубинский Ю. А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка // УМН, 1968. Т. 23, №1. С. 45–90.Lions J.-L, Magenes E. Non-homogeneous boundary value problems and applications, vol. I. New York, Springer Verlag, 1972, xvi+357 pp.Lions J.-L, Magenes E. Non-homogeneous boundary value problems and applications. vol. I. New York: Springer Verlag, 1972. xvi+357 pp.Cabrera-Covarrubias F. G., Gómez-Soberón J. M., Almaral-Sánchez J. L., et al. An experimental study of mortars with recycled ceramic aggregates: Deduction and prediction of the stress-strain, Materials, 2016, vol. 9, no. 12, 1029. DOI: https://doi.org/10.3390/ma9121029.Cabrera-Covarrubias F. G., Gómez-Soberón J. M., Almaral-Sánchez J. L., et al. An experimental study of mortars with recycled ceramic aggregates: Deduction and prediction of the stress-strain // Materials, 2016. vol. 9, no. 12, 1029. DOI: https://doi.org/10.3390/ma9121029.Yang F., Chong A. C. M., Lam D. C. C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity, Int. J. Solids Struct., 2002, vol. 39, no. 10, pp. 2731–2743. DOI: https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00152-X.Yang F., Chong A. C. M., Lam D. C. C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity // Int. J. Solids Struct., 2002. vol. 39, no. 10. pp. 2731–2743. DOI: https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00152-X.Yakovleva T. V., Awrejcewicz J., Kruzhilin V. S., Krysko V. A. On the chaotic and hyperchaotic dynamics of nanobeams with low shear stiffness, Chaos, 2021, vol. 31, no. 2, 023107. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0032069.Yakovleva T. V., Awrejcewicz J., Kruzhilin V. S., Krysko V. A. On the chaotic and hyperchaotic dynamics of nanobeams with low shear stiffness // Chaos, 2021. vol. 31, no. 2, 023107. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0032069.Yakovleva T. V., Awrejcewicz J., Krysko A. V., et al. Quantifying chaotic dynamics of nanobeams with clearance, Int. J. Non-Linear Mech., 2022, vol. 144, 104094. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2022.104094.Yakovleva T. V., Awrejcewicz J., Krysko A. V., et al. Quantifying chaotic dynamics of nanobeams with clearance // Int. J. Non-Linear Mech., 2022. vol. 144, 104094. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2022.104094.Farokhi H., Ghayesh M. H. Nonlinear resonant response of imperfect extensible Timoshenko microbeams, Int. J. Mech. Mater. Des., 2017, vol. 13, no. 1, pp. 43–55. DOI: https://doi.org/10.1007/s10999-015-9316-z.Farokhi H., Ghayesh M. H. Nonlinear resonant response of imperfect extensible Timoshenko microbeams // Int. J. Mech. Mater. Des., 2017. vol. 13, no. 1. pp. 43–55. DOI: https://doi.org/10.1007/s10999-015-9316-z.Ke L. L., Wang Y. S., Yang J., Kitipornchai S. Free vibration of size-dependent Mindlin microplates based on the modified couple stress theory, J. Sound Vib., 2012, vol. 331, no. 1, pp. 94–106. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2011.08.020.Ke L. L., Wang Y. S., Yang J., Kitipornchai S. Free vibration of size-dependent Mindlin microplates based on the modified couple stress theory // J. Sound Vib., 2012. vol. 331, no. 1. pp. 94–106. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2011.08.020.Ma H. M., Gao X.-L., Reddy J. N. A non-classical Mindlin plate model based on a modified couple stress theory, Acta Mech., 2011, vol. 220, no. 1–4, pp. 217–235. DOI: https://doi.org/10.1007/s00707-011-0480-4.Ma H. M., Gao X.-L., Reddy J. N. A non-classical Mindlin plate model based on a modified couple stress theory // Acta Mech., 2011. vol. 220, no. 1–4. pp. 217–235. DOI: https://doi.org/10.1007/s00707-011-0480-4.Gulick D. Encounters with Chaos. New York, McGraw-Hill Education, 1992.Gulick D. Encounters with Chaos. New York: McGraw-Hill Education, 1992.Rosenstein M. T., Collins J. J., De Luca C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets, Phys. D: Nonl. Phen., 1993, vol. 65, no. 1–2, pp. 117–134. DOI: https://doi.org/10.1016/0167-2789(93)90009-P.Rosenstein M. T., Collins J. J., De Luca C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Phys. D: Nonl. Phen., 1993. vol. 65, no. 1–2. pp. 117–134. DOI: https://doi.org/10.1016/0167-2789(93)90009-P.Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J A. Determining Lyapunov exponents from a time series, Phys. D: Nonl. Phen., 1985, vol. 16, no. 3, pp. 285–317. DOI: https://doi.org/10.1016/0167-2789(85)90011-9.Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Phys. D: Nonl. Phen., 1985. vol. 16, no. 3. pp. 285–317. DOI: https://doi.org/10.1016/0167-2789(85)90011-9.Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series, Phys. Lett. A, 1994, vol. 185, no. 1, pp. 77–87. DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(94)90991-1.Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. A, 1994. vol. 185, no. 1. pp. 77–87. DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(94)90991-1.Sano M., Sawada Y. Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series, Phys. Rev. Lett., 1985, vol. 55, no. 10, 1082. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.55.1082.Sano M., Sawada Y. Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series // Phys. Rev. Lett., 1985. vol. 55, no. 10, 1082. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.55.1082.Hou F., Wu S., Moradi Z., Shafiei N. The computational modeling for the static analysis of axially functionally graded micro-cylindrical imperfect beam applying the computer simulation, Engineering with Computers, 2022, vol. 38 (Suppl. 4), pp. 3217–3235. DOI: https://doi.org/10.1007/s00366-021-01456-x.Hou F., Wu S., Moradi Z., Shafiei N. The computational modeling for the static analysis of axially functionally graded micro-cylindrical imperfect beam applying the computer simulation // Engineering with Computers, 2022. vol. 38 (Suppl. 4). pp. 3217–3235. DOI: https://doi.org/10.1007/s00366-021-01456-x.