Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University69127710.14498/vsgtu2144DZUMDJMechanics of SolidsМеханика деформируемого твердого телаResearch ArticleOn quadratic corrections of constitutive equations for a hemitropic micropolar elastic solidО квадратичных поправках определяющих уравнений для гемитропного микрополярного упругого телаhttps://orcid.org/0000-0002-3267-474212760003400F-4192-2014MurashkinEvgenii V.МурашкинЕвгений Валерьевич
Russian Federation

Cand. Phys. & Math. Sci., PhD, MD, Senior Researcher, Lab. of Modeling in Solid Mechanics

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, лаб. моделирования в механике деформируемого твердого тела

murashkin@ipmnet.ruhttps://www.mathnet.ru/rus/person53045https://orcid.org/0000-0002-0866-21516602740688J-8505-2019RadayevYuri N.РадаевЮрий Николаевич
Russian Federation

D.Sc. (Phys. & Math. Sci.), Ph.D., M.Sc., Professor, Leading Researcher, Lab. of Modeling in Solid Mechanics

доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, лаб. моделирования в механике деформируемого твердого тела

radayev@ipmnet.ruhttps://www.mathnet.ru/rus/person39479Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of SciencesИнститут проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН2107202529227429324092025Copyright ©; 2025, Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Copyright ©; 2025, Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)2025Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/691277

In the present paper, cubic approximations of energy forms for the potentials of force and couple stresses in hemitropic micropolar elastic solids are proposed and discussed. H/E/A-representations for these potentials were introduced in earlier studies. However, the A-form allows us to obtain a cubic approximation for the stress potential in the form of a polynomial combination of invariants, comprising integer powers of individual and joint base rational algebraic invariants and pseudoinvariants. Some of these pseudoinvariants have “pseudo-tensor pre-images” that are sensitive to mirror reflections and inversions of three-dimensional space.Within the framework of this study, a complete irreducible set of individual and joint linear, quadratic, and cubic integer rational algebraic invariants is obtained for a set consisting of the symmetric and antisymmetric parts of the asymmetric strain tensor and the wryness tensor. A cubic energy form for a hemitropic micropolar solid is determined, and a complete set of 37 constitutive moduli is specified. Additionally, constitutive equations for force and couple stresses in arbitrary curvilinear coordinates are derived, including quadratic corrections.

Исследуются вопросы построения кубических аппроксимаций энергетических форм для потенциалов силовых и моментных напряжений гемитропных микрополярных упругих тел. Ранее были предложены H/E/A-представления для указанных энергетических форм. В частности, А-форма позволяет получить кубическую аппроксимацию потенциала напряжений в виде полиномиальной линейной комбинации рациональных гемитропных инвариантов, некоторые из «псевдотензорных прообразов» которых обладают чувствительностью к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного пространства.В рамках данного исследования получен полный неприводимый набор индивидуальных и совместных гемитропных целых рациональных алгебраических инвариантов для системы, состоящей из симметричных и антисимметричных частей асимметричного тензора деформаций и тензора изгиба-кручения. Полученный набор инвариантов используется для построения кубической энергетической формы гемитропного тела и определения полного набора из 37 определяющих постоянных. Выведены определяющие уравнения для силовых и моментных напряжений, включающие квадратичные поправки и справедливые в произвольной системе криволинейных координат.

algebraic weightpseudotensornanoscalemicroscaleenergy forminteger rational algebraic invariantirreducible system of invariantscubic approximationhemitropic micropolar elastic solidалгебраический веспсевдотензорнаномасштабмикромасштабэнергетическая формацелочисленный рациональный алгебраический инвариантнеприводимая система инвариантовкубическая аппроксимациягемитропное микрополярное упругое телоThe work was carried out on the topic of the state assignment (state registration no. 124012500437-9).Работа выполнена по теме государственного задания (государственный регистрационный номер 124012500437-9).Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps déformables. Paris, Herman et Fils, 1909, vi+226 pp.Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps déformables. Paris: Herman et Fils, 1909. vi+226 pp.Kessel S. Lineare Elastizitätstheorie des anisotropen Cosserat-Kontinuums, Abh. Braunschw. Wiss. Ges., 1964, vol. 16, pp. 1–22. DOI: https://doi.org/10.24355/dbbs.084-201301181342-0.Kessel S. Lineare Elastizitätstheorie des anisotropen Cosserat-Kontinuums // Abh. Braunschw. Wiss. Ges., 1964. vol. 16. pp. 1–22. DOI: https://doi.org/10.24355/dbbs.084-201301181342-0.Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua, In: Applied Mechanics; eds. H. Görtler. Berlin, Heidelberg, Springer, 1966, pp. 153–158. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-29364-5_16.Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua / Applied Mechanics; eds. H. Görtler. Berlin, Heidelberg: Springer, 1966. pp. 153–158. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-29364-5_16.Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity, Course held at the Department for Mechanics of Deformable Bodies, July 1970, Udine, International Centre for Mechanical Sciences. Courses and Lectures, vol. 25. Wien, New York, Springer, 1972, 286 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9.Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity: Course held at the Department for Mechanics of Deformable Bodies, July 1970, Udine / International Centre for Mechanical Sciences. Courses and Lectures. vol. 25. Wien, New York: Springer, 1972. 286 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9.Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, vol. 15. Berlin, Springer, 2004, xv+356 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7.Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity / Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. vol. 15. Berlin: Springer, 2004. xv+356 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7.Besdo D. Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat-Kontinuums, Acta Mech., 1974, vol. 20, no. 1, pp. 105–131. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01374965.Besdo D. Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat-Kontinuums // Acta Mech., 1974. vol. 20, no. 1. pp. 105–131. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01374965.Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, Pergamon Press, 1986, viii+383 pp.Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford: Pergamon Press, 1986. viii+383 pp.Radayev Yu. N. The Lagrange multipliers method in covariant formulations of micropolar continuum mechanics theories, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2018, vol. 22, no. 3, pp. 504–517 (In Russian). EDN: YOYJQD. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1635.Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2018. Т. 22, №3. С. 504–517. EDN: YOYJQD. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1635.Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of relative tensors, Trans. Amer. Math. Soc., 1924, vol. 26, no. 3, pp. 373–377. DOI: https://doi.org/10.2307/1989146.Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of relative tensors // Trans. Amer. Math. Soc., 1924. vol. 26, no. 3. pp. 373–377. DOI: https://doi.org/10.2307/1989146.Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 24. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1927, viii+102 pp.Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms / Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. vol. 24. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1927. viii+102 pp.Gurevich G. B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, The Netherlands, P. Noordhoff, 1964, viii+429 pp.Gurevich G. B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, The Netherlands: P. Noordhoff, 1964. viii+429 pp.Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford, Clarendon Press, 1951, 434 pp.Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford: Clarendon Press, 1951. 434 pp.Synge J. L., Schild A. Tensor Calculus. New York, Dover Publ., 1978, xi+324 pp.Synge J. L., Schild A. Tensor Calculus. New York: Dover Publ., 1978. xi+324 pp.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Reducing natural forms of hemitropic energy potentials to conventional ones, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 4, pp. 108–115 (In Russian). EDN: DTZTJY. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.54.4.009.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Приведение естественных форм гемитропных энергетических потенциалов к конвенциональным // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2022. №4. С. 108–115. EDN: DTZTJY. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.54.4.009.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On two base natural forms of asymmetric force and couple stress tensors of potential in mechanics of hemitropic solids, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 3, pp. 86–100 (In Russian). EDN: YOEHQV. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.53.3.010.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2022. №3. С. 86–100. EDN: YOEHQV. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.53.3.010.Murashkin E. V. On the relationship of micropolar constitutive parameters of thermodynamic state potentials, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 1, pp. 110–121 (In Russian). EDN: JXXIAX. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.55.1.012.Мурашкин Е. В. О связи микрополярных определяющих параметров термодинамических потенциалов состояния // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2022. №1. С. 110–121. EDN: JXXIAX. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.55.1.012.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Wave criteria for ultratropic micropolar elastic solids, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2023, no. 4, pp. 128–138 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2024.62.4.009.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Волновые критерии ультратропности микрополярных упругих тел // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2023. №4. С. 128–138. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2024.62.4.009.Radayev Yu. N. Tensors with constant components in the constitutive equations of hemitropic micropolar solids, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 5, pp. 1517–1527. EDN: SQQPGJ. DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654423700206.Радаев Ю. Н. Тензоры с постоянными компонентами в определяющих уравнениях гемитропного микрополярного тела // Изв. РАН. МТТ, 2023. №5. С. 98–110. EDN: PHNOCG. DOI: https://doi.org/10.31857/S057232992370006X.Spencer A. J. M. Theory of invariants, In: Continuum Physics, vol. 1. New York, Academic Press, 1971, pp. 240–353. DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-240801-4.50008-X.Spencer A. J. M. Theory of invariants / Continuum Physics. vol. 1. New York: Academic Press, 1971. pp. 240–353. DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-240801-4.50008-X.Nye J. F. Physical Properties of Crystals. Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford, Clarendon Press, 1957, xv+322 pp.Nye J. F. Physical Properties of Crystals. Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford: Clarendon Press, 1957. xv+322 pp.Wooster W. A. Experimental Crystal Physics. Oxford, Clarendon Press, 1957, viii+115 pp.Wooster W. A. Experimental Crystal Physics. Oxford: Clarendon Press, 1957. viii+115 pp.Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (mit Ausschluß der Kristalloptik). Leipzig, B.G. Teubner, 1928, xxvi+978 pp. (In German)Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (mit Ausschluß der Kristalloptik). Leipzig: B.G. Teubner, 1928. xxvi+978 pp. (In German)Murashkin E. V., Radaev Y. N. Two-dimensional Nye figures for some micropolar elastic solids, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 6, pp. 2254–2268. EDN: AIPHVE. DOI: https://doi.org/10.3103/s0025654423700243.Murashkin E. V., Radaev Y. N. Two-dimensional Nye figures for some micropolar elastic solids // Mech. Solids, 2023. vol. 58, no. 6. pp. 2254–2268. EDN: AIPHVE. DOI: https://doi.org/10.3103/s0025654423700243.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Two-dimensional Nye figures for hemitropic micropolar elastic solids, Izv. Saratov Univ. Math. Mech. Inform., 2024, vol. 24, no. 1, pp. 109–122 (In Russian). EDN: FKFRHA. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-1-109-122.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Двумерные фигуры Ная для гемитропных микрополярных упругих тел // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика, 2024. Т. 24, №1. С. 109–122. EDN: FKFRHA. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-1-109-122.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On a method of constructing Nye figures for asymmetric theories of micropolar elasticity, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2023, no. 3, pp. 100–111 (In Russian). EDN: KSSOKR. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.57.3.009.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Об одном способе построения фигур Ная в асимметричных теориях демитропной микрополярной упругости // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2023. №3. С. 100–111. EDN: KSSOKR. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.57.3.009.Krylova E. Yu., Murashkin E. V., Radayev Y. N. The Nye cells and figures for athermic hemitropic, isotropic and ultraisotropic micropolar elastic solids, Mech. Solids, 2024, vol. 59, no. 3, pp. 1311–1320. DOI: https://doi.org/10.1134/S0025654424603719.Krylova E. Yu., Murashkin E. V., Radayev Y. N. The Nye cells and figures for athermic hemitropic, isotropic and ultraisotropic micropolar elastic solids // Mech. Solids, 2024. vol. 59, no. 3. pp. 1311–1320. DOI: https://doi.org/10.1134/S0025654424603719.Murashkin E. V., Radayev Y. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity, Lobachevskii J. Math., 2023, vol. 44, no. 6, pp. 2440–2449. EDN: PINYDI. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223060392.Murashkin E. V., Radayev Y. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity // Lobachevskii J. Math., 2023. vol. 44, no. 6. pp. 2440–2449. EDN: PINYDI. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223060392.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Theory of Poisson’s ratio for a thermoelastic micropolar acentric isotropic solid, Lobachevskii J. Math., 2024, vol. 45, no. 5, pp. 2378–2390. EDN: ASGCQB. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080224602480.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Theory of Poisson’s ratio for a thermoelastic micropolar acentric isotropic solid // Lobachevskii J. Math., 2024. vol. 45, no. 5. pp. 2378–2390. EDN: ASGCQB. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080224602480.Radayev Yu. N., Murashkin E. V. Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media, Problems of Strength and Plasticity, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412 (In Russian). EDN: TODIFV. DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.Радаев Ю. Н., Мурашкин Е. В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности, 2020. Т. 82, №4. С.399–412. EDN: TODIFV. DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.Murashkin E. V., Radayev Y. N. Heat conduction of micropolar solids sensitive to mirror reflections of three-dimensional space, Uchen. Zap. Kazan. Univ. Ser. Fiz.-Matem. Nauki, 2023, vol. 165, no. 4, pp. 389–403 (In Russian). EDN: HTQAHJ. DOI: https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.4.389-403.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Теплопроводность микрополярных тел, чувствительных к зеркальным отражениям пространства // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, 2023. Т. 165, №4. С. 389–403. EDN: HTQAHJ. DOI: https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.4.389-403.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Coupled thermoelasticity of hemitropic media. Pseudotensor formulation, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 3, pp. 802–813. EDN: CISJLW. DOI: https://doi.org/10.3103/s0025654423700127.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Связанная термоупругость гемитропных сред. Псевдотензорная формулировка // Изв. РАН. МТТ, 2023. №3. С. 163–176. EDN: JMQVBJ. DOI: https://doi.org/10.31857/S0572329922600876.Murashkin E. V., Radayev Y. N. Heat transfer in anisotropic micropolar solids, Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 9, pp. 3111–3119. EDN: WBUGBA. DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654423700255.Murashkin E. V., Radayev Y. N. Heat transfer in anisotropic micropolar solids // Mech. Solids, 2023. vol. 58, no. 9. pp. 3111–3119. EDN: WBUGBA. DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654423700255.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On the polyvariance of the base equations of coupled micropolar thermoelasticity, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2023, no. 3, pp. 112–128 (In Russian). EDN: RQUKBG. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.57.3.010.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К поливариантности основных уравнений связанной термоупругости микрополярного тела // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2023. №3. С. 112–128. EDN: RQUKBG. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.57.3.010.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On the polyvariance of the base equations of coupled micropolar thermoelasticity, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2023, no. 4, pp. 86–120 (In Russian). EDN: RQUKBG. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.58.4.010.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Мультивесовая термомеханика гемитропных микрополярных тел // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2023. №4. С. 86–120. EDN: RQUKBG. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.58.4.010.Murashkin E. V., Radayev Y. N. On algebraic triple weights formulation of micropolar thermoelasticity, Mech. Solids, 2024, vol. 59, no. 1, pp. 555–580. EDN: GBHEKM. DOI: https://doi.org/10.1134/s0025654424700274.Murashkin E. V., Radayev Y. N. On algebraic triple weights formulation of micropolar thermoelasticity // Mech. Solids, 2024. vol. 59, no. 1. pp. 555–580. EDN: GBHEKM. DOI: https://doi.org/10.1134/s0025654424700274.Murashkin E. V., Radayev Y. N. Thermomechanical states of gyrotropic micropolar solids, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2023, vol. 27, no. 4, pp. 659–678 (In Russian). EDN: CRRHLO. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu2062.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Термомеханические состояния гиротропных микрополярных тел // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2023. Т. 27, №4. С. 659–678. EDN: CRRHLO. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu2062.Rozenfel’d B. A. Mnogomernye prostranstva [Multidimensional Spaces]. Moscow, Nauka, 1966, 648 pp. (In Russian)Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Algebraic algorithm for the systematic reduction of one-point pseudotensors to absolute tensors, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 1, pp. 17–27 (In Russian). EDN: ZJWFGT. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Алгебраический алгоритм систематического приведения одноточечных псевдотензоров к абсолютным тензорам // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2022. №1. С. 17–27. EDN: ZJWFGT. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces. Elements of the theory, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 2, pp. 106–115 (In Russian). EDN: FQVGRK. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.012.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2022. №2. С. 106–115. EDN: FQVGRK. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.012.Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces. Applications to continuum mechanics, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 2, pp. 118–127 (In Russian). EDN: ESTJSA. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.013.Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2022. №2. С. 118–127. EDN: ESTJSA. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.013.Sushkevich A. K. Osnovy vysshei algebry [Fundamentals of Higher Algebra]. Moscow, ONTI, 1937, 476 pp. (In Russian)Сушкевич А. К. Основы высшей алгебры. М.: ОНТИ, 1937. 476 с.Zhilin P. A. Ratsional’naya mekhanika sploshnykh sred [Rational Continuum Mechanics Media]. St. Petersburg, Polytechn. Univ., 2012, 584 pp. (In Russian)Жилин П. А. Рациональная механика сплошных сред. СПб.: Политехн. ун-т, 2012. 584 с.