Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Branch; Professor, Dept. of Differential Equations
доктор физико-математических наук, профессор; заведующий отделением; профессор, каф. дифференциальных уравнений
Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Senior Researcher; Associate Professor, Dept. of Differential Equations
кандидат физико-математических наук, доцент; старший научный сотрудник; доцент, каф. дифференциальных уравнений
This article investigates the inverse problem for time-fractional diffusion equations with periodic boundary conditions and integral overdetermination conditions on a rectangular domain. First, the definition of a classical solution to the problem is introduced. Using the Fourier method, the direct problem is reduced to an equivalent integral equation. The existence and uniqueness of the solution to the direct problem are established by employing estimates for the Mittag–Leffler function and generalized singular Gronwall inequalities.In the second part of the work, the inverse problem is examined. This problem is reformulated as an equivalent integral equation, which is then solved using the contraction mapping principle. Local existence and global uniqueness of the solution are rigorously proven. Furthermore, a stability estimate for the solution is derived.The study contributes to the theory of inverse problems for fractional differential equations by providing a framework for analyzing problems with periodic boundary conditions and integral overdetermination. The methods developed in this work can be applied to a wide range of problems in mathematical physics and engineering, where time-fractional diffusion models are increasingly used to describe complex phenomena.
Исследуется обратная задача для уравнений дробно-временной диффузии с периодическими граничными условиями и интегральными условиями переопределения на прямоугольной области. Сначала вводится определение классического решения задачи. Затем с использованием метода Фурье прямая задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению. Существование и единственность решения прямой задачи устанавливаются с помощью оценок для функции Миттаг–Леффлера и обобщенных сингулярных неравенств Гронвалля.Во второй части работы рассматривается обратная задача, которая переформулируется в виде эквивалентного интегрального уравнения, а затем решается с использованием принципа сжимающих отображений. Строго доказываются локальное существование и глобальная единственность решения. Кроме того, получена оценка устойчивости решения.Данное исследование вносит вклад в теорию обратных задач для дробных дифференциальных уравнений, предоставляя основу для анализа задач с периодическими граничными условиями и интегральными условиями переопределения. Разработанные методы могут быть применены к широкому кругу задач в математической физике и инженерии, где дробно-временные модели диффузии все чаще используются для описания сложных явлений.