Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Branch; Professor, Dept. of Differential Equations
доктор физико-математических наук, профессор; заведующий отделением; профессор, каф. дифференциальных уравнений
Teacher; PhD Student; Dept. of Differential Equations
преподаватель; базовый докторант; каф. дифференциальных уравнений
Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Senior Researcher; Associate Professor, Dept. of Differential Equations
This study investigates an inverse problem involving the determination of the kernel function in a multidimensional integrodifferential pseudo-parabolic equation of the third order. The study begins with an analysis of the direct problem, where we examine an initial-boundary value problem with homogeneous boundary conditions for a known kernel. Employing the Fourier method, we construct the solution as a series expansion in terms of eigenfunctions of the Laplace operator with Dirichlet boundary conditions. A crucial component of our analysis involves deriving a priori estimates for the series coefficients in terms of the kernel function norm, which play a fundamental role in our subsequent treatment of the inverse problem.For the inverse problem, we introduce an overdetermination condition specifying the solution value at a fixed spatial point (pointwise measurement). This formulation leads to a Volterra-type integral equation of the second kind. By applying the Banach fixed-point principle within the framework of continuous functions equipped with an exponentially weighted norm, we establish the global existence and uniqueness of solutions to the inverse problem. Our results demonstrate the well-posedness of the problem underconsideration.
Данная работа посвящена исследованию обратной задачи определения ядра в многомерном интегро-дифференциальном псевдопараболическом уравнении третьего порядка. Исследование начинается с анализа прямой задачи с известной функцией ядра при рассмотрении начально-краевой задачи с однородными граничными условиями. Методом Фурье строится решение в виде ряда по собственным функциям задачи Дирихле для оператора Лапласа. Важной частью анализа является получение априорных оценок коэффициентов ряда через норму функции ядра, которые играют ключевую роль при изучении обратной задачи.Для обратной задачи вводится условие переопределения, задающее значение решения в фиксированной точке пространственной области (точечное измерение). Эта формулировка сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Путем применения принципа сжимающих отображений Банаха в классе непрерывных функций с экспоненциально взвешенной нормой устанавливаются глобальная существование и единственность решения обратной задачи. Полученные результаты демонстрируют корректную разрешимость рассматриваемой проблемы.