On the calculation of approximate symmetries of fractional differential equations

Full Text

Введение

Групповой анализ дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений [1–3] является эффективным математическим инструментом исследования их симметрийных свойств, построения законов сохранения и нахождения точных решений. Одним из современных направлений его развития является симметрийный анализ дифференциальных уравнений с производными дробных порядков различных типов [4, 5], называемых также дробно-дифференциальными уравнениями [6]. В течение последних 15 лет для таких уравнений активно развивались как методы классического группового анализа (см. [7–9] и цитируемую там литературу), так и некоторые методы современного группового анализа, направленные на нахождение приближенных [10] и высших [11] симметрий.

Построение приближенных симметрий для дробно-дифференциального уравнения возможно в тех случаях, когда в нем имеется малый параметр либо когда такое уравнение может быть приближено в некотором смысле уравнением с малым параметром. Если порядок входящей в уравнение дробной производной близок к целому числу, то из такого порядка возможно выделение малого параметра с последующим разложением по нему в ряд соответствующей дробной производной. Например, для левосторонней дробной производной Римана–Лиувилля
\[ \begin{equation*}
({}_{t_0}D^{\alpha}_t f)(t) = \dfrac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \dfrac{d^n}{dt^n} \int_{t_0}^t \dfrac{f(s) ds}{(t-s)^{\alpha-n+1}}, \quad n=[\alpha]+1,
\end{equation*} \]
для случая $\alpha=n-\varepsilon$, где $\varepsilon \in (0,0.5]$, в работе [10] получено следующее разложение по $\varepsilon$:
\[ \begin{multline}
({}_{t_0}D^{n-\varepsilon}_t f)(t) = f^{(n)}(t) - \varepsilon \biggl\{[\psi(n+1) - \ln(t-t_0)] f^{(n)}(t) - {}
\\
{} - \sum_{\substack{k=0 \\ k \ne n}}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-n}}{k-n} \dfrac{n!}{k!} (t-t_0)^{k-n} f^{(k)}(t)\biggr\} + o(\varepsilon).
\end{multline} \tag{1} \]

Данное разложение справедливо для всех $t>t_0$ при $\varepsilon \to 0$ в случае, когда функция $f(t)$ бесконечно дифференцируема при $t>t_0$. Если $\varepsilon$ — малый параметр $(0<\varepsilon \ll 1)$, то в (1) можно ограничиться приведенным линейным разложением, отбросив малые порядка $o(\varepsilon)$. Если дробно-дифференциальное уравнение содержит только дробные производные вида ${}_{t_0}D^{m-\varepsilon}_t f$ ($m=1, 2, \ldots, M$), то, заменяя их на соответствующие линейные по $\varepsilon$ разложения вида (1), получим уравнение с малым параметром. В нулевом порядке по $\varepsilon$ такое уравнение будет дифференциальным уравнением целого порядка $M$.

Необходимо, однако, отметить, что линейное разложение (1) не является равномерным, оно справедливо с точностью $o(\varepsilon \ln(t-t_0))$. Поэтому для любого фиксированного $\varepsilon$ замена дробно-дифференциального уравнения соответствующим уравнением с малым параметром будет справедлива лишь для $t \in [c,d]$, где $c=c(\varepsilon)$ и $d=d(\varepsilon)$ согласованы с условием малости отбрасываемой части разложения.

Замена, пусть и в ограниченной области, дробно-дифференциального уравнения уравнением с малым параметром, получаемым с использованием разложения вида (1), дает возможность применять к его исследованию методы теории приближенных групп преобразований [12–14]. На основе данного подхода в работах [15, 16] были успешно решены задачи групповой классификации по допускаемым приближенным группам преобразований для нелинейного уравнения субдиффузии и дробно-дифференциального обобщения уравнения Бюргерса, а в работах [17–19] для ряда дробно-дифференциальных уравнений найдены приближенные симметрии, приближенно инвариантные решения и приближенные законы сохранения.

Важно отметить, что допускаемая дробно-дифференциальным уравнением группа преобразований практически всегда оказывается более «бедной», чем группа соответствующего ему дифференциального уравнения целого порядка. Это обусловлено в первую очередь требованием неподвижности постоянного предела интегрирования дробно-дифференциального оператора при преобразовании. Переход к приближенным преобразованиям существенно расширяет группу симметрий, что дает возможность строить новые приближенно инвариантные решения и законы сохранения, которые не могут быть получены на основе точных симметрий.

Тем не менее разложение (1) обладает рядом существенных недостатков. Во-первых, оно требует бесконечной дифференцируемости функции $f(t)$ при $t>t_0$, что для дробно-дифференциальных уравнений справедливо далеко не всегда. Во-вторых, практическое использование (1) для нахождения допускаемой соответствующим уравнением приближенной группы преобразований требует построения продолжений группы, допускаемой уравнением в нулевом порядке по $\varepsilon$, на все производные $f^{(k)}(t)$ ($k=1, 2, \ldots$). Решение определяющего уравнения для приближенной группы в этом случае требует аккуратной работы с бесконечными рядами, сходимость которых необходимо дополнительно контролировать. В-третьих, разложение (1) неприменимо при бесконечном нижнем пределе интегрирования в операторе дробного дифференцирования. Однако уравнения с такими операторами возникают при описании процессов с полной степенной памятью или степенной пространственной нелокальностью в $\mathbb{R}^n$.

Преодолеть указанные недостатки позволяет переход к другому виду разложений дробных производных, которые могут быть построены на основе известной [4] формулы для дробного интеграла порядка $\varepsilon$ при $\varepsilon \to 0$:
\[ \begin{equation}
({}_{t_0}I^{\varepsilon}_t f)(t) = f(t) + \varepsilon \biggl[\gamma f(t) + \dfrac{d}{dt} \int_{t_0}^t \ln(t-s) f(s) ds \biggr]+ o(\varepsilon),
\end{equation} \tag{2} \]
где
\[ \begin{equation*}
({}_{t_0}I^{\varepsilon}_t f)(t) = \dfrac{1}{\Gamma(\varepsilon)} \int_{t_0}^t \dfrac{f(s) ds}{(t-s)^{1-\varepsilon}}, \quad \varepsilon \in (0, 1)
\end{equation*} \]
— левосторонний интеграл дробного порядка $\varepsilon$, $\gamma \approx 0.57721566$ — постоянная Эйлера. С использованием (2) могут быть получены соответствующие разложения для левосторонних дробных производных Римана–Лиувилля и Капуто, порядок которых близок к целому. В работах [20–22] разложение (2) было использовано для нахождения приближенных решений дробно-дифференциальных уравнений.

В результате применения разложения (2) дробно-дифференциальное уравнение приближается уравнением с малым параметром $\varepsilon$, содержащим в $\varepsilon$-порядке интегро-дифференциальный оператор с логарифмическим ядром. Разработка алгоритма нахождения приближенных симметрий таких уравнений и является целью данной работы.

1. Формулы продолжения

Рассмотрим функцию $u=u(t,x)$, где $x =(x^1, \ldots, x^m)$, определенную в области $Q_T=\{(t,x) : $ $ -\infty \leqslant t_0 < t < T \leqslant \infty$, $ x \in \Omega \subset \mathbb{R}^m \}$, суммируемую по переменной $t$ на интервале $(t_0, T)$. Тогда существует дробный интеграл $({}_{t_0}I^{\varepsilon}_t u)(t,x)$ $(0<\varepsilon \ll 1)$ и почти всюду справедливо разложение вида (2) (см. [4, замечание 2.5]):
\[ \begin{equation}
({}^{}_{t_0}I^{\varepsilon}_t u)(t,x) = u(t,x) + \varepsilon \Bigl[\gamma u(t,x) + \dfrac{\partial}{\partial t} (Lu)(t,x) \Bigr]+ o(\varepsilon),
\end{equation} \tag{3} \]
\[ \begin{equation}
(Lu)(t,x) = \int_{t_0}^t \ln(t-s) u(s,x) ds.
\end{equation} \tag{4} \]

Для построения конструктивного алгоритма нахождения приближенных симметрий уравнений с малым параметром, получаемых из дробно-дифференциальных уравнений с использованием разложения (3), необходимо знать продолжение группы преобразований на интеграл $(Lu)(t,x)$.

Рассмотрим однопараметрическую группу $G$ точечных преобразований
\[ \begin{equation}
\begin{array}{lll}
\bar{t} = \varphi(t,x,u,a), & \bar{x}^i = \psi^i(t,x,u,a) \ \ (i=1,\ldots,m), & \bar{u} = \theta(t,x,u,a), \\[1ex]
\varphi|_{a=0} = t, & \psi^i|_{a=0} = x^i \ \ (i=1,\ldots,m), & \theta|_{a=0} =u,
\end{array}
\end{equation} \tag{5} \]
где $a \in \Delta$ — параметр группы и $\Delta \in \mathbb{R}$ — симметричный относительно нуля интервал. Как обычно в групповом анализе (см., например, [1]), функции $\varphi$, $\psi^i$ и $\theta$ предполагаются бесконечно дифференцируемыми по всем своим аргументам при $(t,x) \in \overline{Q}_T$ и $a \in \Delta$. Пусть соответствующие инфинитезимальные преобразования группы $G$ имеют вид
\[ \begin{equation}
\begin{array}{ll}
\bar{t} = t + a \tau(t,x,u) + o(a), & \mathstrut \\
\bar{x}^i = x + a \xi^i(t,x,u) + o(a) & (i=1,\ldots,m), \mathstrut \\
\bar{u} = u + a \eta(t,x,u) + o(a). & \mathstrut
\end{array}
\end{equation} \tag{6} \]
Тогда оператор
\[ \begin{equation}
X = \tau \dfrac{\partial}{\partial t} + \xi^i \dfrac{\partial}{\partial x^i} + \eta \dfrac{\partial}{\partial u}
\end{equation} \tag{7} \]
является инфинитезимальным оператором (генератором) группы $G$. Здесь и далее используется правило суммирования по повторяющимся индексам.

В дальнейшем для сокращенной записи сложных функций от $u(t,x)$, ее производных и интегралов будем использовать обозначение
\[ \begin{equation*}
f(t,x,u(t,x),u_t(t,x),\ldots) = f[t,x].
\end{equation*} \]
Через $D_t$ и $D_i$ будем обозначать операторы полного дифференцирования по переменным $t$ и $x^i$ $(i=1, \ldots, m)$ соответственно, а через $u_i$ — частную производную функции $u$ по $x^i$.

Теорема. Пусть $u(t,x) \in C^1(Q_T) \cap L_1(t_0,T)$ и выполнено условие
\[ \begin{equation}
\tau[t,x]|_{t=t_0} =0, \quad t_0>-\infty.
\end{equation} \tag{8} \]
Тогда инфинитезимальное преобразование интеграла $(Lu)(t,x)$ под действием группы $G$ c оператором (7) имеет вид
\[ \begin{equation}
(L\bar{u})(\bar{t},\bar{x}) = (Lu)(t,x) + a \zeta_{Lu}[t,x] + o(a),
\end{equation} \tag{9} \]
где $\zeta_{Lu}[t,x]$ определяется формулой продолжения
\[ \begin{equation}
\zeta_{Lu}[t,x] = L(\eta - \tau u_t - \xi^i u_i)(t,x) + \tau D_t (Lu)(t,x) + \xi^i D_i(Lu)(t,x).
\end{equation} \tag{10} \]

Доказательство. Используя обратное для (6) инфинитезимальное преобразование
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{ll}
t = \bar{t} - a \tau[\bar{t},\bar{x}] + o(a), & \mathstrut \\
x^i = \bar{x}^i - a \xi^i[\bar{t},\bar{x}] + o(a) & (i=1,\ldots,m), \mathstrut \\
u = \bar{u} - a \eta[\bar{t},\bar{x}] + o(a), & \mathstrut
\end{array}
\end{equation*} \]
запишем
\[ \begin{equation*}
\bar{u}(\bar{t},\bar{x}) = u(\bar{t}-a \tau[\bar{t},\bar{x}], \bar{x}-a \xi[\bar{t},\bar{x}]) + a \eta[\bar{t},\bar{x}]+o(a),
\end{equation*} \]
где $\xi = (\xi^1,\ldots,\xi^m)$. С учетом этого представления изменение интеграла $(L\bar{u})(\bar{t},\bar{x})$ под действием инфинитезимального преобразования (6) можно представить в виде
\[ \begin{multline*}
(L\bar{u})(\bar{t},\bar{x}) = \int_{t_0}^{t+a \tau[t,x]} \ln (t + a \tau[t,x] - \bar{s}) \times {}
\\
{} \times \left\{u(\bar{s}-a \tau[\bar{s},x],x + a\xi[t,x]- a \xi[\bar{s},x]) + a \eta[\bar{s},x] \right\} d \bar{s} + o(a).
\end{multline*} \]

Выполним замену переменных по правилу $\bar{s} = s + a \tau[s,x]$. Заметим, что в силу условия (8) нижний предел интегрирования $t_0$ при такой замене остается неизменным. Имеем
\[ \begin{multline*}
(L\bar{u})(\bar{t},\bar{x}) = \int_{t_0}^{t} \ln (t - s + a \tau[t,x] - a \tau[s,x]) \times {} \\
{}
\times \bigl\{u(s,x + a\xi[t,x]- a \xi[s,x]) + a \eta[s,x] \bigr\} (1+a D_s \tau[s,x])d s + o(a).
\end{multline*} \]

Используя разложения
\[ \begin{equation*}
\ln (t - s + a \tau[t,x] - a \tau[s,x]) = \ln(t-s) + a \dfrac{\tau[t,x] - \tau[s,x]}{t-s} + o(a)
\end{equation*} \]
и
\[ \begin{equation*}
u(s,x + a\xi[t,x]- a \xi[s,x]) = u(s,x) + a (\xi^i[t,x] - \xi^i[s,x]) u_i(s,x) + o(a),
\end{equation*} \]
получаем
\[ \begin{multline*}
(L\bar{u})(\bar{t},\bar{x}) = \int_{t_0}^t \ln(t-s) u(s,x) ds + a \int_{t_0}^t \Bigl\{ \dfrac{\tau[t,x] - \tau[s,x]}{t-s} u(s,x) + {}
\\
{} + \ln(t-s) \bigl[\eta[s,x] + (D_s \tau[s,x]) u(s,x) + (\xi^i[t,x] - \xi^i[s,x]) u_i(s,x) \bigr] \Bigr\} ds + o(a).
\end{multline*} \]

Так как $u(t,x) \in C^1(Q_T) \cap L_1(t_0,T)$, справедливы соотношения
\[ \begin{equation*}
(D_s \tau[s,x]) u(s,x) = D_s(\tau[s,x] u(s,x)) - \tau[s,x] u_s(s,x),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\int_{t_0}^t \ln(t-s) \xi^i[t,x] u_i(s,x) ds = \xi^i[t,x] D_i(Lu)(t,x).
\end{equation*} \]
В результате получаем
\[ \begin{multline*}
(L\bar{u})(\bar{t},\bar{x}) = (Lu)(t,x) + a [L(\eta - \tau u_t - \xi^i u_i)(t,x) + \xi^i(t,x) D_i(Lu)(t,x)] + {} \\
{}+ a \int_{t_0}^t \Bigl\{ \dfrac{\tau[t,x] - \tau[s,x]}{t-s} u(s,x) + \ln(t-s) D_s(\tau[s,x] u(s,x)) \Bigr\} ds + o(a).
\end{multline*} \]

Для преобразования последнего интеграла в этом выражении воспользуемся формулой
\[ \begin{equation*}
D_t \int_{t_0}^t \ln(t-s) u(s,x) ds = \ln(t-t_0)u(t,x) + \int_{t_0}^t \dfrac{u(s,x)-u(t,x)}{t-s} ds,
\end{equation*} \]
справедливость которой вытекает из дифференцируемости $u(s,x)$ по $s$ при $s>t_0$. Имеем
\[ \begin{multline*}
\int_{t_0}^t \Bigl\{ \dfrac{\tau[t,x] - \tau[s,x]}{t-s} u(s,x) + \ln(t-s) D_s(\tau[s,x] u(s,x)) \Bigr\} ds = {}
\\
{}= \int_{t_0}^t \Bigl\{\dfrac{\tau[t,x]u(t,x) - \tau[s,x] u(s,x)}{t-s} + \ln(t-s) D_s(\tau[s,x] u(s,x))
\Bigr\} ds + {}
\\
\hspace{6.2cm}
{} +\tau[t,x] \int_{t_0}^t \dfrac{u(s,x)-u(t,x)}{t-s} ds = {} \\
{}= \int_{t_0}^t D_s \left( \ln(t-s) [\tau[s,x] u(s,x) - \tau[t,x]u(t,x)] \right) ds + {}
\hspace{2.4cm}
\\
{}+ \tau[t,x] \biggl(D_t \int_{t_0}^t \ln(t-s) u(s,x)ds - \ln (t-t_0) u(t,x) \biggr) = {}
\\
{}= \lim_{s \to t-0} \bigl\{\ln(t-s) [\tau[s,x] u(s,x) - \tau[t,x]u(t,x)] \bigr\} - {} \\
{}-\ln(t-t_0) \lim_{s \to t_0+0} \tau[s,x] u(s,x) + \tau[t,x] D_t(Lu)(t,x).
\end{multline*} \]

В полученном выражении первый предел обращается в нуль в силу дифференцируемости функций $\tau[s,x]$ и $u(s,x)$ по $s$ при $s>t_0$, а второй — в силу дифференцируемости функции $\tau[t,x]$ в точке $t=t_0$, условия (8) и суммируемости $u(t,x)$ по переменной $t$. В результате получаем
\[ \begin{multline*}
(L\bar{u})(\bar{t},\bar{x}) = (Lu)(t,x) +{} \\
{} + a [L(\eta - \tau u_t - \xi^u u_i)(t,x) + \xi^i(t,x) D_i(Lu)(t,x)] + {} \\
{}+ a \tau[t,x] D_t(Lu)(t,x)+ o(a).
\end{multline*} \]
Таким образом, справедливость инфинитезимального преобразования (9), (10) доказана. $\square$

Замечание. В предельном случае $t_0 \to -\infty$ условие (8) не требуется.

На основе формулы продолжения (9) получаются формулы продолжения для интегро-дифференциальных переменных $D^k_t (Lu)$:
\[ \begin{equation*}
D^k_{\bar{t}}(L\bar{u})(\bar{t},\bar{x}) = D^k_t(Lu)(t,x) + a \zeta_{D^k(Lu)}[t,x] + o(a),
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{multline}
\zeta_{D^k_t (Lu)}[t,x] = D^k_t L(\eta - \tau u_t - \xi^i u_i)(t,x) + {} \\
{}+ \tau D^{k+1}_t (Lu)(t,x) + \xi^i D_i D^k_t(Lu)(t,x)
\end{multline} \tag{11} \]
(функция $Lu$ в этом случае предполагается дифференцируемой $k+1$ раз по переменной $t$).

2. Приближение дробно-дифференциальных уравнений уравнениями с малым параметром

Рассмотрим дробно-дифференциальное уравнение
\[ \begin{equation}
{}_{t_0}D^{\alpha}_t u = F(t,x,u,u_{(1)},\ldots,u_{(r)}), \quad n-1<\alpha<n, \quad n, \; r \in \mathbb{N},
\end{equation} \tag{12} \]
где ${}_{t_0}D^{\alpha}_t u = D^n_t ({}^{}_{t_0}I^{n-\alpha}_t u)$ — дробная производная Римана–Лиувилля и
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
u_{(1)} = {u_{i_1}}, \ \ \ldots, \ \ u_{(r)} = {u_{i_1 \ldots i_r}}, \\
u_{i_1} = D_{i_1} u, \ \ \ldots, \ \ u_{i_1 \ldots i_r} = D_{i_r} \ldots D_{i_1} u, \quad i_1,\ldots,i_r=1,\ldots,m.
\end{array}
\end{equation*} \]

Пусть $\alpha = n-\varepsilon$, $0<\varepsilon \ll 1$. Тогда с учетом разложения (3) уравнение (12) с точностью до $o(\varepsilon)$ приближается уравнением с малым параметром $\varepsilon$:
\[ \begin{equation}
(1+\varepsilon \gamma) \dfrac{\partial^n u}{\partial t^n} + \varepsilon \dfrac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}} (Lu) \approx F(t,x,u,u_{(1)},\ldots,u_{(r)}), \quad n , r\in \mathbb{N}.
\end{equation} \tag{13} \]
Здесь и далее приближенное равенство $f \approx g$ означает $f=g+o(\varepsilon)$.

Аналогично, дробно-дифференциальное уравнение
\[ \begin{equation}
{}^{C}_{t_0}D^{\alpha}_t u = F(t,x,u,u_{(1)},\ldots,u_{(r)}), \quad n-1<\alpha<n, \quad n,\; r \in \mathbb{N},
\end{equation} \tag{14} \]
с дробной производной Герасимова–Капуто ${}^{C}_{t_0}D^{\alpha}_t u = {}_{t_0}I^{n-\alpha}_t (D_t^n u)$, при $\alpha = n-\varepsilon$, $0<\varepsilon \ll 1$, с точностью до $o(\varepsilon)$ приближается уравнением
\[ \begin{equation}
(1+\varepsilon \gamma) \dfrac{\partial^n u}{\partial t^n} + \varepsilon \dfrac{\partial}{\partial t} L (D_t^n u) \approx F(t,x,u,u_{(1)},\ldots,u_{(r)}), \quad n, \; r \in \mathbb{N}.
\end{equation} \tag{15} \]

Отметим, что в силу наличия в уравнениях (13) и (15) интегрального оператора $L$, определенного в (4), данные уравнения являются интегро-дифференциальными. Однако в нулевом порядке по $\varepsilon$ эти уравнения являются дифференциальными уравнениями целого порядка $n$ по $t$ и порядка $r$ по $x$. Поэтому данные уравнения могут рассматриваться как дифференциальные уравнения с малыми нелокальными возмущениями. Наличие таких возмущений сохраняет в уравнениях (13) и (15) нелокальную природу исходных дробно-дифференциальных уравнений (12) и (14) соответственно.

Однако в некоторых простейших случаях нелокальность в уравнениях с малым параметром может быть исключена.

Пример. Рассмотрим простейшее обыкновенное дробно-дифференциальное уравнение
\[ \begin{equation*}
{}_{0}D^{\alpha}_t u = 0, \quad \alpha \in (1,2), \ \ t>0.
\end{equation*} \]
Его решение хорошо известно [4]:
\[ \begin{equation}
u(t) = C_1 t^{\alpha-1} + C_2 t^{\alpha-2},
\end{equation} \tag{16} \]
где $C_1$, $C_2$ — произвольные постоянные.

Пусть $\alpha=2-\varepsilon$. Тогда соответствующее приближенное уравнение (13) примет вид
\[ \begin{equation}
(1+\varepsilon \gamma) \dfrac{d^2 u}{d t^2} + \varepsilon \dfrac{d^3}{d t^3} \int_0^t \ln(t-s) u(s) ds \approx 0.
\end{equation} \tag{17} \]
Это уравнение дважды интегрируется:
\[ \begin{equation*}
(1+\varepsilon \gamma) u(t) + \varepsilon \dfrac{d}{d t} \int_0^t \ln(t-s) u(s) ds \approx At+B,
\end{equation*} \]
где $A$, $B$ — постоянные интегрирования. С точностью $o(\varepsilon)$ отсюда имеем
\[ \begin{equation*}
\varepsilon u(t) \approx \varepsilon (At+B).
\end{equation*} \]
После подстановки этого представления в интеграл и его вычисления находим
\[ \begin{equation*}
(1+\varepsilon \gamma) u(t) + \varepsilon [At (\ln t-1) + B \ln t] \approx At+B.
\end{equation*} \]
С точностью до $o(\varepsilon)$ получаем
\[ \begin{equation*}
u(t) \approx At(1+\varepsilon-\varepsilon \gamma - \varepsilon \ln t) + B(1-\varepsilon \gamma - \ln t)
\end{equation*} \]
или, обозначая $C_1 = (1+\varepsilon-\varepsilon \gamma)A$, $C_2 = (1-\varepsilon \gamma)B$, находим
\[ \begin{equation*}
u(t) \approx (C_1 t + C_2)(1-\varepsilon \ln t),
\end{equation*} \]
что соответствует разложению решения (16) при $\alpha=2-\varepsilon$ в ряд по $\varepsilon$ с точностью до $o(\varepsilon)$.

Теперь заметим, что второе слагаемое в уравнении (17) можно упростить с учетом приближенного равенства $\varepsilon u'' \approx 0$:
\[ \begin{multline*}
\varepsilon \dfrac{d^3}{d t^3} \int_0^t \ln(t-s) u(s) ds = \varepsilon \dfrac{d^3}{d t^3} \int_0^t \ln(s) u(t-s) ds = {}
\\
{}
=\varepsilon \dfrac{d^2}{d t^2} \biggl[u(0) \ln t + \int_0^t \ln(s) u'(t-s) ds \biggr] = {}
\\
{}
= \varepsilon \dfrac{d}{d t} \Bigl[\dfrac{u(0)}{t} + u'(0) \ln t \Bigr] + \dfrac{d}{d t} \int_0^t \ln(s) \varepsilon u''(t-s) ds \approx
\varepsilon \Bigl[\dfrac{u'(0)}{t} -\dfrac{u(0)}{t^2} \Bigr].
\end{multline*} \]

В силу уравнения $\varepsilon u'' \approx 0$ справедливы равенства $\varepsilon u'(0) \approx \varepsilon u'(t)$, $\varepsilon u(0) = \varepsilon u(t) - \varepsilon u'(t)$. В результате уравнение (17) приводится к виду
\[ \begin{equation*}
\dfrac{d^2 u}{d t^2} + \varepsilon \Bigl( \dfrac{2}{t} \dfrac{du}{dt} - \dfrac{u(t)}{t^2} \Bigr) \approx 0,
\end{equation*} \]
то есть становится обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с малым параметром. Его исследование может быть выполнено классическими методами теории возмущений для дифференциальных уравнений с малым параметром.

Тем не менее подавляющее большинство получающихся в результате описанной выше процедуры приближенных нелокальных уравнений, особенно нелинейных, не может быть приведено к локальным. В этой связи при их симметрийном анализе возникает ряд важных особенностей, которые будут рассмотрены далее.

3. Приближенные точечные симметрии

Приближенные преобразования получаются в результате введения в функции $\varphi$, $\psi^i$ и $\theta$ из (5) дополнительной переменной — малого параметра $\varepsilon$ с последующим разложением по нему этих функций в ряд Тейлора с удержанием нескольких (обычно двух) первых членов разложения. Теория групп таких приближенных преобразований применительно к дифференциальным уравнениям с малым параметром была развита в работах [12, 13] (см. также [14]). С точностью $o(\varepsilon)$ инфинитезимальный оператор такой группы имеет вид
\[ \begin{equation}
X \equiv X_{(0)} + \varepsilon X_{(1)} = (\tau_{(0)} + \varepsilon \tau_{(1)}) \dfrac{\partial}{\partial t} + (\xi^i_{(0)} + \varepsilon \xi^i_{(1)}) \dfrac{\partial}{\partial x^i} + (\eta_{(0)} + \varepsilon \eta_{(1)}) \dfrac{\partial}{\partial u}.
\end{equation} \tag{18} \]
Здесь $\tau_{(0)}$, $\tau_{(1)}$, $\xi^i_{(0)}$, $\xi^i_{(1)}$, $\eta_{(0)}$, $\eta_{(1)}$ являются функциями переменных $t$, $x$, $u$.

Определение. Приближенной точечной симметрией дифференциального или интегро-дифференциального уравнения с малым параметром называется оператор вида (18), соответствующий группе приближенных преобразований, допускаемых этим уравнением с точностью $o(\varepsilon)$.

Рассмотрим алгоритм нахождения приближенных симметрий на примере уравнений (13) и (15). Он сводится к следующим основным шагам.

1. Методами классического группового анализа находится группа точечных симметрий (все операторы $X_{(0)}$) невозмущенного уравнения
   \[ \begin{equation*}
   \dfrac{\partial^n u}{\partial t^n} = F(t,x,u,u_{(1)},\ldots,u_{(r)}), \quad n, \; r \in \mathbb{N}.
   \end{equation*} \]
2. С использованием приведенных в разделе 1 формул продолжения, найденная невозмущенная группа продолжается на интегро-дифференциальные переменные $D_t^{n+1} (Lu)$ или $D_t L(D_t^n u)$, а также на все дифференциальные переменные, входящие в соответствующее уравнение.
3. На основе критерия приближенной инвариантности, имеющего вид
   \[ \begin{multline*}
   \Bigl\{(\tilde{X}_{(0)}+\varepsilon \tilde{X}_{(1)})
   \Bigl[\dfrac{\partial^n u}{\partial t^n} - F(t,x,u,u_{(1)},\ldots,u_{(r)})\Bigr] +
   {}
   \\
   {}
   + \varepsilon \tilde{X}_{(0)} \Bigl[\gamma \dfrac{\partial^n u}{\partial t^n} + \dfrac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}} (Lu)\Bigr] \Bigr\} \Bigr|_{(\ref{LVS:AppDE_RL})} \approx 0
   \end{multline*} \]
   для уравнения (13), и
   \[ \begin{multline*}
   \Bigl\{(\tilde{X}_{(0)}+\varepsilon \tilde{X}_{(1)})\Bigl[\dfrac{\partial^n u}{\partial t^n} - F(t,x,u,u_{(1)},\ldots,u_{(r)})\Bigr] +
   {}
   \\ {}
   + \varepsilon \tilde{X}_{(0)} \Bigl[\gamma \dfrac{\partial^n u}{\partial t^n} + \dfrac{\partial}{\partial t} L (D_t^n u)\Bigr] \Bigr\} \Bigr|_{(\ref{LVS:AppDE_C})} \approx 0
   \end{multline*} \]
   для уравнения (15), строится определяющее уравнение, решением которого являются координаты оператора $X_{(1)}$. Здесь $\tilde{X}_{(0)}$ и $\tilde{X}_{(1)}$ — соответствующие продолженные операторы.

В результате решения определяющего уравнения находятся приближенные точечные симметрии вида (18).

Важно отметить, что определяющее уравнение, возникающее из критерия приближенной инвариантности, является относительно координат искомого оператора $X_{(1)}$ линейным дифференциальным уравнением в частных производных целого порядка, а не интегро-дифференциальным уравнением.

Пример. Рассмотрим в качестве примера нелинейное дробно-дифференциальное уравнение фильтрации субдиффузионного типа:
\[ \begin{equation}
{}_{0}D^{\alpha}_t u = e^{u_x} u_{xx}, \quad t>0 \quad \alpha \in (0,1).
\end{equation} \tag{19} \]
В предельном случае $\alpha=1$ это уравнение переходит в классическое уравнение фильтрации с производной первого порядка по времени, допускающее пятимерную алгебру точечных симметрий (см. [26]) с базисом
\[ \begin{equation}
\begin{array}{ll}
X_1 = \dfrac{\partial}{\partial x}, &
X_2 = 2t\dfrac{\partial}{\partial t}+ x\dfrac{\partial}{\partial x}+u\dfrac{\partial}{\partial u}, \\
X_3 = \dfrac{\partial}{\partial u}, &
X_4 = t\dfrac{\partial}{\partial t} - x \dfrac{\partial}{\partial u}, \quad
X_5 = \dfrac{\partial}{\partial t}.
\end{array}
\end{equation} \tag{20} \]

Симметрии дробно-дифференциального уравнения (19) находятся по алгоритму, приведенному в [8]. В этом случае алгебра точечных симметрий оказывается двумерной с базисом
\[ \begin{equation*}
X_1 = \dfrac{\partial}{\partial x}, \quad
X_2 = 2t\dfrac{\partial}{\partial t}+ \alpha x\dfrac{\partial}{\partial x}+ \alpha u\dfrac{\partial}{\partial u}.
\end{equation*} \]

Таким образом, алгебра симметрий дробно-дифференциального уравнения оказывается существенно беднее алгебры симметрий соответствующего уравнения с производными целого порядка.

Теперь рассмотрим уравнение (19) в приближении $\alpha=1-\varepsilon$, $0<\varepsilon \ll 1$. Тогда оно с точностью $o(\varepsilon)$ приближается уравнением
\[ \begin{equation}
(1+\varepsilon \gamma) u_t + \varepsilon D^2_t (Lu) = e^{u_x} u_{xx},
\end{equation} \tag{21} \]
где оператор $L$ определяется (4) с $t_0=0$. Найдем приближенные симметрии данного уравнения, используя представленный выше алгоритм.

При $\varepsilon=0$ уравнение (21) совпадает с (19) и поэтому допускает пятипараметрическую группу преобразований с операторами (20). Общий оператор такой группы может быть записан в виде
\[ \begin{multline}
X_{(0)} \equiv \sum_{i=1}^5 A_i X_i = (A_5+(2A_2-A_4)t)\dfrac{\partial}{\partial t} +(A_1+A_2 x) \dfrac{\partial}{\partial x} + {} \\ {}+ (A_2 u + A_3 + A_4 x) \dfrac{\partial}{\partial u},
\end{multline} \tag{22} \]
где $A_i$ — произвольные постоянные. Таким образом, п. 1 приведенного выше алгоритма выполнен.

Далее в соответствии с п. 2 алгоритма найдем продолжение инфинитезимального оператора (22) пятипараметрической группы преобразований на нелокальную переменную $D^2_t (Lu)$. Формула продолжения (11) после элементарных преобразований дает
\[ \begin{multline*}
\zeta_{D^2_t(Lu)} = \dfrac{A_3+A_4x}{t} + A_2 D^2_t(Lu) - A_5 D^2_t(Lu_t) - (2A_2 - A_4) D^2_t L(tu_t) + \\
+(A_5+(2A_2-A_4)t) D^3_t(Lu).
\end{multline*} \]
Воспользуемся тождествами
\[ \begin{equation*}
D_t L(t u_t) = t D^2_t(Lu)-u,
\quad
L(u_t) - D_t(Lu) = u(0,x) \ln t,
\end{equation*} \]
справедливость которых легко проверяется непосредственными вычислениями. Тогда
\[ \begin{equation*}
\zeta_{D^2_t(Lu)} = \dfrac{A_5}{t} u(0,x) + \dfrac{A_3+A_4x}{t} + (2A_2 - A_4) u_t + (A_4-A_2) D^2_t(Lu).
\end{equation*} \]
Продолжения оператора (22) на переменные $u_t$, $u_x$ и $u_{xx}$ находятся по классическим формулам (см., например, [1, 2]) и имеют, соответственно, вид
\[ \begin{equation*}
\zeta_{(0)t} = (A_4-A_2)u_t, \quad \zeta_{(0)x} = A_4, \quad \zeta_{(0)xx} = -A_2 u_{xx}.
\end{equation*} \]

В результате продолженный оператор нулевого приближения имеет вид
\[ \begin{multline*}
\tilde{X}_{(0)} = [A_5+(2A_2-A_4)t]\dfrac{\partial}{\partial t} +[A_1+A_2 x] \dfrac{\partial}{\partial x} + [A_2 u + A_3 + A_4 x] \dfrac{\partial}{\partial u}
+ {}
\\
{}+
[(A_4-A_2)u_t] \dfrac{\partial}{\partial u_t} + A_4 \dfrac{\partial}{\partial u_x} -A_2 u_{xx} \dfrac{\partial}{\partial u_{xx}}
+ {} \\ {}+
\Bigl[\dfrac{A_5}{t} u(0,x) + \dfrac{A_3+A_4x}{t} + (2A_2 - A_4) u_t + (A_4-A_2) D^2_t(Lu) \Bigr] \dfrac{\partial}{\partial D^2_t (Lu)}.
\end{multline*} \]
Продолженный оператор первого приближения записывается в виде
\[ \begin{equation*}
\tilde{X}_{(1)} = \tau_{(1)} \dfrac{\partial}{\partial t} + \xi_{(1)} \dfrac{\partial}{\partial x} + \eta_{(1)} \dfrac{\partial}{\partial u}
+ \zeta_{(1)t} \dfrac{\partial}{\partial u_t} + \zeta_{(1)x} \dfrac{\partial}{\partial u_x} + \zeta_{(1)xx} \dfrac{\partial}{\partial u_{xx}},
\end{equation*} \]
где $\tau_{(1)}$, $\xi_{(1)}$ и $\eta_{(1)}$ — функции переменных $t$, $x$, $u$, a $\zeta_{(1)t}$, $\zeta_{(1)x}$ и $\zeta_{(1)xx}$ определяются классическими формулами продолжения [1, 2]
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{l}
\zeta_{(1)t} = D_t (\eta_{(1)}) - D_t(\tau_{(1)}) u_t - D_t(\xi_{(1)}) u_x, \mathstrut \\
\zeta_{(1)x} = D_x (\eta_{(1)}) - D_x(\tau_{(1)}) u_t - D_x(\xi_{(1)}) u_x, \mathstrut \\
\zeta_{(1)xx} = D^2_x (\eta_{(1)}) - D^2_x(\tau_{(1)}) u_t - D^2_x(\xi_{(1)}) u_x - 2 D_x(\tau_{(1)}) u_{tx} - 2 D_x(\xi_{(1)}) u_{xx}.
\end{array}
\end{equation*} \]

В результате определяющее уравнение из п. 3 алгоритма после несложных преобразований приобретает вид
\[ \begin{equation}
\zeta_{(1)t} - \zeta_{(1)x} e^{u_x} u_{xx} - \zeta_{(1)xx} e^{u_x} = -\dfrac{A_5}{t} u(0,x) - \dfrac{A_3+A_4x}{t} + (A_4-2A_2)u_t.
\end{equation} \tag{23} \]
Это уравнение соответствует первому порядку разложения по $\varepsilon$, поэтому должно выполняться в силу невозмущенного уравнения $u_t = e^{u_x} u_{xx}$.

В (23) функция начального условия $u(0, x)$ должна рассматриваться как самостоятельная независимая переменная, т.к. уравнение должно быть выполнено при любых таких функциях. Поэтому расщепление по этой переменной дает $A_1=0$, т.е. группа переносов по времени, соответствующая оператору $X_1$, не наследуется возмущенным уравнением (21). Частное решение оставшейся части определяющего уравнения, соответствующее правой части уравнения (23), имеет вид
\[ \begin{equation*}
\tau_{(1)} = [2A_2-A_4 (2-\ln t)]t, \quad \xi_{(1)} = 0, \quad \eta_{(1)} = -(A_3+A_4 x) \ln t.
\end{equation*} \]

В результате получено, что возмущенное уравнение (21) наследует первые четыре из пяти точечных симметрий (20) невозмущенного уравнения. Соответствующие приближенные точечные симметрии имеют вид
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{rl}
X_1 = \dfrac{\partial}{\partial x}, &
X_2 = 2(1+\varepsilon)t\dfrac{\partial}{\partial t}+ x\dfrac{\partial}{\partial x}+u\dfrac{\partial}{\partial u}, \\[2ex]
X_3 = (1-\varepsilon \ln t)\dfrac{\partial}{\partial u}, &
X_4 = [1+\varepsilon (2-\ln t)]t\dfrac{\partial}{\partial t} - (1-\varepsilon \ln t) x \dfrac{\partial}{\partial u}.
\end{array}
\end{equation*} \]
При этом, как обычно [12–14], возмущенное уравнение (21) будет также обладать приближенными симметриями, полученными из симметрий (20) невозмущенного уравнения умножением на малый параметр $\varepsilon$:
\[ \begin{equation*}
X_5 = \varepsilon \dfrac{\partial}{\partial t}, \quad X_6 = \varepsilon X_1, \quad X_7 = \varepsilon X_2, \quad X_8 = \varepsilon X_3, \quad X_9 = \varepsilon X_4.
\end{equation*} \]

Таким образом, возмущенное уравнение (21) обладает 9-мерной алгеброй приближенных точечных симметрий с базисом $X_i$ $(i=1,\ldots,9)$. Видно, что размерность алгебры приближенных симметрий дробно-дифференциального уравнения оказывается существенно больше размерности соответствующей алгебры точных симметрий, что дает возможность строить новые приближенно инвариантные решения такого уравнения, которые не могут быть получены из соответствующих точных инвариантных решений.

В заключение примера сделаем два замечания.

Во-первых, если в исходном уравнении (19) вместо дробной производной Римана–Лиувилля будет использована дробная производная Капуто, то алгебра симметрий такого уравнения оказывается трехмерной, так как в этом случае дополнительно будет допускаться оператор $X_3$ из (20). Операторы $X_4$ и $X_5$ по-прежнему не наследуются. Алгебра приближенных симметрий соответствующего возмущенного уравнения при этом останется 9-мерной.

Во-вторых, если в уравнении (19) используются дробные производные с $t_0 = -\infty$ (случай полной памяти системы) c дополнительным естественным физическим ограничением $ \lim_{t \to -\infty} u(t,x)=0$, то такое уравнение будет допускать группу переносов по времени, соответствующую оператору $X_5$. Данная симметрия будет без изменений наследоваться соответствующим возмущенным уравнением, в результате чего алгебра приближенных точечных симметрий такого уравнения станет 10-мерной.

4. Нелокальные приближенные симметрии

Важным преимуществом предлагаемого в данной работе подхода является возможность нахождения в ряде случаев не только точечных, но и нелокальных симметрий. Такие симметрии для дифференциальных уравнений целого порядка известны достаточно давно [23–25] и к их построению развит целый ряд подходов [26–28]. Для дробно-дифференциальных уравнений нелокальные симметрии представляются естественными в силу нелокальности самих дробно-дифференциальных операторов. Однако в настоящее время известны лишь отдельные примеры построения таких симметрий [11, 29, 30].

Для рассматриваемых в работе нелокальных уравнений с малым параметром процедура нахождения определенного вида нелокальных симметрий оказывается несколько проще, чем для исходных дробно-дифференциальных уравнений. Это связано с тем, что рассматриваемые уравнения являются нелокальными только в первом порядке по $\varepsilon$ и нелокальная переменная определена явно в виде интегро-дифференциального слагаемого $D_t^n(Lu)$. В результате нелокальные симметрии могут быть найдены аналогично высшим симметриям при условии, что координаты инфинитезимального оператора в $\varepsilon$-порядке будут дополнительно зависеть от нелокальных переменных.

Известно [2], что инфинитезимальный оператор (18) может быть записан в каноническом виде в форме оператора Ли–Беклунда:
\[ \begin{equation*}
Y = (\omega_{(0)} + \varepsilon \omega_{(1)}) \dfrac{\partial}{\partial u}, \quad \omega_{(j)} = \eta_{(j)} - \tau_{(j)}u_t - \xi^{i}_{(j)} u_{i}, \quad j=0, 1.
\end{equation*} \]
Если дополнительно предположить зависимость координаты $\omega_{(1)}$ от нелокальной переменной $Lu$ и ее производных, то такая координата может быть найдена из $\varepsilon$-части определяющего уравнения. Алгоритм нахождения приближенных симметрий при этом не изменяется, происходит только увеличение размерности пространства независимых переменных. При этом продолжение оператора $Y$ на любую переменную вида $Mu$, где $M$ — линейный оператор (дифференциальный, интегральный или интегро-дифференциальный) имеет вид
\[ \begin{equation*}
\tilde{Y} = Y + \zeta_{Mu} \dfrac{\partial}{\partial (Mu)}, \quad \zeta_{Mu} = M(\omega_{(0)} + \varepsilon \omega_{(1)}).
\end{equation*} \]
Проиллюстрируем описанный подход простым примером.

Пример. Рассмотрим линейное уравнение субдиффузии с полной памятью
\[ \begin{equation*}
{}_{-\infty}D^{\alpha}_t u = u_{xx}, \quad \alpha \in (0,1).
\end{equation*} \]
При $\alpha=1-\varepsilon$ с точностью $o(\varepsilon)$ оно приближается уравнением
\[ \begin{equation}
(1+\varepsilon \gamma) u_t + \varepsilon \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} Lu = u_{xx}.
\end{equation} \tag{24} \]

Хорошо известно [1], что невозмущенное уравнение $u_t = u_{xx}$ обладает симметрией
\[ \begin{equation}
X_{(0)} = - 2 t \dfrac{\partial}{\partial x} + xu \dfrac{\partial}{\partial u}.
\end{equation} \tag{25} \]
С помощью алгоритма, описанного в предыдущем разделе, можно показать, что данная симметрия не наследуется уравнением (24) в виде приближенной точечной симметрии.

В канонической форме оператор $X_{(0)}$ имеет вид
\[ \begin{equation*}
Y_{(0)} = (xu + 2t u_x) \dfrac{\partial}{\partial u},
\end{equation*} \]
а координата его продолжения на нелокальную переменную $D^2_t(Lu)$ есть
\[ \begin{equation*}
\zeta_{D^2_t(Lu)} = D^2_t[x Lu + 2 L(tu_x)].
\end{equation*} \]

Определяющее уравнение в нулевом приближении в силу уравнения (24) обращается в нуль, а в $\varepsilon$-приближении принимает вид
\[ \begin{equation*}
D_t(\omega_{(1)}) - D^2_x(\omega_{(1)}) = -2\gamma u_x + 2t D^2_t(Lu_x)-2D^2_t L(t u_x).
\end{equation*} \]

Так как нижний передел интегрирования в операторе $L$ равен $-\infty$, справедливо представление
\[ \begin{equation*}
D^2_t L(t u_x) = D_t (Lu_x) + t D^2_t (Lu_x) - u_x.
\end{equation*} \]

В результате приходим к уравнению
\[ \begin{equation*}
D_t(\omega_{(1)}) - D^2_x(\omega_{(1)}) = 2(1-\gamma) u_x -2D_t (L u_x),
\end{equation*} \]
которое должно выполняться в силу уравнения $u_t=u_{xx}$. В результате находим
\[ \begin{equation*}
\omega_{(1)} = 2(1-\gamma)tu_x - 2t D_t (Lu_x).
\end{equation*} \]
Таким образом, для уравнения (24) найдена приближенная нелокальная симметрия
\[ \begin{equation*}
Y = \{xu + 2t u_x + \varepsilon [2(1-\gamma)tu_x - 2t D_t (Lu_x)] \} \dfrac{\partial}{\partial u}.
\end{equation*} \]
Данная симметрия может быть представлена и в классическом виде как
\[ \begin{equation*}
X = -2 [1+(1-\gamma) \varepsilon] t \dfrac{\partial}{\partial x} + [xu - 2\varepsilon t D_t (Lu_x)] \dfrac{\partial}{\partial u}.
\end{equation*} \]

Тем самым показано, что точечная симметрия (25) классического уравнения диффузии (или теплопроводности) $u_t = u_{xx}$ нелокально наследуется возмущенным уравнением (24).

Заключение

Предложен новый алгоритм нахождения приближенных симметрий для дробно-дифференциальных уравнений, основанный на разложении дробных производных в ряд по малому параметру, выделяемому из порядка дробного дифференцирования. Принципиальным его отличием от алгоритма, использованного ранее в работах [10, 15], является применение разложения на основе интегро-дифференциального оператора с логарифмическим ядром. Преимущества нового алгоритма заключаются в более низких требованиях к гладкости решения дробно-дифференциального уравнения, в возможности расчета приближенных симметрий для уравнений с дробными производными с бесконечными пределами интегрирования, а также в возможности построения нелокальных симметрий определенного вида. Эффективность алгоритма проиллюстрирована на нелинейном дробно-дифференциальном уравнении фильтрации субдиффузионного типа. Знание приближенной алгебры симметрий дробно-дифференциальных уравнений открывает возможность построения для них новых приближенно инвариантных решений и приближенных законов сохранения.

Конкурирующие интересы. Авторы заявляют об отсутствии конкурирующих интересов.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в получении основных результатов статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Veronika O. Lukashchuk

Ufa University of Science and Technology

Email: voluks@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-3082-1446
https://www.mathnet.ru/person51946

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of High Performance Computing Technologies and Systems

Russian Federation, 450076, Ufa, Zaki Validi st., 32

Stanislav Yu. Lukashchuk

Ufa University of Science and Technology

Author for correspondence.
Email: lsu@ugatu.su
ORCID iD: 0000-0001-9209-5155
https://www.mathnet.ru/person44044

Dr. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Professor; Dept. of High Performance Computing Technologies and Systems

Russian Federation, 450076, Ufa, Zaki Validi st., 32

References

Supplementary files