Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University64181110.14498/vsgtu2131DMJLWEMathematical Modeling, Numerical Methods and Software ComplexesМатематическое моделирование, численные методы и комплексы программResearch ArticleFinite approximation methods for two-dimensional sets and their application to geometric optimization problemsМетоды аппроксимации двумерных множеств конечными множествами и их приложение к некоторым геометрическим задачам оптимизацииhttps://orcid.org/0000-0001-6053-20667103271245S-2650-2019NefedovVictor N.НефедовВиктор Николаевич
Russian Federation

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Mathematical Cybernetics

кандидат физико-математических наук, доцент; доцент; каф. 805 математической кибернетики

nefedovvn54@yandex.ruhttps://www.mathnet.ru/person63464https://orcid.org/0000-0002-8507-958457217847423AAC-4074-20208938-6910SvoykinFedor V.СвойкинФедор Владимирович
Russian Federation

Cand. Techn. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Forestry Technology

кандидат технических наук, доцент; доцент; каф. технологии лесозаготовительных производств

svoykin_fv@mail.ruhttps://www.mathnet.ru/person228056https://orcid.org/0000-0001-8309-308657202449216Y-6983-20188622-4854GaribyanBoris A.ГарибянБорис Александрович
Russian Federation

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Mathematical Cybernetics

кандидат физико-математических наук, доцент; доцент; каф. 805 математической кибернетики

bagarib@yandex.ruhttps://www.mathnet.ru/person228057https://orcid.org/0000-0002-2208-687557211373896ABB-3999-20206693-0850RyapukhinAnatoliy V.РяпухинАнатолий Вячеславович
Russian Federation

Senior Lecturer; Dept. of Design and Certification of Aviation Equipment

старший преподаватель; каф. 101 проектирования и сертификации авиационной техники

anatoliiruapukhin@yandex.ruhttps://www.mathnet.ru/person145977https://orcid.org/0009-0009-6289-2984572201876176309-8365KorolkoNikolay S.КоролькоНиколай Сергеевич
Russian Federation

Postgraduate Research Student; Dept. of Forestry Technology

аспирант; каф. технологии лесозаготовительных производств

kns89lta@mail.ruhttps://www.mathnet.ru/person228087Moscow Aviation Institute (National Research University)Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)Saint Petersburg State Forest Technical University under name of S. M. KirovСанкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова200520252911291571211202427012025Copyright ©; 2025, Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Copyright ©; 2025, Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)2025Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/641811

This study investigates the problem of approximating closed bounded sets in two-dimensional real space by finite subsets with a given accuracy in the Hausdorff metric. The main focus is on developing an effective approximation method for the class of sets defined by stepwise systems of inequalities.The proposed method is based on constructing special grid structures that allow controlling the approximation accuracy through a parameter $\tau > 0$. Corresponding theoretical statements about the properties of such approximations are proved.The problem of finding an optimal piecewise-linear path between two points with a single turn under angle constraints is examined in detail. The developed methods are applicable for solving various geometric optimization problems.

Исследуется задача аппроксимации замкнутых ограниченных множеств в двумерном вещественном пространстве конечными подмножествами с заданной точностью в метрике Хаусдорфа. Основное внимание уделено разработке эффективного метода аппроксимации для класса множеств, задаваемых ступенчатыми системами неравенств.Предлагаемый метод основан на построении специальных сеточных структур, позволяющих контролировать точность аппроксимации через параметр $\tau > 0$. Доказаны соответствующие теоретические утверждения о свойствах таких аппроксимаций.Детально рассмотрена задача поиска оптимального кусочно-линейного маршрута между двумя точками с одним поворотом при ограничениях на угол поворота. Предложенные методы могут найти применение для решения некоторых геометрических задач оптимизации.

mathematical optimizationdiscrete approximation of closed setsHausdorff topologyangular path constraintматематическая оптимизациядискретная аппроксимация замкнутых множествтопология Хаусдорфаограничение углового путиVasil’ev F. P. Chislennye metody resheniia ekstremal’nykh zadach [Numerical Methods for Solving of Extremal Problems]. Moscow, Nauka, 1988, 550 pp. (In Russian). EDN: UTKWUO.Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 550 с. EDN: UTKWUO.Nesterov Yu. E. Vvedenie v vypukluiu optimizatsiiu [Introduction to Convex Optimization]. Moscow, Moscow Center for Continuous Mathematical Education, 2010, 280 pp. (In Russian). EDN: SDSFYV.Нестеров Ю. Е. Введение в выпуклую оптимизацию. М.: МЦНМО, 2010. 280 с. EDN: SDSFYV.Nefedov V. N. Some problems of solving Lipschitzian global optimization problems using the branch and bound method, Comput. Math. Math. Phys., 1992, vol. 32, no. 4, pp. 433–445. EDN: XKQMEC.Нефедов В. Н. Некоторые вопросы решения липшицевых задач глобальной оптимизации с использованием метода ветвей и границ // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1992. Т. 32, №4. С. 512–529.Evtushenko Yu. G. Numerical methods for finding global extrema (Case of a non-uniform mesh), U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1971, vol. 11, no. 6, pp. 38–54. EDN: XOYJSF. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(71)90065-6.Евтушенко Ю. Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор на неравномерной сетке) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1971. Т. 11, №6. С. 1390–1403.Leonov V. V. The method of coverings for seeking a global maximum of a function of several variables, In: Issledovanie po kibernetike [Research in Cybernetics]. Moscow, Sov. Radio, 1970, pp. 41–52 (In Russian).Леонов В. В. Метод покрытий для отыскания глобального максимума функций от многих переменных / Исследования по кибернетике. М.: Сов. радио, 1970. С. 41–52.Piyavskii S. A. An algorithm for finding the absolute extremum of a function, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1972, vol. 12, no. 4, pp. 57–67. EDN: TTTJWV. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(72)90115-2.Пиявский С. А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстремума функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972. Т. 12, №4. С. 888–896.Potapov M. A. Methods of non-uniform coverings and their application for solving problems of global optimization in a dialogue mode, Diss. Cand. Phys. Math. Sci. Moscow, 1984, 104 pp. (In Russian). EDN: NPAFWT.Потапов М. А. Методы неравномерных покрытий и их применение для решения задач глобальной оптимизации в диалоговом режиме: Дисс. . . . канд. физ.-матем. наук. Москва, 1984. 104 с. EDN: NPAFWT.Nefedov V. N. On a method of global maximization of a function of several variables on a rectangular prism, Dep. in VINITI, 1.06.85, no. 377-85 DEP. Moscow, 1985 (In Russian).Нефедов В. Н. Об одном методе глобальной максимизации функции нескольких переменных на параллелепипеде: Деп. в ВИНИТИ 1.06.85, № 377–85 ДЕП. М., 1985.Evtushenko Yu. G., Rat’kin V. A. The method of half-divisions for global optimization of a function of many variables, Sov. J. Comput. Syst. Sci., 1987, vol. 25, no. 5, pp. 75–84.Евтушенко Ю. Г., Ратькин В. А. Метод половинных делений для глобальной оптимизации функции многих переменных // Изв. АН СССР. Техн. киберн., 1987. №1. С. 119–127.Nefedov V. N. The search for a global maximum of a function of several variables in a set specified by constraints of the inequality type, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1987, vol. 27, no. 1, pp. 23–32. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(87)90114-5.Нефедов В. Н. Отыскание глобального максимума функции нескольких переменных на множестве, заданном ограничениями типа неравенств // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1987. Т. 27, №1. С. 35–51.Ishenko A. V., Kireev I. V. The algorithm for generation of two-dimensional embedded grids, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2009, vol. 2, no. 1, pp. 83–90 (In Russian). EDN: JWKGRP.Ищенко А. В., Киреев И. В. Алгоритм построения двумерных вложенных сеток // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2009. Т. 2, №1. С. 83–90. EDN: JWKGRP.Nefedov V. N. Approximation of a Pareto set, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1984, vol. 24, no. 4, pp. 19–28. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(84)90225-8.Нефедов В. Н. Об аппроксимации множества Парето // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984. Т. 24, №7. С. 993–1007.Nefedov V. N. Approximation of a set of Pareto-optimal solutions, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1986, vol. 26, no. 1, pp. 99–107. DOI: https://doi.org/https://doi.org/10.1016/0041-5553(86)90192-8.Нефедов В. Н. Об аппроксимации множества оптимальных по Парето решений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1986. Т. 26, №2. С. 163–176.Hausdorff F. Set Theory. New York, Dover Publ., 1944, 307 pp.Hausdorff F. Set Theory. New York: Dover Publ., 1944. 307 pp.Skvortsov V. A. Primery metricheskikh prostranstv [Examples of Metric Spaces], Matematicheskoe Prosveshchenie, vol. 16. Moscow, Moscow Center for Continuous Mathematical Education, 2012, 27 pp. (In Russian). EDN: QJZGML.Скворцов В. А. Примеры метрических пространств / Библиотека «Математическое просвещение». Т. 16. М.: МЦНМО, 2012. 27 с. EDN: QJZGML.