Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of General Mechanics
доктор физико-математических наук; профессор; каф. общей механики
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics
кандидат физико-математических наук; доцент; каф. прикладной математики
Postgraduate Student; Dept. of General Mechanics
аспирант; кафедра общей механики
When solving boundary value problems about the construction of the stress-strain state of an linearly elastic, isotropic body, an important step is finding the internal state generated by the forces, distributed over the area occupied by the body. In the classical version, there is a numerical method for estimating the state at any point of the body based on the singular-integral representation of Cesaro. In the variant of conservative bulk forces, it is possible to construct solutions in an analytical form. With arbitrary regular effects of mechanical and other physical nature the force is not potential and the approaches of Papkovich–Neiber and Arzhanykh–Slobodyansky are powerless. In addition, the solution of nonlinear problems of elastostatics by means of the perturbation method, as well as the use of the Schwarz algorithm in solving problems for the study of multi-cavity solids, lead to the need to solve a sequence of linear problems. At the same time, fictitious bulk forces are necessarily generated, which as a rule have a polynomial nature.
The method proposed by the authors earlier for estimating the stress-strain state of a solid caused by the action of polynomial bulk forces represented in Cartesian coordinates has been improved. The internal state is restored in strict accordance with the forces statically acting on a simply connected bounded linear-elastic body. An effective method for constructing a solution and an algorithm for its computer implementation are proposed and described. Test calculations are demonstrated. The analysis of the state of the ball under the action of a superposition of bulk forces of different nature at different ratios of parameters that emphasize the level of influence of these factors is performed. The results are presented graphically. Conclusions are drawn:
a) the procedure for writing out the stress-strain state on the volume forces represented by polynomials from Cartesian coordinates is justified;b) the algorithm is implemented in the Mathematica computing system and tested on high-order polynomials;c) the analysis of the quasi-static state of a linear-elastic isotropic ball exposed to the forces of gravity and inertia at various combinations of parameters corresponding to the variants of slow, fast, compensatory (inertial forces are proportional to the gravitational) rotations is carried out.
The prospects for the development of a new approach to the class of bounded and unbounded bodies containing an arbitrary number of cavities are noted.
При решении краевых задач о построении напряженно-деформированного состояния линейно-упругого изотропного тела важным шагом является отыскание внутреннего состояния, порожденного силами, распределенными по занятой телом области. В классическом варианте существует численный способ оценки состояния в любой точке тела, базирующийся на сингулярно-интегральном представлении Чезаро. В варианте консервативных объемных сил возможно выписывание решений в аналитической форме. При произвольных регулярных воздействиях механической и иной физической природы силы потенциальными не являются и подходы Папковича–Нейбера и Аржаных–Слободянского оказываются бессильными. Кроме этого, решение нелинейных задач эластостатики средствами метода возмущений, а также использование при решении задач для исследования многополостных тел алгоритма Шварца приводят к необходимости решения последовательности линейных задач. При этом в обязательном порядке зарождаются фиктивные объемные силы, имеющие, как правило, полиномиальный характер.
Разработанный авторами ранее метод оценки напряженно-деформированного состояния тела, вызванного воздействием полиномиальных объемных сил, представляемых в декартовых координатах, получил развитие. Внутреннее состояние восстанавливается в строгом соответствии с силами, статически воздействующими на односвязное ограниченное линейно-упругое тело. Предложены и описаны эффективный метод построения решения и алгоритм его компьютерной реализации. Продемонстрированы тестовые расчеты. Выполнен анализ состояния шара, находящегося под воздействием суперпозиции объемных сил различного характера при различных соотношениях параметров, подчеркивающих уровень влияния этих факторов. Результаты оформлены графически. Сделаны следующие выводы:
а) обоснована процедура выписывания напряженно-деформированного состояния от объемных сил, представляемых полиномами от декартовых координат;б) алгоритм реализован в вычислительной системе Mathematica и проведено тестирование на многочленах высокого порядка;в) проведен анализ квазистатического состояния линейно-упругого изотропного шара, подверженного воздействию сил гравитации и инерции при различных сочетаниях параметров, отвечающих вариантам медленного, быстрого, компенсационного (инерционные силы соразмерны с гравитационными) вращений.
Отмечены перспективы развития нового подхода на класс ограниченных и неограниченных тел, содержащих произвольное число полостей.