Parametric identification of concentrated effects in multidimensional inverse heat conduction problems

Full Text

Введение

Общая проблема увеличения эффективности функционирования технологического оборудования при реализации производственных процессов приводит к необходимости поиска скрытых резервов технического, методического и алгоритмического обеспечения на всем производственном цикле: начиная от проектирования технологических установок и заканчивая оптимизацией режимных параметров при их функционировании.

Одним из возможных путей достижения заданной цели является построение и дальнейшее использование в расчетах точных математических моделей оптимизируемых процессов, учитывающих как существенные закономерности исследуемого явления, так и специфику реализации производственных процессов или режимов работы оборудования в каждом отдельном случае. Нестационарность исследуемых явлений, неучтенные взаимодействия приводят к отклонению основных характеристик от своих проектных значений, что вызывает необходимость их оценивания в реальных условиях. Построение моделей, содержащих не подлежащие непосредственному контролю факторы, невозможно без использования доступной экспериментальной информации. На основе экспериментальных данных, полученных в ограниченной области (отдельных точках контроля) исследуемого объекта, с помощью теории обратных задач математической физики возможно восстановить не подлежащие непосредственному измерению характеристики процесса [1, 2].

В сфере технологической теплофизики актуален ряд задач, предусматривающих идентификацию ненаблюдаемых в силу используемых технологий внутренних или граничных управляющих воздействий по экспериментальной информации о температуре, полученной в некоторых точках термометрирования, расположенных по объему нагреваемого тела. Данный класс задач относится к обратным задачам теплопроводности (ОЗТ), и для их решения создано и продолжает разрабатываться большое число различных методов: численных и аналитических, методов подбора, на основе различных способов регуляризации и других [3–8].

Для получения математического описания с точностью, необходимой для решения реальных производственных задач управления процессами технологической теплофизики, математическая модель должна максимально полно воссоздавать процессы нагрева во всей пространственной области. Для этого нужно использовать многомерные модели (трехмерные или двумерные в случае осесимметричного нагрева) [9, 10].

В работах [11, 12] восстановление неизвестных пространственно-временных внутренних или внешних воздействий в результате решения одномерной и двумерной ОЗТ осуществлено с помощью модального описания температурного поля и искомых характеристик в форме разложения в ряды по собственным функциям тепловой задачи. Однозначная зависимость между числом точек контроля температуры и количеством модальных составляющих, используемых для модального описания объекта, ограничивает возможности применения данного метода. Необходимость повышения точности решения задачи за счет увеличения количества учитываемых мод вступает в противоречие с требованиями минимизации числа размещаемых датчиков, нарушающих целостность конструкции и вносящих искажения в результаты измерений.

Поэтому разработка методов решения многомерных обратных задач теплопроводности по экспериментальной информации, полученной в точках контроля температуры, число которых будет минимальным, на сегодняшний день остается актуальной научно-технической проблемой. В статье метод последовательной параметрической оптимизации идентифицируемых воздействий [13–15], показавший свою эффективность при решении одномерных задач, распространен на случай многомерных ОЗТ. Решена обратная задача теплопроводности по идентификации сосредоточенного закона распределения внутренних источников тепла на примере процесса индукционного нагрева двумерного осесимметричного тела прямоугольной формы.

1. Модальное описание линейных моделей процесса теплопроводности

Поведение температурного поля $\theta(x,y,\varphi)$ в процессе индукционного нагрева осесимметричной бесконечной прямоугольной призмы [20] описывается линейным неоднородным уравнением Фурье в относительных декартовых координатах $(x,y) $ на заданном временном интервале $\varphi \in [0,\varphi^{*}]$:
\[ \begin{equation}
\frac{\partial \theta(x,y,\varphi)}{\partial \varphi} = \frac{\partial^{2} \theta(x,y,\varphi)}{\partial x^{2}} + \beta^{2} \frac{\partial^{2} \theta(x,y,\varphi)}{\partial y^{2}} + \Psi(x,y,\varphi),
\end{equation} \tag{1} \]
\[ \begin{equation*}
0<x<1,\quad 0<y<1,\quad 0<\varphi<\varphi^{*}
\end{equation*} \]
и дополняется начальными (в данном случае нулевыми)
\[ \begin{equation*}
\theta(x, y, 0)=0, \quad x \in [0{,} 1], \quad y \in [0{,} 1]
\end{equation*} \]
и граничными условиями (здесь – однородными граничными условиями второго рода)
\[ \begin{multline}
\frac{\partial \theta(0,y,\varphi)}{\partial x} = \frac{\partial \theta(1,y,\varphi)}{\partial x} =
\beta \frac{\partial \theta(x,0,\varphi)}{\partial y} =\beta \frac{\partial \theta(x,1,\varphi)}{\partial y}=0, \quad \varphi\in(0,\varphi^{*}].
\end{multline} \tag{2} \]
Здесь $\Psi(x,y,\varphi)$ — функция внутренних теплоисточников, которая, как правило, в реальных промышленных условиях может быть представлена в виде $\Psi(x,y,\varphi)=F(x,y)u(\varphi)$, где $F(x,y)$ и $u(\varphi)$ — закон пространственного распределения электромагнитных источников тепла и их мощность соответственно, коэффициент $\beta=X/Y$ определяет отношение геометрических размеров тела, где $X$ и $Y$ — половина большей и меньшей сторон сечения призмы соответственно.

Применение метода конечных интегральных преобразований [16] приводит к представлению температурного поля
\[ \begin{equation}
\theta(x,y,\varphi)=\sum^{\infty}_{m=0}\sum^{\infty}_{k=0} C_{m}^{2} C_{k}^{2} \bar \theta _{mk} (\mu_m,\eta_k,\varphi) \cos (\pi m x) \cos (\pi k y)
\end{equation} \tag{3} \]
в форме его разложения в бесконечный сходящийся в среднем ряд [16] по собственным функциям $\cos (\pi m x)$ и $\cos (\pi k y)$ задачи (1), (2), определяемым собственными числами $\mu_m^2 = \pi^2 m^2$ и $\eta_k^2 = \pi^2 k^2$; $C_{m}^{2}$ и $C_{k}^{2}$ — нормирующие множители, которые равны 1 при $m=0$, $k=0$ или равны 2 при $m\geqslant 1$, ${k\geqslant 1}$. Модальные составляющие (временные моды) температурного поля также получены в результате применения конечных интегральных преобразований по пространственным координатам:
\[ \begin{equation}
\bar \theta _{mk} (\mu_m,\eta_k,\varphi)=\int _0^1\int _0^1 \theta(x,y,\varphi) \cos (\pi m x) \cos (\pi k y)\,dxdy,
\end{equation} \tag{4} \]
а их поведение задано бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений
\[ \begin{equation}
\frac{\bar\theta_{mk}}{d\varphi}=-(\mu_m^2+\beta^2\eta_k^2)\bar\theta_{mk}(\mu_m,\eta_k,\varphi)+\bar F_{mk}(\mu_m,\eta_k)u(\varphi),
\end{equation} \tag{5} \]
\[ \begin{equation*}
m, k=0,1,\dots, \quad \varphi\in(0,\varphi^*],
\end{equation*} \]
где модальные переменные функции внутренних теплоисточников могут быть определены аналогично (4):
\[ \begin{equation}
\bar F_{mk}(\mu_m,\eta_k)=\int_0^1\int_0^1 F(x,y) \cos(\pi m x) \cos(\pi k y)\,dxdy
\end{equation} \tag{6} \]
и позволяют получить ее соответствующее представление:
\[ \begin{equation*}
F(x,y) = \sum^{\infty}_{m=0}\sum^{\infty}_{k=0} C_{m}^{2} C_{k}^{2} \bar F_{mk} (\mu_m,\eta_k) \cos (\pi m x) \cos (\pi k y).
\end{equation*} \]

Для однозначного описания процесса индукционного нагрева система дифференциальных уравнений (5) дополняется нулевыми начальными условиями для модальных переменных
\[ \begin{equation}
\bar \theta_{mk}(\mu_m,\eta_k,0)=0, \quad m,k=0,1,\dots
\end{equation} \tag{7} \]
и соответствующими граничными условиями (2).

2. Постановка и решение обратной задачи теплопроводности

Таким образом, модальное представление процесса индукционного нагрева задано математической моделью (2), (3), (5), (7). На основе этого математического описания рассматривается ОЗТ, в которой функция $u(\varphi)$ является неизвестной и подлежащей идентификации на основе дополнительной информации о температурном распределении $\theta^*(\varphi)=\theta^*(x^*,y^*,\varphi)$, полученном в одной фиксированной точке с координатами $(x^*,y^*)$: $x^* \in [0{,} 1]$, $y^* \in [0{,} 1]$ на интервале идентификации $\varphi \in (0,\varphi^*]$. В качестве точки контроля может быть выбрана любая точка из пространственной области, занимаемой объектом, это окажет влияние лишь на точность решения задачи, но все основные свойства предлагаемого метода останутся без изменений, что обусловлено его универсальным характером. Подобно ОЗТ в одномерном случае [13–15], формулируется минимаксная постановка задачи, в которой по экспериментальным данным $\theta^*(\varphi)$ требуется определить функцию $u(\varphi)$, минимизирующую функционал
\[ \begin{equation}
I_0(u) = \max_{\varphi \in (0,\varphi^*)} |\theta_M(x^*,y^*,\varphi)-\theta^*(\varphi)| \to \min_{u(\varphi)},
\end{equation} \tag{8} \]
где $\theta_M(x^*,y^*,\varphi)$ — рассчитанная на основе модели процесса (2), (3), (5), (7) температура в той же точке $(x^*,y^*)$ на заданном интервале идентификации.

Аналогично [13–15] осуществляется сужение множества решений до физически реализуемых функций. Так, переход к классу функций, непрерывных вместе со своей производной, производится на основе соотношений
\[ \begin{equation}
\frac {du(\varphi)}{d\varphi}=v(\varphi), \quad \frac {dv(\varphi)}{d\varphi}=w(\varphi); \quad u(0)=u_0; \quad v(0)=u'(0)=v_0
\end{equation} \tag{9} \]
и выполнения ограничений на максимально допустимое значение $w_{\max}$ нового управления
\[ \begin{equation}
|u''_{\varphi}|=|w(\varphi)| \leqslant |w_{\max}|, \quad \varphi \in (0,\varphi^*).
\end{equation} \tag{10} \]

В таком случае осуществляется переход от задачи (8) к минимаксной задаче
\[ \begin{equation}
I_1(w) = \max_{\varphi \in (0,\varphi^*)} |\theta_M(x^*,y^*,\varphi)-\theta^*(\varphi)| \to \min_{w(\varphi)}
\end{equation} \tag{11} \]
с условным управляющим воздействием $w(\varphi)$, которая дополняется соотношениями (9), (10), что в совокупности соответствует поиску решения исходной задачи в заданном классе функций.

Решение задачи далее осуществляется по схеме аналитического метода параметрической оптимизации, представленного в [13–15], и сводится к переходу от задачи оптимального управления с минимаксным критерием (11) к задаче с интегральным функционалом
\[ \begin{equation}
I_2(w,\alpha) = \frac{1}{\varphi^*} \int _0^{\varphi^*} \alpha\,d\varphi = \alpha \to \min_{w,\alpha}
\end{equation} \tag{12} \]
при учете дополнительного фазового ограничения
\[ \begin{equation}
|\theta_M(x^*,y^*,\varphi)-\theta^*(\varphi)|-\alpha \le 0, \quad \varphi \in (0, \varphi^*).
\end{equation} \tag{13} \]

В [13] обосновывается, что фазовое ограничение (13) не нарушается на всем интервале идентификации, следовательно, решение полученной задачи (12) осуществляется без его учета на основе принципа максимума Понтрягина. Процедура принципа максимума и последующее интегрирование соотношений (9) позволяют получить параметрическое представление искомой характеристики в виде кусочно-параболической функции времени:
\[ \begin{equation}
u^*(\varphi,\Delta)=
\begin{cases}
u_0+v_0\varphi+\dfrac{(\pm 1)w_{\max}}{2} \varphi^2, \quad \varphi \in [0, \tilde\Delta_1], \quad N \geqslant 1; \\
u_0+v_0\varphi+\dfrac{(\pm 1)w_{\max}}{2} \varphi^2 + \displaystyle
(\pm1)w_{\max}\sum^j_{q=2}(-1)^{q+1} \biggl(\varphi-\sum^{q-1}_{i=1} \tilde\Delta_i\biggr) ^2 , \\
\qquad \qquad \quad
\displaystyle \sum^{j-1}_{i=1}\tilde\Delta_i \leqslant \varphi \leqslant \sum^{j}_{i=1}\tilde\Delta_i, \quad j = \overline{2,N}, \quad N \geqslant 2.
\end{cases}
\end{equation} \tag{14} \]
Здесь число $N$ соответствует количеству интервалов постоянства имеющего релейный характер оптимального условного управления $w^*(\varphi, \Delta)$, ${\tilde\Delta=(\tilde\Delta_i)}$, $ i= \overline{1,N}$ — вектор длительностей интервалов постоянства $w^*(\varphi, \Delta)$, а вектор $\Delta=(\tilde\Delta^i,$ $w_{\max}, u_0, v_0)$ коэффициентов параметрического представления $u^*(\varphi)$ дополнен соответствующими параметрами.

Далее с использованием полученного параметрического представления (14) на базе общего решения уравнения теплопроводности (1) с соответствующими нулевыми начальными и граничными условиями (2) вида
\[ \begin{equation}
\theta(x,y,\varphi)=\int _0^\varphi \frac{\partial\Lambda(x,y,\varphi-\tau)}{\partial\varphi}u(\tau)\,d\tau,
\end{equation} \tag{15} \]
где $\partial\Lambda(x,y,\varphi)/\partial\varphi$ является импульсной переходной функцией (функцией Грина краевой задачи), осуществляется переход к параметризованной форме температурного поля:
\[ \begin{equation}
\theta(x,y,\varphi,\Delta)=
\begin{cases}
\displaystyle \Lambda(x,y,\varphi,u_0,v_0,w_{\max}), \quad \varphi \in [0,\tilde\Delta_1], \quad N \geqslant 1; \\
\displaystyle \Lambda(x,y,\varphi,u_0,v_0,w_{\max})+
2\sum^j_{q=2}(-1)^{q+1}\Lambda \biggl(x,y,\varphi- \sum^{q-1}_{i=1}\tilde\Delta_i,w_{\max}\biggr)^2, \\
\qquad \qquad \quad \displaystyle
\sum^{j-1}_{i=1}\tilde\Delta_i \leqslant \varphi \leqslant \sum^{j}_{i=1}\tilde\Delta_i, \quad j = \overline{2,N}, \quad N \geqslant 2.
\end{cases}
\end{equation} \tag{16} \]

Найденное параметрическое представление (16) $\theta(x,y,\varphi,\Delta)$ позволяет рассчитать модельную температурную зависимость $\theta_M(x^*,y^*, \varphi,\Delta)$ в точке с заданными координатами $(x^*, y^*)$ на временном интервале идентификации $\varphi \in (0,\varphi^*]$, что в дальнейшем используется для перехода от задачи (11) к задаче параметрической оптимизации
\[ \begin{equation}
I_2(\Delta)=\max_{\varphi\in(0,\varphi^*)}|\theta_M(x^*,y^*,\varphi,\Delta)-\theta^*(\varphi)| \to \min_{\Delta}.
\end{equation} \tag{17} \]

Дальнейшее решение полученной специальной задачи математического программирования (17) осуществляется с помощью альтернансных условий экстремума [17], соответствует оцениванию температурной невязки между модельной $\theta_M(x^*,y^*,\varphi,\Delta)$ и экспериментальной $\theta^*(\varphi)$ кривыми в равномерной (чебышевской) метрике и реализуется аналогично одномерному случаю [13–15].

Альтернансные свойства распределения невязки $\theta_M(x^*,y^*,\varphi,\Delta)-\theta^*(\varphi)$ проявляются при оптимальном решении $\Delta^0$ и выражаются в достижении в определенных точках, количество которых, как правило, на единицу превышает число искомых параметров, знакочередующихся максимальных по абсолютной величине отклонений $I_2(\Delta^0)$. Данные условия совместно с условиями существования экстремума температурной невязки во внутренних точках альтернанса на интервале идентификации приводят к замкнутой относительно всех неизвестных параметров системе уравнений. Решение сформированной таким образом системы уравнений и определяет оптимальные значения $\Delta^0$ вектора параметров.

3. Вычислительный эксперимент и решение двумерной внутренней обратной задачи теплопроводности

На базе представленной методики была решена серия обратных задач теплопроводности, позволяющая восстановить неизвестное сосредоточенное воздействие по мощности внутренних источников тепла $u(\varphi)$.

Для задачи (2), (3), (5), (7) общее решение (15) принимает вид
\[ \begin{multline}
\theta(x,y,\varphi)= U_{\max} \biggl( \int _0^\varphi \bar F_{00}u(\tau)d\tau + {}
\\
{}+
2\sum_{m=1}^{\infty} \bar F_{m0}\cos (\pi m x)\int _0^\varphi e^{-\pi^2m^2(\varphi-\tau)}u(\tau)d\tau+ {} \\
{}+ 2\sum_{k=1}^{\infty} \bar F_{0k}\cos(\pi k y)\int_0^\varphi e^{-\beta^2\pi^2k^2(\varphi-\tau)}u(\tau)d\tau+ {} \\
{} +
4\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \bar F_{mk}\cos(\pi m x)\cos(\pi k y)\int_0^\varphi e^{-(\pi^2m^2+\beta^2\pi^2k^2)(\varphi-\tau)}u(\tau)d\tau \biggr),
\end{multline} \tag{18} \]
где необходимые коэффициенты $\bar F_{00}$, $\bar F_{m0}$, $\bar F_{0k}$, $\bar F_{mk}$ определяются по соотношениям (6).

В задачах индукционного нагрева под действием электромагнитного поля индуктора активируются внутренние источники, и нахождение функции $F(x,y)$ связано с определенными трудностями решения сложной электромагнитной двумерной задачи [18, 19]. В большинстве типовых процессов индукционного нагрева глубина проникновения электромагнитного воздействия, зависящая от частоты тока индуктора, настолько мала, что в первом приближении полагают, что все тепловыделение происходит в поверхностном слое металла. В таком случае приближенная аналитическая зависимость
\[ \begin{equation}
F(x,y)=\delta(x-1)+\beta\delta(y-1),
\end{equation} \tag{19} \]
которая отражает действие точечных источников тепла в виде дельта-функции, сосредоточенных в точках на внешних границах тела, достаточно адекватно описывает распределение данной функции [18, 19].

При вычислительном эксперименте по сбору экспериментальных данных $\theta^*(\varphi)$ характер изменения мощности тепловыделения соответствовал плавному нагреву
\[ \begin{equation}
u^0(\varphi)=k(1-e^{-\sigma\varphi}).
\end{equation} \tag{20} \]

Вычислительный эксперимент был проведен на основе математической модели (18) температурного поля в процессе индукционного нагрева при принятых распределениях $F(x,y)$ и $u(\varphi)$ согласно (19) и (20). Далее, полагая функцию $u(\varphi)$ неизвестной и подлежащей идентификации на основе температурной кривой $\theta^*(\varphi)$, полученной в фиксированной точке $(x^*=0.9, y^*=0.9)$ на интервале $\varphi \in (0,\varphi]$, была решена обратная задача теплопроводности (8) согласно (11), (14), (16), (17).

4. Результаты решения обратной задачи теплопроводности

На рис. 1–4 и в табл. 1 и 2 представлены некоторые полученные результаты решения серии внутренних ОЗТ в зависимости от числа $N=1,2,3$ интервалов постоянства условного управляющего воздействия $w(\varphi)$.

На рис. 1 показана конфигурация
\[ \begin{equation*}
\varepsilon_\theta=\theta_M(x^*,y^*,\varphi,\Delta)-\theta^*(\varphi)
\end{equation*} \]
погрешности приближения экспериментальной зависимости в классе кусочно-параболических функций (16) при $N=1,2,3$ на интервале идентификации в точке контроля $(x^*,y^*)$.

На рис. 2 продемонстрирована разность
\[ \begin{equation*}
\varepsilon_u=u^*(\varphi,\Delta)-u^0(\varphi)
\end{equation*} \]
между восстановленной и идентифицируемой зависимостью сосредоточенной мощности тепловыделения в том же классе функций при $\varphi \in (0,\varphi^*]$.

Рис. 1. Ошибка приближения заданного температурного распределения: 1 — $N=1$; 2 — $N=2$; 3 — $N=3$
[Figure 1. Error in approximating of the given temperature distribution: 1 — $N=1$; 2 — $N=2$; 3 — $N=3$]

Рис. 2. Погрешность аппроксимации идентифицируемой функции: 1 — $N=1$; 2 — $N=2$; 3 — $N=3$
[Figure 2. Approximation error of the identified function: 1 — $N=1$; 2 — $N=2$; 3 — $N=3$]

Рис. 3. Температурное отклонение расчетного значения от принятого во всей пространственной области в конечный момент времени
[Figure 3. The temperature deviation of the calculated value from the one taken in the entire spatial region at the final moment of time]

Рис. 4. Температурная невязка на границе $y=1$ в процессе идентификации
[Figure 4. Temperature discrepancy at the boundary of $y=1$ in the identification process]

Табл. 1 отражает минимаксную погрешность для восстанавливаемой температуры $\bar\varepsilon_{\theta}=\max_{\varphi \in (0,\varphi^*)}|\theta_M(x^*,y^*,\varphi,\Delta)-\theta^*(\varphi)|$ и мощности тепловыделения $\bar\varepsilon_u=\max_{\varphi \in (0,\varphi^*)}|u^*(\varphi,\Delta)-u^0 (\varphi)|$ на интервале $\varphi \in (0,\varphi^*]$ в точке с заданными координатами.

Особый интерес при решении двумерных задач представляет анализ погрешности восстановления результирующего температурного поля и идентифицируемой характеристики не только в точке контроля температуры, но и во всей пространственной области, занимаемой объектом. Рис. 3, 4 и табл. 2 демонстрируют некоторые результаты подобного анализа.

Так, на рис. 3 представлена температурная погрешность
\[ \begin{equation*}
\theta_M(x,y,\varphi^*,\Delta) -\theta^*(x,y,\varphi^*,u^0(\varphi^*))
\end{equation*} \]
во всей области изменения пространственных координат $0<x<1$, $0<y<1$ в конечный момент времени при $N=3$. Максимальное отклонение восстановленного температурного поля от полученного с использованием точного выражения идентифицируемой характеристики (20) достигается в точке $x=1$, $y=1$. Аналогичная ситуация наблюдается и при $N=1, 2$.

Рис. 4 отражает погрешность температурного распределения
\[ \begin{equation*}
\theta_M(x,1,\varphi,\Delta)-\theta^*(x,1,\varphi,u^0(\varphi))
\end{equation*} \]
на границе $0<x<1$, $y=1$ на протяжении интервала идентификации $\varphi \in (0, \varphi^*]$ при $N=3$. Вследствие симметричного характера нагрева температурное отклонение вдоль оси $x=1$, $0<y<1$ будет иметь аналогичное поведение.

В табл. 2 приведено максимальное абсолютное отклонение
\[ \begin{equation*}
\tilde\varepsilon_0 = \max \bigl|\theta_M(x,y,\varphi^*,\Delta)-\theta^*(x,y,\varphi^*,u^0(\varphi^*))\bigr|
\end{equation*} \]
рассчитанного температурного поля от экспериментального во всей пространственной области $0<x<1$, $0<y<1$ для $N=1, 2, 3$.

Как видно из данных, представленных в табл. 1 и 2, с ростом числа $N$, задающего количество используемых параметров в модельном описании температуры (16), (18), ошибка приближения истинного температурного состояния уменьшается как в точке контроля $(x^*, y^*)$ на всем интервале идентификации, так и во всей пространственной области, занимаемой объектом. Аналогично, с увеличением значения $N$ снижается погрешность восстановления идентифицируемого воздействия — сосредоточенной мощности внутренних источников тепла. Зависимость точности идентификации искомой характеристики и аппроксимации температурного состояния от координат точки контроля температуры имеет сложный неоднозначный характер и требует дополнительного исследования.

Таблица 1. Погрешность восстановления температуры и идентифицируемой функции в точке контроля в зависимости от числа $N+3$ учитываемых параметров
[The error in restoring the temperature and the identified function at the control point, depending on the number of $N+3$ parameters taken into account]

$N$	$1$	$2$	$3$
$\bar\varepsilon_\theta$	0.0198	0.0115	0.0074
$\bar\varepsilon_u$	0.1465	0.0947	0.0657

Таблица 2. Погрешность восстановления температуры во всей пространственной области в зависимости от числа $N+3$ учитываемых параметров
[The error of temperature recovery in the entire spatial domain, depending on the number of $N+3$ parameters taken into account]

$N$	$1$	$2$	$3$
$\bar\varepsilon_\theta$	0.0503	0.0268	0.0166

Заключение

Проведенное исследование показывает возможность решения многомерных ОЗТ по восстановлению неизвестных характеристик процессов технологической теплофизики на основе экспериментальной информации о температуре, полученной в одной точке контроля. Представленные результаты демонстрируют эффективность предложенной методики как для определения неизвестной сосредоточенной мощности теплоисточников, так и для восстановления температуры по всей пространственной области, занимаемой объектом, в любой момент времени.

Предложенный подход на основе модального описания объекта с распределенными параметрами в процессе нестационарной теплопроводности может быть распространен с необходимыми изменениями и дополнениями на идентификацию другого класса характеристик — пространственно распределенных или пространственно-временных внутренних и внешних воздействий.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23–29–00521, https://rscf.ru/project/23-29-00521/.

About the authors

Anna N. Diligenskaya

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: adiligenskaya@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9867-9781
https://www.mathnet.ru/person119447

Dr. Eng. Sci., Associate Professor; Professor; Dept. of Automation and Control in Technical Systems

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

Irina S. Bochkareva

Samara State Technical University

Email: ytychinina@list.ru
ORCID iD: 0009-0005-3282-7680
https://www.mathnet.ru/person208351

Postgraduate Student; Dept. of Automation and Control in Technical Systems

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

References

Supplementary files