Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University6668310.14498/vsgtu1859Differential Equations and Mathematical PhysicsДифференциальные уравнения и математическая физикаResearch ArticleThe second initial-boundary value problem with integral displacement for second-order hyperbolic and parabolic equationsВторая начально-краевая задача с интегральным смещением для гиперболических и параболических уравнений второго порядкаhttps://orcid.org/0000-0003-4376-400355892833300R-5686-20169132-3234KozhanovAlexander I.КожановАлександр Иванович

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Chief Researcher; Lab. of Differential and Difference Equations1; Professor; Dept. of Higher Mathematics2

доктор физико-математических наук, профессор; главный научный сотрудник; лаб. дифференциальных и разностных уравнений1; профессор; каф. высшей математики2

kozhanov@math.nsc.ruhttp://www.mathnet.ru/person18220https://orcid.org/0000-0002-3284-530257221800436DyuzhevaAlexandra V.ДюжеваАлександра Владимировна

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Higher Mathematics

кандидат физико-математических наук; доцент; каф. высшей математики

duzhevaalexandra@yandex.ruhttp://www.mathnet.ru/person53016Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of SciencesИнститут математики им. С. Л. Соболева СО РАНSamara State Technical UniversityСамарский государственный технический университет300920212534234342804202125082021Copyright ©; 2021, Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Copyright ©; 2021, Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)2021Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/66683

In this paper, we study the solvability of some non-local analogs of the second initial-boundary value problem for multidimensional hyperbolic and parabolic equations of the second order. We prove the existence and uniqueness theorems of regular solutions (which have all Sobolev generalized derivatives that are summable with a square and are included in the equation). Some generalization and amplification of the obtained results are also given.

Изучается разрешимость некоторых нелокальных аналогов второй начально-краевой задачи для многомерных гиперболических и параболического уравнений второго порядка. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все суммируемые с квадратом обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений. Приводятся также некоторые обобщения и усиления полученных результатов.

hyperbolic equationsparabolic equationsintegral boundary conditionsnonlocal problemsintegral conditionsregular solutionsuniquenessexistenceгиперболические уравненияпараболические уравненияграничные условия интегрального виданелокальные задачиинтегральные условиярегулярные решенияединственностьсуществованиеThe work was carried out with the financial support of the Ministry of education and science of the Russian Federation in the framework of state task no. 0778–2020–0005.Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания № 0778–2020–0005.Cannon J. R. The solution of heat equation subject to the specification of energy, Quart. Appl. Math., 1963, vol. 21, no. 2, pp. 155–160. https://doi.org/10.1090/qam/160437Cannon J. R. The solution of heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math., 1963. vol. 21, no. 2. pp. 155–160. https://doi.org/10.1090/qam/160437Kamynin L. I. A boundary value problem in the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition, U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1964, vol. 4, no. 6, pp. 33–59. https://doi.org/10.1016/0041-5553(64)90080-1Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964. Т. 4, № 6. С. 1006–1024.Ionkin N. I. The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition, Differ. Uravn., 1977, vol. 13, no. 2, pp. 294–304 (In Russian).Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Диффер. уравн., 1977. Т. 13, № 2. С. 294–304.Bouziani A., Benouar N.-E. Mixed problem with integral conditions for a third order parabolic equation, Kobe J. Math., 1998, vol. 15, no. 1, pp. 47–58.Bouziani A., Benouar N.-E. Mixed problem with integral conditions for a third order parabolic equation // Kobe J. Math., 1998. vol. 15, no. 1. pp. 47–58.Bouziani A. On a class of parabolic equations with a nonlocal boundary condition, Bull. Cl. Sci., Acad. R. Belg., 1999, vol. 10, no. 1, pp. 61–77. https://doi.org/10.3406/barb.1999.27977Bouziani A. On a class of parabolic equations with a nonlocal boundary condition // Bull. Cl. Sci., Acad. R. Belg., 1999. vol. 10, no. 1. pp. 61–77. https://doi.org/10.3406/barb.1999.27977Gordeziani D. G., Avalishvili G. A. On the constructing of solutions of the nonlocal initial boundary value problems for one-dimensional medium oscillation equations, Matem. Mod., 2000, vol. 12, no. 1, pp. 94–103 (In Russian).Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделирование, 2000. Т. 12, № 1. С. 94–103.Ionkin N. I., Morozova V. A. The two-dimensional heat equation with nonlocal boundary conditions, Differ. Equ., 2000, vol. 36, no. 7, pp. 982–987. https://doi.org/10.1007/BF02754498Ионкин Н. И., Морозова В. А. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Диффер. уравн., 2000. Т. 36, № 7. С. 884–888.Pulkina L. S. A nonlocal problem with integral conditions for a hyperbolic equation, Differ. Equ., 2004, vol. 40, no. 7, pp. 947–953. https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000047025.64101.16Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Диффер. уравн., 2004. Т. 40, № 7. С. 887–892.Ivanchov N. I. Boundary value problems for a parabolic equation with integral conditions, Differ. Equ., 2004, vol. 40, no. 4, pp. 591–609. https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000035796.56467.44Иванчов Н. И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями // Диффер. уравн., 2004. Т. 40, № 4. С. 547–564.Kozhanov A. I., Pulkina L. S. On the solvability of boundary value problems with a nonlocal boundary condition of integral form for multidimensional hyperbolic equations, Differ. Equ., 2006, vol. 42, no. 9, pp. 1233–1246. https://doi.org/10.1134/S0012266106090023Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Диффер. уравн., 2006. Т. 42, № 9. С. 1166–1179.Abdrakhmanov A. M., Kozhanov A. I. A problem with a nonlocal boundary condition for one class of odd-order equations, Russian Math. (Iz. VUZ), 2007, vol. 51, no. 5, pp. 1–10. https://doi.org/10.3103/S1066369X07050015Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Изв. вузов. Матем., 2007. № 5. С. 3–12.Kozhanov A. I. On the solvability of boundary value problems with nonlocal and integral conditions for parabolic equations, Nonlinear Boundary-Value Problems, 2010, vol. 20, pp. 54–76 (In Russian). http://iamm.su/upload/iblock/e5f/54_76.pdfКожанов А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений // Нелинейные граничные задачи, 2010. Т. 20. С. 54–76. http://iamm.su/upload/iblock/e5f/54_76.pdfKozhanov A. I., Pulkina L. S. On the solvability of some boundary value problems with a shift for linear hyperbolic equations, Mathematical Journal (Almaty), 2009, vol. 9, no. 2, pp. 78–92 (In Russian).Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Математический журнал (Алматы), 2009. Т. 9, № 2. С. 78–92.Kozhanov A. I. On the solvability of spatially nonlocal problems with conditions of integral form for some classes of nonstationary equations, Differ. Equ., 2015, vol. 51, no. 8, pp. 1043–1050. https://doi.org/10.1134/S001226611508008XКожанов А. И. О разрешимости пространственно-нелокальных задач с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений // Диффер. уравн., 2015. Т. 51, № 8. С. 1048–1055. https://doi.org/10.1134/S0374064115080087Popov N. S. Solvability of a boundary value problem for a pseudoparabolic equation with nonlocal integral conditions, Differ. Equ., 2015, vol. 51, no. 3, pp. 362–375. https://doi.org/10.1134/S0012266115030076Попов Н. С. Разрешимость краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальными интегральными условиями // Диффер. уравн., 2015. Т. 51, № 3. С. 359–372. https://doi.org/10.1134/S0374064115030073Popov N. S. On the solvability of boundary value problems for multidimensional parabolic equations of fourth order with nonlocal boundary condition of integral form, Mathematical notes of NEFU, 2016, vol. 23, no. 1, pp. 79–86 (In Russian).Попов Н. С. О разрешимости краевых задач для многомерных параболических уравнений четвертого порядка с нелокальным граничным условием интегрального вида // Математические заметки СВФУ, 2016. Т. 23, № 1. С. 79–86.Danyliuk I. M., Danyliuk A. O. Neumann problem with the integro-differential operator in the boundary condition, Math. Notes, 2016, vol. 100, no. 5, pp. 687–694. https://doi.org/10.1134/S0001434616110055Данилюк И. М., Данилюк А. О. Задача Неймана с интегро-дифференциальным оператором в краевом условии // Матем. заметки, 2016. Т. 100, № 5. С. 701–709. https://doi.org/10.4213/mzm11013Pulkina L. S. Nonlocal problems for hyperbolic equations from the viewpoint of strongly regular boundary conditions, Electron. J. Differential Equations, 2020, vol. 2020, no. 28, pp. 1–20. https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2020/28/abstr.htmlPulkina L. S. Nonlocal problems for hyperbolic equations from the viewpoint of strongly regular boundary conditions // Electron. J. Differential Equations, 2020. vol. 2020, no. 28. pp. 1–20. https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2020/28/abstr.htmlBažant Z. P., Jirásek M. Nonlocal integral formulations of plasticity and damage: Survey of progress, J. Eng. Mech., 2002, vol. 128, no. 1, pp. 1119–1149. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119)Bažant Z. P., Jirásek M. Nonlocal integral formulations of plasticity and damage: Survey of progress // J. Eng. Mech., 2002. vol. 128, no. 1. pp. 1119–1149. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119)Sobolev S. L. Nekotorye primeneniia funktsional’nogo analiza v matematicheskoi fizike [Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1988, 334 pp. (In Russian)Соболев C. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с.Ladyzhenskaya O. A., Ural'tseva N. N. Lineinye i kvazilineinye uravneniia ellipticheskogo tipa [Linear and Quasilinear Equations of Elliptic Type]. Moscow, Nauka, 1973, 736 pp. (In Russian)Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 736 с.Triebel H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, North-Holland Mathematical Library, vol. 18. Amsterdam, North-Holland, 1978, 528 pp. https://doi.org/10.1016/s0924-6509(09)x7004-2Triebel H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators / North-Holland Mathematical Library. vol. 18. Amsterdam: North-Holland, 1978. 528 pp. https://doi.org/10.1016/s0924-6509(09)x7004-2Trinogin V. A. Funktsional'nyi analiz [Functional Analysis]. Moscow, Nauka, 1980, 495 pp. (In Russian)Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 495 с.24. Liu S., Triggiani R. An inverse problem for a third order PDE arising in high-intensity ultrasound: Global uniqueness and stability by one boundary measurement, J. Inv. Ill-posed Problems, 2013, no. 6, pp. 825–869. https://doi.org/10.1515/jip-2012-0096Liu S., Triggiani R. An inverse problem for a third order PDE arising in high-intensity ultrasound: Global uniqueness and stability by one boundary measurement // J. Inv. Ill-posed Problems, 2013. no. 6. pp. 825–869. https://doi.org/10.1515/jip-2012-0096