Elastic compound plane with an interfacial absolutely rigid thin inclusion partially detached form the matrix subject to slippage at the ends

Full Text

Введение

Вопросы исследования поля напряжений вокруг концентраторов напряжений типа  трещин, штампов, накладок, включений и др. всегда находились и продолжают находиться в центре внимания специалистов, занимающихся прочностью, надежностью и долговечностью конструкций и сооружений. Эти задачи, смоделированные как взаимодействие указанных концентраторов напряжений с массивными телами в виде пространства, полупространства, слоя и др., которые в рамках плоской задачи теории упругости вырождаются в плоскость, полуплоскость, полосу и др., составляют одно из важнейших направлений контактных и смешанных задач теории упругости и механики разрушения. Среди очень многих работ в этом направлении отметим известные монографии [1–5], содержащие достаточно много фундаментальных результатов. В отдельных случаях удается получить замкнутые или точные решения, позволяющие более глубоко изучить особенности поведения локальных полей разрушающих напряжений вблизи концевых точек концентраторов напряжений. В этой связи укажем на монографию [6] и на работы [7–9], в которых получены точные решения ряда задач для однородной ортотропной плоскости, составной плоскости и пространства с межфазными трещинами. В указанных работах предполагалось, что в один или в оба берега трещины вдавливается абсолютно жесткий штамп при различных условиях контакта: либо штамп полностью сцеплен с берегом трещины, либо между ними имеет место гладкий контакт, либо во всей зоне контакта имеет место сухое трение.

Л. А. Галиным [9] была предложена модель контакта штампа с упругой полуплоскостью, когда в средней части зоны контакта имеет место сцепление, а по ее краям происходит проскальзывание, подчиняющееся закону сухого трения Кулона. При помощи конформного отображения Л. А. Галиным было построено приближенное решение в замкнутом виде. Интерес к такой модели контактной задачи проявляли многие исследователи, используя разные подходы и методы для ее решения [10–15]. В частности, в работе [14] контактная задача Галина решена методом механических квадратур, показано совпадение численных результатов с результатами других авторов. В работе [16] в рамках плоского деформирования упругого пространства и модели задачи Галина было рассмотрено напряженное состояние упругой однородной плоскости с трещиной конечной длины, в один из берегов которой вдавливается абсолютно жесткий тонкий штамп такой же длины.

В настоящей работе c опорой на результаты работы [7] расширяется круг применения контактной модели Галина и рассматривается задача работы [16], но уже для кусочно-однородного пространства, составленного из двух разнородных полупространств и содержащего частично оторванное от матрицы, тонкое  абсолютно жесткое межфазное включение в виде бесконечной полосы. Проводится анализ влияния неоднородности на напряженное состояние под включением. 

Поскольку рассматриваемая здесь задача отличается от задачи, рассмотренной в [16], лишь тем, что однородная плоскость заменена на составную,  очевидно, что текстовая часть постановки задачи в основном повторяет таковую в работе [16]. Тем не менее она здесь приводится для полноты описания поставленной задачи.

1. Постановка задачи и вывод определяющей системы интегральных уравнений

Пусть имеем упругое пространство, составленное из двух разнородных полупространств, которое в плоскости их соединения содержит сквозную трещину конечной ширины. Полагая, что пространство находится в условиях плоской деформации, сформулируем задачу для ее базовой плоскости $z=0$ декартовой системы координат $xyz$, ось ординат которой находится в плоскости раздела материалов, а ось аппликат направлена вдоль срединной линии трещины. Итак, имеем упругую составную плоскость, которая составлена из двух разнородных полуплоскостей и на интервале $( -a, a  )$ линии раздела материалов содержит трещину. Полагаем, что внутри трещины имеется абсолютно жесткое тонкое включение такой же длины, которое предварительно не сцеплено с матрицей и под воздействием сосредоточенной силы $P_0$, приложенной к средней точке верхней грани, вдавливается в берег трещины. Контакт включения с матрицей описывается моделью контактной задачи Л. А. Галина [9], т.е. считается, что на некотором интервале $( b, c )$ средней части нижней стороны включения имеет место сцепление с матрицей, а на концевых интервалах $( -a, b )$ и $ ( c, a )$ происходит проскальзывание, подчиняющееся закону сухого трения (см. рис. 1).

Рис. 1. Схематическое представление задачи
[Figure 1. Schematic representation of the problem]

Необходимо определить размеры зон сцепления и скольжения, контактные напряжения, возникающие под включением, и коэффициенты концентрации разрушающих напряжений в концевых точках концентратора напряжений смешанного типа — включение-трещина.

Рассматривая каждую из составляющих полуплоскостей отдельно и снабдив компоненты напряжений и смещений, относящиеся к точкам верхней и нижней полуплоскостей, верхними индексами (1) и (2) соответственно, на интервалах $( -a, a )$ каждой полуплоскости будем иметь следующие условия:
\[ \begin{equation} \sigma _{y}^{(1)}(x, 0)=0, \quad \tau _{xy}^{(1)}(x, 0)=0, \quad x \in ( -a, a ); \end{equation} \tag{1} \]
\[ \begin{equation} u' _{2} (x, 0)=0, \quad x \in ( b, c ); \end{equation} \tag{2} \]
\[ \begin{equation} v' _{2}(x, 0)=0, \quad x \in ( -a, a ); \end{equation} \tag{3} \]
\[ \begin{equation} \tau_{xy}^{(2)}(x, 0)=-f \operatorname{sgn} (x)\sigma _{y}^{(2)}(x, 0),\quad x\in ( -a, b ) \cup ( c, a ), \end{equation} \tag{4} \]
где $u_{j} (x,y)$ и $v_{j} (x,y)$  — компоненты смещения; $\sigma _{y}^{( j )}(x,y)$,  $\tau _{xy}^{ ( j )}(x,y)$ — компоненты напряжений соответствующих полуплоскостей; $j=1, 2$;  $f$  — коэффициент трения между включением и матрицей.

Пользуясь разрывными решениями для кусочно-однородной упругой плоскости с разрезом [6], позволяющими выразить все компоненты вектора перемещений и тензора напряжений через скачки напряжений и перемещений на интервале $( -a, a  )$, выпишем выражения, необходимые для удовлетворения (1)–(3):
\[ \begin{equation*} 
\begin{aligned}
 & 
 \sigma _{y}^{(1)}(x, 0)=\frac{1}{\pi \Delta }\biggl[ \pi \theta _1 \sigma (x)+\theta _2
 \int _{-a}^{a}{\frac{\tau (s)}{s-x}ds}+\pi {\mu_2}{\theta _3}{u}'(x)-{\mu_2}{\theta _4}\int _{-a}^{a}{\frac{{v}'(s)}{s-x}ds} \biggr]; 
 \\ 
 & 
 \tau _{xy}^{(1)}(x, 0)=\frac{1}{\pi \Delta }\biggl[ \pi {\theta _1}\tau (x)-{\theta _2}\int _{-a}^{a}{\frac{\sigma (s)}{s-x}ds}-\pi {\mu_2}{\theta _3}{v}'(x)-{\mu_2}{\theta _4}\int _{-a}^{a}{\frac{{u}'(s)}{s-x}ds} \biggr]; 
 \\ 
 & v'_{2}(x, 0)=-\frac{1}{\pi \Delta }\biggl[ \pi {\theta _1} v'(x)+\theta _2 \int _{-a}^{a}\frac{{u}'(s)}{s-x}ds+ \pi \frac{\theta _5}{\mu _{2}}\tau (x)+\frac{\theta _{6}}{\mu_2}
 \int _{-a}^{a} \frac{\sigma (s)}{s-x}ds \biggr]; 
 \\ 
 & u'_{2} (x, 0)=\frac{1}{\pi \Delta }\biggl[ -\pi {\theta _1} u'(x)+{\theta _2}\int _{-a}^{a}{\frac{v'(s)}{s-x}ds}+\pi \frac{{\theta _5}}{{\mu_2}}\sigma (x)-\frac{{\theta _6}}{{\mu_2}}\int _{-a}^{a}{\frac{\tau (s)}{s-x}ds} \biggr]. 
\end{aligned}
\end{equation*} \]
Здесь введены следующие обозначения:
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
& 
\sigma (x) = \sigma _{y}^{(1)}(x, 0)-\sigma _{y}^{(2)}(x, 0);
\quad 
\tau (x) = \tau _{xy}^{(1)}(x, 0)-\tau _{xy}^{(2)}(x, 0);
\\
& 
u(x) = u^{(1)}(x, 0)-u^{(2)}(x, 0); 
\quad 
v(x) = v^{(1)}(x, 0)-v^{(2)}(x, 0); 
\\ 
& 
\Delta = ( \mu +\kappa _1  ) ( 1+\mu \kappa _2 );  
\quad 
\mu =\mu _{1} / \mu _{2} ;
\quad 
\kappa _{i}=3-4 \nu _{i};
\\
& 
\theta _{1}=\mu  [ \kappa _2 \mu +4 ( 1-\nu_2  )
( 1-\nu_1 )+ ( 1-2 \nu_2 )
( 1-2\nu_1  )  ] ; \\ 
&
\theta _{2} =2\mu  [  ( 1-2  \nu_1  ) ( 1-\nu_2 )+
 ( 1-2\nu_2  ) ( 1-\nu_1  ) ]; 
 \\ 
&
\theta _{3}=2\mu  [ \mu  ( 1-2\nu_2 )- ( 1-2\nu_1  ) ];
\quad 
\theta _{4}=-4\mu [ \mu  ( 1-\nu_2 )+ ( 1-\nu_1 ) ];
\\
&
\theta _{5}=\frac{1}{2} [ \kappa _2  ( 1-2\nu_1  )\mu - \kappa _1 ( 1-2\nu_2 )];
\quad 
\theta _{6}= \kappa _2 ( 1-\nu_1 )\mu + \kappa _1 ( 1-\nu_2 );
\end{aligned}
\end{equation} \tag{5} \]
$\mu$ — отношение модулей сдвига $\mu_1$ и $\mu_2$ материалов полуплоскостей, a $\nu_1$ и $\nu_2$ — соответствующие коэффициенты Пуассона.

Удовлетворяя условиям граничной задачи (1)–(3) с учетом условия (4), придем к разрешающей системе сингулярных интегральных уравнений
\[ \begin{equation*}
\pi \frac{\theta _1}{\mu_2}\sigma (x) + \frac{\theta _2}{\mu_2}
\biggl( f\int _{-a}^{b}\frac{\sigma (s)}{s-x}ds  + \int _{b}^{c} \frac{\tau (s)}{s-x}ds - f\int _{c}^{a} \frac{\sigma (s)}{s-x}ds \biggr) + \pi \theta _3 u'(x) - \theta _4 \int _{-a}^{a} \frac{v'(s)}{s-x}ds = 0, \quad  x\in ( -a, a ); 
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\pi \frac{\theta _1}{\mu_2}\tau (x) -\frac{\theta _2}{\mu_2} \int _{-a}^{a} \frac{\sigma (s)}{s-x}ds -\pi \theta _3 v'(x)- \theta _4 \int _{-a}^{a} \frac{u'(s)}{s-x}ds=0, \quad  x \in( -a, a );
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
\pi \theta _1 v'(x)+ \theta _2 \int _{-a}^{a} \frac{u'(s)}{s-x}ds+\pi \frac{\theta _5}{\mu_2}\tau (x) + \frac{\theta _6}{\mu_2} \int _{-a}^{a} \frac{\sigma (s)}{s-x}ds=0, \quad x\in ( -a, a ); 
\end{equation} \tag{6} \]
\[ \begin{equation*}
-\pi {\theta _1}{u}'(x)+{\theta _2}\int _{-a}^{a} \frac{v'(s)}{s-x}ds+\pi \frac{\theta _5}{\mu_2}\sigma (x)-\frac{\theta _6 }{\mu_2}\biggl( -f\int _{-a}^{b} \frac{\sigma (s)}{s-x}ds  + \int_{b}^{c} \frac{\tau (s)}{s-x}ds + f\int _{c}^{a} \frac{\sigma (s)}{s-x}ds  \biggr)=0,\quad x\in ( b, c )
\end{equation*} \]
при условиях смыкания концов трещины и равновесия штампа, которые в обозначениях (5) имеют вид
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
& \int _{-a}^{a} v'(s)ds =0; \quad \int _{-a}^{a} u'(s)ds =0; \quad \int _{-a}^{a} \sigma (s)ds =P\cos \alpha ; 
\\
&
-f\int _{-a}^{b} \frac{\sigma (s)}{s-x}ds + \int _{b}^{c}  \frac{\tau (s)}{s-x}ds+f\int _{c}^{a} \frac{\sigma (s)}{s-x}ds=P\sin \alpha .  
\end{aligned}
\end{equation} \tag{7} \]

В полученной системе (6) уравнения имеют различные области определения, что приводит к необходимости рассматривать искомые функции как самостоятельные неизвестные на каждом из интервалов $( -a, b )$,  $( b, c )$ и $( c, a )$. Поскольку тангенциальное контактное напряжение $\tau ( s )$ неизвестно только на среднем из указанных интервалов, a остальные три $u'(s)$, $v'(s)$, $\sigma (s)$ — на всех трех интервалах, придем к определению десяти неизвестных функций. Аналогично, рассматривая первые три уравнения системы (6) на каждом из указанных интервалов раздельно, получим новую систему из десяти уравнений относительно десяти неизвестных функций. 

Решение полученной системы найдем при помощи метода механических квадратур [17]. Для этого, отнеся компоненты напряжений к модулю сдвига ${\mu_2}$ нижней полуплоскости и сведя каждый из интервалов определения уравнений к интервалу $( -1, 1 )$, перейдем к безразмерным величинам. Новыми неизвестными будут
\[ \begin{equation}
\bigl\{ \varphi _1,  \varphi _2 ,  \varphi _3 \bigr\}^{\rm ( ol, i, or)}=\bigl\{ u', v', {\sigma }/{\mu_2} \bigr\}, \quad  \varphi _{4}^{\rm  ( i )}= \tau /\mu_2,
\end{equation} \tag{8} \]
которые определены на интервале $( -1, 1 )$ и отмечены верхними индексами (ol) (outer-left), (i) (internal) и (or) (outer-right) в соответствии с интервалами $( -a, b)$,  $( b, c )$ и $( c, a)$.

В итоге получим систему из десяти сингулярных интегральных уравнений второго рода, структурно похожих на следующее уравнение:
\[ \begin{multline*}
\pi {\theta _1}\varphi _{3}^{\rm  ( ol )}  ( \eta  )+ 
{\theta _2} \biggl[ f\int _{-1}^{1} \!\frac{\varphi _{3}^{\rm ( ol )}(\xi)}{\xi -\eta }d\xi +\int _{-1}^{1} \!\frac{\varphi _{4}^{\rm ( i )}(\xi)}{\xi -{{z}_{0}}}d\xi -
f\int _{-1}^{1} \!\frac{\varphi _{3}^{\rm ( or )}(\xi)}{\xi -{{z}_{1}}}d\xi  \biggr] + {} \\
{} + \pi {\theta _3}\varphi _{1}^{\rm ( ol )} ( \eta  )+{\theta _4}
\biggl[ \int _{-1}^{1}\! \frac{\varphi _{2}^{\rm ( ol )}(\xi)}{\xi -\eta }d\xi + \int _{-1}^{1}\! \frac{\varphi _{2}^{\rm ( i )}(\xi)}{\xi -{{z}_{0}}}d\xi +
\int _{-1}^{1}\! \frac{\varphi _{2}^{\rm ( or )}(\xi)}{\xi -{{z}_{1}}}d\xi  \biggr]=0, \; \eta \in  ( -1,  1), 
\end{multline*} \]
где $b^* ={b}/{a}<1$, $c^* ={c}/{a}<1$;
\[ \begin{equation*}
z_0 =\frac{b^*+1}{c^*-b^*}\eta -\frac{1+c^*}{c^*-b^*}, \quad 
z_1 =\frac{b^*+1}{1-c^*}\eta -\frac{2+c^*- b^*}{1- c^ * }.
\end{equation*} \]

Решение системы будем искать в классе функций, имеющих степенное поведение в окрестности концов интервала интегрирования и представимых в виде
\[ \begin{equation*}
\Phi (x)= ( 1-x  )^{\alpha } ( 1+x )^{\beta } \Phi _* (x), \quad \alpha , \; \beta >-1 ,
\end{equation*} \]
где функция $\Phi_* (x)$ удовлетворяет условию Гельдера на отрезке $[ -1, 1 ]$.

Подставляя эти представления в определяющую систему уравнений и исследуя поведение уравнений в окрестности точек $\pm 1$, с учетом известных результатов Н. И. Мусхелишвили о поведении интеграла типа Коши у концов линии интегрирования [18], получаем систему уравнений для определения показателей $\alpha$ и $\beta$. Учитывая большое число уравнений, считаем нецелесообразным представлять здесь эти уравнения. Отметим лишь, что поведение искомых функций в окрестности точек раздела зон сцепления и скольжения определяется однозначно и повторяет, кaк и следовало ожидать, их поведение в случае аналогичной задачи для однородной плоскости [16], a для определения показателей особенности искомых функций в концевых точках включения получаем следующие уравнения:
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
& {\alpha ^{\rm ( or )}}^{3}  ( 1 - \alpha _D )+  {\alpha ^{\rm ( or )}}^{2} 
 f (  \beta _D + \alpha _ D  \beta _ D - \vartheta _2  ) - {\alpha ^{\rm ( or  )}}  ( 1 + \alpha _D - 2\beta _D^2 ) + 
\beta _D f  ( 1 + \alpha  _D - \beta  _ D \vartheta  _ 2 ) = 0, 
\\ 
 & {\beta ^{\rm ( ol )}}^{3} ( 1- \alpha _ D )-{ \beta  ^{\rm ( ol )}}^{2}
 f (  \beta _ D + \alpha  _ D  \beta  _ D -  \vartheta  _2 ) - {\beta ^{\rm ( ol )}} ( 1+ \alpha _D -2\beta _ D ^ 2 )- 
\beta _D  f ( 1+ \alpha  _ D - \beta _ D \vartheta _  2 )=0 .
\end{aligned}
\end{equation} \tag{9} \]
Здесь для упрощения записи использовались известные параметры Дандерса [19]:
\[ \begin{equation*}
\alpha _ D =\frac{\mu  ( 1-\nu_2  )- ( 1-\nu_1  )}{\mu  ( 1-\nu_2  )+ ( 1-\nu_1  )},
\quad
\beta _D =\frac{1}{2}\frac{\mu  ( 1-2\nu_2  )- ( 1-2\nu_1  )}{\mu  ( 1-\nu_2  )+ ( 1-\nu_1  )} 
\end{equation*} \]
и обозначение
\[ \begin{equation*}
\vartheta _{2}=\frac{1-2\nu_2}{1-\nu_2}.
\end{equation*} \]

Уравнения (9), в отличие от случая однородной плоскости [16], могут в зависимости от упругих характеристик полуплоскостей иметь как три различных вещественных корня, так и один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. Последний случай означает, что, несмотря на рассмотрение задачи в рамках модели контакта Галина, осцилляция напряжений в концевых точках будет сохраняться. В первом же случае осцилляции напряжений на концах удается избежать. В отличие от однородного случая [16] корни уравнений (9) не выписываются аналитически, a вычисляются численно и поэтому здесь не приводятся. С дальнейшей процедурой введения новых искомых функций, поведение которых нa концах интервала $( -1, 1  )$ определяется однозначно, можно ознакомиться в работе [16].

В итоге решение поставленной задачи сводится к системе из десяти сингулярных интегральных уравнений относительно десяти искомых функций с определенными весовыми функциями и шести постоянных, представляющих собой конечные значения искомых функций на концах внутреннего участка зоны контакта. Для определения последних, a также координат концов зоны сцепления $b^*$ и $c^*$ используются трансформированные соответствующим образом условия (7). Наличие в определяющей системе отличных друг от друга весовых функций предполагает использование метода механических квадратур [17] с различными узлами и разным числом точек коллокации в зависимости от того, обращается ли весовая функция под сингулярным интегралом в бесконечность на одном конце или ни на одном. 

2. Численный анализ

Решение разрешающей системы построим методом механических квадратур. При одинаковом для всех функций порядке аппроксимации $n$ будем иметь $10n+6$ неизвестных: $10n$ значений регулярных частей искомых функций в соответствующих узловых точках и шесть постоянных, описанных выше. Шесть весовых функций, соответствующих зонам скольжения, на одном из концов обращаются в бесконечность, на другом в ноль, a четыре функции, соответствующие зоне сцепления, на обоих концах обращаются в ноль. Следовательно, выбрав для шести уравнений $n$ точек коллокации, a для четырех — $n+1$ точку коллокации, получаем $10n+4$ уравнений. Для замыкания полученной системы линейных алгебраических уравнений к ней следует добавить два из дискретизированных условий (7), соответствующих условиям равновесия включения. Два других из условий (7) необходимы для определения координат точек раздела зон сцепления и проскальзывания $b^*$ и $c^*$, которые нелинейным образом входят в матрицу полученной системы линейных алгебраических уравнений.

Анализ результатов, полученных при различных порядках аппроксимации, показал, что уже при $n=6$ для функций $\psi _{k*}^{\rm ( ol )}$ и $\psi _{k*}^{\rm ( or )}$ $( k=1, 2, 3  )$ и $n=10$ для функций $\varphi _{k*}^{ ( i  )}$ $(k=1, 2, 3, 4 )$ достигается точность порядка ${{10}^{-4}}$, которой вполне достаточно для графического представления результатов, поэтому дальнейшие расчеты проводились при этих значениях порядков аппроксимации. Указанные функции являются регулярными функциями соответствующих неизвестных функций (8) согласно представлению решения определяющей системы из 10 сингулярных интегральных уравнений в виде произведения выделенной особенности на регулярную функцию.

Проведен численный анализ распределения контактных напряжений, когда угол наклона приложенной силы принят $\alpha =0.02$, коэффициент трения — $f=0.075$, коэффициент Пуассона верхней полуплоскости — $\nu_1=0.2$. На рис. 2 представлены кривые распределения контактного давления для разных значений отношения модулей сдвига полуплоскостей $\mu =0.9$, 1.25, 1.5 при $\nu_2=0.25$ и коэффициента Пуассона $\nu_2=0.2$, 0.25, 0.3 при $\mu =1.5$, на рис. 3 — соответствующие кривые распределения тангенциальных напряжений.

Рис. 2. Распределение безразмерных нормальных контактных напряжений для разных значений отношения \(\mu=\mu_1/\mu_2\) и коэффициента Пуассона \(\nu_2\) (онлайн в цвете)
[Figure 2 (color online). Distribution of dimensionless normal contact stresses for different values of the ratio $\mu ={{\mu_1}}/{{\mu_2}}$ and Poisson's ratio ${{\nu } _{2}}$]

Рис. 3. Распределение безразмерных тангенциальных контактных напряжений для разных значений отношения \(\mu=\mu_1/\mu_2\) и коэффициента Пуассона \(\nu_2\) (онлайн в цвете)
[Figure 3 (color online). Distribution of dimensionless tangential contact stresses for different values of the ratio $\mu ={{\mu_1}}/{{\mu_2}}$ and Poisson's ratio ${{\nu } _{2}}$]

Также были рассчитаны контактные напряжения при разных коэффициентах Пуассона верхней полуплоскости $\nu_1=0.2,\,0.3$, но их влияние оказалось намного меньше и сказывалось, главным образом, на координате левого конца зоны сцепления ${{b}^{*}}$ и величине контактных напряжений в его окрестности.

Следует отметить, что кривые распределения контактных напряжений под включением качественно повторяют кривые их распределения для однородной плоскости [16]. Как видно из рис. 2 и 3, изменение упругих характеристик составной плоскости не приводит к качественному изменению кривых, a влияет на них, главным образом, посредством величин ${{b}^{*}}$ и ${{c}^{*}}$, являющихся причиной их трансформации. Следовательно, имея эти значения, можно легко представить и кривые распределения напряжений, конечно, только качественно.

На рис. 4 представлены кривые зависимости ${{b}^{*}}$ и ${{c}^{*}}$ от отношения модулей сдвига $\mu ={{\mu_1}}/{{\mu_2}}\;$ для трех значений коэффициента трения $f$ и двух значений коэффициента Пуассона $\nu_1$. Здесь представлен симметричный случай нагружения $ ( \alpha =0 )$ с целью показать, что при $\mu \to 0$ задача сводится к контактной задаче Галина для полуплоскости. Точками на оси ординат показаны значения ${{b}^{*}}=-{{c}^{*}}$ для задачи  Галина при $\nu_2=0.3$, которые имеются в работе [15].

Рис. 4. Зависимость \(b^*\) и \(c^*\) от отношения \(\mu=\mu_1/\mu_2\) (онлайн в цвете)
[Figure 4 (color online). Dependence of $b^* $ and $c^* $ on the ratio $\mu = \mu_1 / \mu_2 $]

Рис. 5. Зависимость \(b^*\) и \(c^*\) от угла наклона внешней силы (онлайн в цвете)
[Figure 5 (color online). Dependence of $b^*$ and $c^*$ on the angle of inclination of the external force]

На рис. 4 приведены также кривые коричневого цвета, которые соответствуют значению $\nu_1=0.35$. Заметное различие между кривыми, соответствующими разным коэффициентам Пуассона верхней полуплоскости, проявляется только при малых коэффициентах трения и близких друг к другу значениях модулей сдвига полуплоскостей.

На рис. 5 представлены кривые зависимости $b^ *$ и $c^ *$ от угла $\alpha$ приложения внешней силы при следующих значениях параметров $\nu_2=0.3$, $\nu_1=0.23$,  $\nu =0.5$ для разных значений коэффициента трения $f$.

Как показывают графики, наклон силы приводит к уменьшению зоны сцепления и смещению ее в сторону наклона силы, что, в конечном итоге, приводит к вырождению зоны сцепления и происходит это тем раньше, чем меньше коэффициент трения.

Численный анализ зависимости $b^ *$ и $c^ *$ от коэффициентов Пуассона показал, что зависимость их от коэффициента Пуассона верхней полуплоскости мала, в то время как зависимость от коэффициента Пуассона нижней полуплоскости, как и в случае однородной плоскости, очень существенна. Расчеты показали, что при коэффициенте Пуассона $\nu_2$, очень близком к значению $0.5$, зона сцепления занимает всю зону контакта, в то время как при малых его значениях возможно даже вырождение этой зоны при том же коэффициенте трения.

Заключение

Выведена система определяющих уравнений достаточно сложной контактной задачи о вдавливании тонкого жесткого включения конечной длины в берег трещины такой же длины, находящейся в кусочно-однородной упругой плоскости, составленной из двух разнородных полуплоскостей. Задача рассматривается в рамках контактной задачи Галина, т.е. при наличии зон сцепления и проскальзывания. Определяющая система уравнений состоит из десяти сингулярных интегральных уравнений при четырех дополнительных условиях. Выделены особенности поведения искомых функций на концах интервала интегрирования. На основе метода механических квадратур разработана программа расчета в среде пакета Wolfram Mathematica, которая позволяет  как найти законы распределения контактных напряжений, так и построить форму раскрытия трещины над включением. При помощи этой программы проведен подробный численный анализ зависимости координат концов зоны сцепления от всех параметров поставленной задачи.

Конкурирующие интересы. Конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи нет.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Работа выполнена в рамках проекта 21T–2C209 (Комитет по науке, Министерство образования, науки, культуры и спорта Республики Армения).

About the authors

Vahram N. Hakobyan

Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of the Republic of Armenia

Author for correspondence.
Email: vhakobyan@sci.am
ORCID iD: 0000-0003-3684-9471
Scopus Author ID: 55914871100
http://www.mathnet.ru/person141845

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor, Main Researcher, Dep. of Elastic and Visco-Elastic Bodies

Armenia, 0019, Yerevan, Marshal Baghramyan ave., 24B

Harutyun A. Amirjanyan

Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of the Republic of Armenia

Email: amirjanyan@gmail.com
ORCID iD: 0009-0008-8417-7319

Cand. Phys. & Math. Sci., Leading Researcher, Dep. of Elastic and Visco-Elastic Bodies

Armenia, 0019, Yerevan, Marshal Baghramyan ave., 24B

Lilit L. Dashtoyan

Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of the Republic of Armenia

Email: lilit.dashtoyan@sci.am
ORCID iD: 0009-0008-4737-4524

Cand. Phys. & Math. Sci., Scientific Secretary

Armenia, 0019, Yerevan, Marshal Baghramyan ave., 24B

Avetik V. Sahakyan

Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of the Republic of Armenia

Email: avetik.sahakyan@sci.am
ORCID iD: 0000-0002-5904-6201

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor, Leading Researcher, Dep. of Elastic and Visco-Elastic Bodies

Armenia, 0019, Yerevan, Marshal Baghramyan ave., 24B

References

Supplementary files