Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesJournal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical SciencesВестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки»1991-86152310-7081Samara State Technical University7081010.14498/vsgtu1861Short CommunicationsКраткие сообщенияShort CommunicationSecond integral generalization of the Crocco invariant for 3D flows behind detached bow shock waveВторое интегральное обобщение инварианта Крокко для 3D-течений за отошедшим головным скачкомhttps://orcid.org/0000-0001-5821-85966508163390ABI-3162-20205348-6492SizykhGrigoryСизыхГригорий Борисович

Cand. Phys. & Math. Sci; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics

кандидат физико-математических наук, доцент; доцент; каф. прикладной математики

o1o2o3@yandex.ruhttp://www.mathnet.ru/person112378Moscow Aviation Institute (National Research University)Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)300920212535885951905202118082021Copyright ©; 2021, Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Copyright ©; 2021, Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)2021Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет)https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/70810

Stationary flows of an ideal gas behind the detached bow shock are investigated in the general 3D case. The well-known integral invariant (V.N. Golubkin, G.B. Sizykh, 2019), generalizing the axisymmetric invariant of (L. Crocco, 1937) to asymmetric flows, is a curvilinear integral over a closed vortex line (such lines lie on isentropic surfaces), in which the integrand is the pressure divided by the vorticity. This integral takes on the same value on all (closed) vortex lines lying on one isentropic surface. It was obtained after the discovery of the fact that the vortex lines are closed in the flow behind the shock in the general 3D case. Recently, another family of closed lines behind the shock was found, lying on isentropic surfaces (G.B. Sizykh, 2020). It is given by vector lines a — the vector product of the gas velocity and the gradient of the entropy function. In the general 3D case, these lines and vortex lines do not coincide.

In the presented study, an attempt is made to find the integral invariant associated with closed vector lines a. Without using asymptotic, numerical and other approximate methods, the Euler equations are analyzed for the classical model of the flow of an ideal perfect gas with constant heat capacities. The concept of imaginary particles “carrying” the streamlines of a real gas flow, based on the Helmholtz–Zoravsky criterion, is used. A new integral invariant of isentropic surfaces is obtained. It is shown that the curvilinear integral over a closed vector line a, in which the integrand is the pressure divided by the projection of the vorticity on the direction a, has the same values for all lines a lying on one isentropic surface. This invariant, like another previously known integral invariant (V.N. Golubkin, G.B. Sizykh, 2019), in the particular case of non-swirling axisymmetric flows, coincides with the non-integral invariant of L. Crocco and generalizes it to the general spatial case.

Исследуются стационарные течения идеального газа за отошедшим головным скачком в общем 3D-случае. Известный интегральный инвариант (В.Н. Голубкин, Г.Б. Сизых, 2019), обобщающий осесимметричный инвариант (Л. Крокко, 1937) на несимметричные течения, есть криволинейный интеграл по замкнутой вихревой линии (такие линии лежат на изоэнтропийных поверхностях) от давления, деленного на завихренность. Этот интеграл принимает одно и то же значение на всех (замкнутых) вихревых линиях, лежащих на одной изоэнтропийной поверхности. Он был получен после обнаружения факта замкнутости вихревых линий в течении за скачком в общем 3D-случае. Недавно было найдено еще одно семейство замкнутых линий за скачком, лежащих на изоэнтропийных поверхностях (Г.Б. Сизых, 2020). Это векторные линии a — векторного произведения скорости газа и градиента энтропийной функции. В общем 3D-случае эти линии и вихревые линии не совпадают.

В представленном исследовании предпринимается попытка найти интегральный инвариант, связанный с замкнутыми векторными линиями a. Без использования асимптотических, численных и других приближенных методов проводится анализ уравнений Эйлера для классической модели течения идеального совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Используется представление о воображаемых частицах, «переносящих» линии тока реального течения газа, основанное на критерии Гельмгольца–Зоравского. Получен новый интегральный инвариант изоэнтропийных поверхностей. Показано, что криволинейный интеграл по замкнутой векторной линии a, в котором подынтегральная функция есть давление, деленное на проекцию завихренности на направление a, принимает одинаковые значения для всех линий a, лежащих на одной изоэнтропийной поверхности. Этот инвариант, как и другой ранее известный интегральный инвариант (В.Н. Голубкин, Г.Б. Сизых, 2019) в частном случае незакрученных осесимметричных течений совпадает с неинтегральным инвариантом Л. Крокко и обобщает его на общий пространственный случай.

Helmholtz–Zorawski criterionisoenergetic flowsvorticitydetached bow shockCrocco invariantintegral invariant of isentropic surfacesкритерий Гельмгольца–Зоравскогоизоэнергетические течениязавихренностьотошедший скачок уплотнения,инвариант Кроккоинтегральный инвариант изоэнтропийных поверхностейGolubkin V. N., Sizykh G. B. On the vorticity behind 3-D detached bow shock wave, Adv. Aerodyn., 2019, vol. 1, 15. https://doi.org/10.1186/s42774-019-0016-5Golubkin V. N., Sizykh G. B. On the vorticity behind 3-D detached bow shock wave // Adv. Aerodyn., 2019. vol. 1, 15. https://doi.org/10.1186/s42774-019-0016-5Crocco L. Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation [A new stream function for researching the movement of gases with rotation], ZAMM, 1937, vol. 17, no. 1, pp. 1–7 (In German). https://doi.org/10.1002/ZAMM.19370170103Crocco L. Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation [A new stream function for researching the movement of gases with rotation] // ZAMM, 1937. vol. 17, no. 1. pp. 1–7 (In German). https://doi.org/10.1002/ZAMM.19370170103Golubkin V. N., Manuylovich I. S., Markov V. V. Fifth streamline invariant to axisymmetric swirling gas flows, Proceedings of MIPT, 2018, vol. 10, no. 2, pp. 131–135 (In Russian).Голубкин В. Н., Мануйлович И. С., Марков В. В. Пятый инвариант линий тока для осесимметричных закрученных течений газа // Труды МФТИ, 2018. Т. 10, № 2. С. 131–135.Golubkin V. N., Sizykh G. B. Generalization of the Crocco invariant for 3D gas flows behind detached bow shock wave, Russian Math. (Iz. VUZ), 2019, vol. 63, no. 12, pp. 45–48. https://doi.org/10.3103/S1066369X19120053Голубкин В. Н., Сизых Г. Б. Обобщение инварианта Крокко для 3D течений газа за отошедшим головным скачком // Изв. вузов. Матем., 2019. № 12. С. 52–56. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2019-12-52-56Sizykh G. B. System of Orthogonal Curvilinear Coordinates on the Isentropic Surface Behind a Detached Bow Shock Wave, Fluid Dyn., 2020, vol. 55, no. 7, pp. 899–903. https://doi.org/10.1134/s0015462820070095Сизых Г. Б. Система ортогональных криволинейных координат на изоэнтропийной поверхности за отошедшим скачком уплотнения // ПММ, 2020. Т. 84, № 3. С. 304–310. https://doi.org/10.31857/S0032823520020071von Mises R. Mathematical Theory of Compressible Fluid Flow, Applied Mathematics and Mechanics, vol. 3. New York, Academic Press, 1958, vii+514 pp. https://doi.org/10.1016/b978-0-123-95621-7.x5001-xvon Mises R. Mathematical Theory of Compressible Fluid Flow / Applied Mathematics and Mechanics. vol. 3. New York: Academic Press, 1958. vii+514 pp. https://doi.org/10.1016/b978-0-123-95621-7.x5001-xPrim R., Truesdell C. A derivation of Zorawski’s criterion for permanent vector-lines, Proc. Amer. Math. Soc., 1950, vol. 1, no. 1, pp. 32–34. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1950-0035136-9Prim R., Truesdell C. A derivation of Zorawski’s criterion for permanent vector-lines // Proc. Amer. Math. Soc., 1950. vol. 1, no. 1. pp. 32–34. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1950-0035136-9Truesdell C. The Kinematics of Vorticity. Bloomington, IU Press, 1954, xx+232 pp.Truesdell C. The Kinematics of Vorticity. Bloomington: IU Press, 1954. xx+232 pp.Sizykh G. B. Entropy Value on the Surface of a Non-symmetric Convex Bow Part of a Body in the Supersonic Flow, Fluid Dyn., 2019, vol. 54, no. 7, pp. 907–911. https://doi.org/10.1134/S0015462819070139Сизых Г. Б. Значение энтропии на поверхности несимметричной выпуклой головной части при сверхзвуковом обтекании // ПММ, 2019. Т. 83, № 3. С. 377–383. https://doi.org/10.1134/S0032823519030135Mironyuk I. Yu., Usov L. A. The invariant of stagnation streamline for a stationary vortex flow of an ideal incompressible fluid around a body, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 780–789 (In Russian). https://doi.org/10.14498/vsgtu1815Миронюк И. Ю., Усов Л. А. Инвариант линии торможения при стационарном обтекании тела завихренным потоком идеальной несжимаемой жидкости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 24, № 4. С. 780–789. https://doi.org/10.14498/vsgtu1815Mironyuk I. Yu., Usov L. A. Stagnation points on vortex lines in flows of an ideal gas, Proceedings of MIPT, 2020, vol. 12, no. 4, pp. 171–176 (In Russian).Миронюк И. Ю., Усов Л. А. Точки торможения на вихревых линиях в течениях идеального газа // Труды МФТИ, 2020. Т. 12, № 4. С. 171–176.Pontryagin L. S. Obyknovennye differentsial’nye uravneniia [Ordinary Differential Equations]. Izhevsk, Regular and Chaotic Dynamics, 2001, 400 pp. (In Russian)Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 400 с.Truesdell C. On curved shocks in steady plane flow of an ideal fluid, J. Aeronaut. Sci., 1952, vol. 19, no. 12, pp. 826–828. https://doi.org/10.2514/8.2495Truesdell C. On curved shocks in steady plane flow of an ideal fluid // J. Aeronaut. Sci., 1952. vol. 19, no. 12. pp. 826–828. https://doi.org/10.2514/8.2495Hayes W. D. The vorticity jump across a gasdynamic discontinuity, J. Fluid Mech., 1957, no. 2, pp. 595–600. https://doi.org/10.1017s0022112057000403Hayes W. D. The vorticity jump across a gasdynamic discontinuity // J. Fluid Mech., 1957. no. 2. pp. 595–600. https://doi.org/10.1017/s0022112057000403