Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University6088310.14498/vsgtu1799ArticlesСтатьиResearch ArticleOn the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulationК теории микрополярной упругости Нейбера. Псевдотензорная формулировкаKovalevVladimir AleksandrovichКовалёвВладимир Александрович

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

доктор физико-математических наук, профессор

vlad_koval@mail.ruMurashkinEugenii ValeryevichМурашкинЕвгений Валерьевич

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

кандидат физико-математических наук, без звания

murashkin@dvo.ruRadayevYuri NikolaevichРадаевЮрий Николаевич

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

доктор физико-математических наук, профессор

y.radayev@gmail.comMoscow City Government University of Management MoscowМосковский городской университет управления Правительства МосквыIshlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of SciencesИнститут проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук31122020244VOL 24, NO4 (2020)ТОМ 24, №4 (2020)75276114022021Copyright ©; 2021, Samara State Technical UniversityCopyright ©; 2021, Авторы, Самарский государственный технический университет2021Samara State Technical UniversityАвторы, Самарский государственный технический университетhttps://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/60883

The present paper deals with a pseudotensor formulation of the Neuber theory of micropolar elasticity. The dynamic equations of the micropolar continuum in terms of relative tensors (pseudotensors) are presented and discussed. The constitutive equations for a linear isotropic micropolar solid is given in the pseudotensor form. The final forms of the dynamic equations for the isotropic micropolar continuum in terms of displacements and microrotations are obtained in terms of relative tensors. The refinements of Neuber's dynamic equations are discussed. Those are also considered in the cylindrical coordinate net.

Рассматривается псевдотензорная формулировка теории микрополярной упругости Нейбера. Приведены и обсуждаются динамические уравнения микрополярного континуума в терминах относительных тензоров (псевдотензоров). Даны определяющие уравнения для линейного изотропного микрополярного твердого тела. Окончательные формы динамических уравнений для изотропного микрополярного континуума в терминах смещений и микровращений получены в терминах относительных тензоров. Устранены недочеты в окончательной форме динамических уравнений Нейбера. Получены динамические уравнения Нейбера в цилиндрической системе координат.

micropolarityelasticitycontinuummicrorotationpseudoscalarrelative tensorweightconstitutive equationмикрополярностьупругостьконтинууммикровращениепсевдоскаляротносительный тензорвесопределяющее уравнениеMaugin G. A., Non-classical continuum mechanics, Advanced Structured Materials, 51, Springer Verlag, Singapore, 2017, xvii+259 pp.Chandrasekhar S., Liquid Crystals, Cambridge University Press, Cambridge, 1992, xvi+460 pp.Goriely A., The mathematics and mechanics of biological growth, Interdisciplinary Applied Mathematics book series, 45, Springer, New York, 2017, xxii+646 pp.Cosserat E., Cosserat F., Theorie des corps deformables, A. Hermann et fils, Paris, 1909, 126 pp.Truesdell C., Toupin R., "The Classical Field Theories", Principles of Classical Mechanics and Field Theory, Encyclopedia of Physics, v. III/1, eds. S. Flügge, Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg, 1960, 226-902Aero E. L., Kuvshinskii E. V., "Fundamental equations of the theory of elastic media with rotationally interacting particles", Soviet Physics-Solid State, 2:7 (1961), 1272-1281Mindlin R. D., Tiersten H. F., "Effects of couple-stresses in linear elasticity", Arch. Rational Mech. Anal., 11:1 (1962), 415-448Mindlin R. D., "Influence of couple-stresses on stress concentrations", Experimental Mechanics, 3:1 (1963), 1-7Neuber H., "Über Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Körper", Acta Mechanica, 2:1 (1966), 48-69Neuber H., "On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua", Applied Mechanics, eds. Görtler H., Springer, Berlin, Heidelberg, 1966, 153-158Neuber H., "On the Effect of Stress Concentration in Cosserat Continua", Mechanics of Generalized Continua, eds. Kröner E., Springer, Berlin, Heidelberg, 1968, 109-113Dyszlewicz J., Micropolar Theory of Elasticity, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, 15, Springer, Berlin, Heidelberg, 2004, xv+345 pp.Radayev Yu. N., "The Lagrange multipliers method in covariant formulations of micropolar continuum mechanics theories", Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 22:3 (2018), 504-517 (In Russian)Nowacki W., Theory of Asymmetric Elasticity, Pergamon Press, Oxford, 1986, viii+383 pp.Veblen O., Thomas T. Y., "Extensions of Relative Tensors", Trans. Amer. Math. Soc., 26:3 (1924), 373-377Veblen O., Thomas T. Y., "The geometry of paths", Trans. Amer. Math. Soc., 25:4 (1923), 551-608Veblen O., Invariants of Quadratic Differential Forms, Cambridge University Press, Cambridge, 1927, 102 pp.Levi-Civita T., The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors), Blackie & Son Limited, London, Glasgow, 1927, 450 pp.Shirokov P. A., Tensor Calculus: Tensor Algebra, ONTI GTTI, Moscow, Leningrad, 1934, 464 pp. (In Russian)Schouten J. A., Tensor Analysis for Physicist, Clarendon Press, Oxford, 1951, x+275 pp.Thomas T. Y., Concepts from Tensor Analysis and Differential Geometry, Mathematics in Science and Engineering, 1, Academic Press, London, New York, 1961, v+119 pp.Sokolnikoff I. S., Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons Inc, New York, 1964, xii+361 pp.Gurevich G. B., Foundations of the Theory of Algebraic Invariants, P. Noordhoff, Gröningen, 1964, viii+418 pp.Synge J. L., Schild A., Tensor Calculus, v. 5, Courier Corporation, New York, 1978, 334 pp.Das A., Tensors: The mathematics of Relativity Theory and Continuum Mechanics, Springer Science & Business Media, New York, 2007, xii+290 pp.Murashkin E. V., Radayev Yu. N., "On a micropolar theory of growing solids", Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 24:3 (2020), 424-444Rosenfeld B. A., "Multidimensional Spaces", A History of Non-Euclidean Geometry, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, 12, Springer, New York, 1988, 247-279