On determination of gradient in optimal control problems for frictionless mechanical oscillatory systems

Full Text

Введение

Рассматриваются колебания одномерной механической системы, при этом допускается произвольная природа колебаний. Уравнение, описывающее колебательный процесс, может содержать производные высокого порядка по пространственной переменной (четвертого, шестого и выше). Проблема управления такими колебаниями активно исследуется в научной литературе. 

В работе [1] разработан аналитический подход к построению оптимального граничного управления для одномерных неоднородных колебательных процессов со смещением на обоих концах, основанный на методе моментов. Исследование [2] посвящено системам с распределенными параметрами, описываемым гиперболическими уравнениями с переменными коэффициентами, где решается задача определения мгновенно-оптимального точечного управления с использованием интегрального закона сохранения энергии. В [3] рассматривается задача гашения колебаний системы, описываемой волновым уравнением и обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, причем функции состояния связаны через граничные условия линейным образом, что позволяет получить точный вид управляющей функции.

В [4] исследованы задачи гашения колебаний струны и балки (управление для гиперболических уравнений второго и четвертого порядков), где установлено точное время гашения колебаний и применен градиентный метод для численного решения. Работа [5] посвящена численному гашению колебаний балки с использованием нескольких неподвижных точечных актюаторов, при этом управление ищется в классе кусочно-постоянных функций.

Задачи с уравнениями высокого порядка представляют значительный научный интерес. В [7] исследуется динамическое поведение и солитонные решения уравнения Кортевега–де Фриза и уравнения иерархии Жолента–Миодека, имеющие приложения в распознавании образов, динамике жидкости, нейронных сетях, механических системах, экологии, теории управления, бифуркационном анализе и теории хаоса. Авторами получены точные решения в виде бегущей волны, содержащие рациональные, гиперболические и тригонометрические функции. В [8] рассмотрена задача оптимального управления для линейной системы гиперболических уравнений первого порядка, где правая часть определяется из управляемых билинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложенный подход основан на неклассических формулах приращения функционала стоимости.

Исследование [9] представляет метод автоматической временной сегментации видео, сочетающий многомасштабный анализ изображений, нелинейные уравнения в частных производных и сверточные нейронные сети. Для нелинейной гиперболической модели второго порядка доказаны корректность, существование и единственность слабого решения, для нахождения которого применен алгоритм на основе метода конечных разностей. В [10] установлена теорема существования и единственности для нелокальных нелинейных дифференциальных уравнений балки шестого порядка с четырьмя параметрами при определенных условиях роста функции $f$ и ограничении на изгибную жесткость. Работа [11] посвящена изучению класса уравнений с двумя различными порядками типа Римана–Лиувилля разностных операторов набла, где доказано существование положительного решения с использованием теоремы о неподвижной точке.

В [12] рассмотрена задача граничного управления для гиперболического уравнения, характеристики которого имеют угловые коэффициенты одного знака, при этом управляющие функции построены в явном виде. В [13] исследована задача граничного управления для системы гиперболических уравнений, где с помощью метода Римана построены управляющие функции, переводящие систему из заданного начального состояния в финальное. Наконец, в [14] решается задача оптимального управления линейной системой гиперболических уравнений первого порядка с квадратичным целевым функционалом, осуществлена редукция к задаче оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений на основе неклассических формул приращения целевого функционала второго порядка.

1. Постановка задачи

Пусть $u=u(x,t)$, где $x\in[0,l]$, $l>0$, $t\in[0,T]$, $T>0$, и пусть $N\in\mathbb{N}$. Рассмотрим уравнение 
\[\begin{equation}
\tag{1}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k} u}{\partial x^{2k}} = f(x,t),
\end{equation}\]
где коэффициенты $a_k\in\mathbb{R}$ и $a_N\neq 0$. На границах области задаются либо условия шарнирного закрепления:
\[\begin{equation}
\tag{2}
\frac{\partial^{2k} u}{\partial x^{2k}}\Bigr|_{x=0} =  \frac{\partial^{2k} u}{\partial x^{2k}}\Bigr|_{x=l} = 0, \quad k=0,1,\dots,N-1,
\end{equation}\]
либо условия нежесткого закрепления:
\[\begin{equation}
\tag{3}
\frac{\partial^{2k+1} u}{\partial x^{2k+1}}\Bigr|_{x=0} =  \frac{\partial^{2k+1} u}{\partial x^{2k+1}}\Bigr|_{x=l} = 0, \quad k=0,1,\dots,N-1.
\end{equation}\]

Для функции $u(x,t)$ заданы начальные условия
\[\begin{equation}
\tag{4}
u\bigr|_{t=0} = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}\Bigr|_{t=0} = u_1(x),
\end{equation}\]
согласованные с граничными условиями (2) или (3).

Отметим, что модели колебаний с силой трения, пропорциональной скорости, могут быть сведены к задаче (1)–(4). Действительно, пусть $\mu\in\mathbb{R}_+$. Рассмотрим уравнение
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \mu \frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k} u}{\partial x^{2k}} = f(x,t),
\]
где слагаемое $\mu \frac{\partial u}{\partial t}$ описывает силу трения. Замена переменной $u=e^{-\mu t/2}w$ позволяет исключить член с первой производной по времени, что приводит к уравнению
\[
\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} + \sum_{k=1}^N (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k} w}{\partial x^{2k}} + \Bigl(\frac{\mu^2}{4} + a_0^2\Bigr)w = F(x,t),
\]
где $F(x,t)=f(x,t)e^{\mu t/2}$. Полученное уравнение имеет вид (1), при этом граничные условия (2) или (3) для функции $w$ сохраняются, а начальные условия принимают вид
\[
w\bigr|_{t=0} = u_0(x), \quad  \frac{\partial w}{\partial t}\Bigr|_{t=0} = u_1(x) + \frac{\mu}{2}u_0(x).
\]

2. Анализ однородного уравнения

Рассмотрим случай однородного  уравнения (1), т.е. $f(x,t)\equiv 0$. Пусть $Q_\tau := [0,l]\times[0,\tau]$. Применим технику интегральных оценок, следуя [6]. Умножим уравнение (1) с нулевой правой частью на $\frac{\partial u}{\partial t}$ и, используя соотношения
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2
\quad
\text{и}
\quad 
\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\frac{\partial^{k+1}u}{\partial x^k \partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\right)^2,
\]
выделим полные производные по времени. Интегрируя полученное выражение по области $Q_\tau$ при $\tau > 0$, получим
\[\begin{multline*}
0 = \int_{Q_\tau} \biggl( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k} u}{\partial x^{2k}} \frac{\partial u}{\partial t} \biggr) dx dt = {}
\\
{}= \frac{1}{2} \int_{Q_\tau} \frac{\partial}{\partial t} \biggl( \Bigl(\frac{\partial u}{\partial t}\Bigr)^2 + \sum_{k=0}^N a_k^2 \Bigl(\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\Bigr)^2 \biggr) dx dt = E(\tau) - E(0),
\end{multline*}\]
где введена функция $E(\tau)$, представляющая полную энергию колебательной системы и определяемая выражением
\[\begin{equation}
\tag{5}
E(\tau) = \frac{1}{2} \int_0^l  \biggl[ \Bigl(\frac{\partial u}{\partial t}\Bigr)^2 + \sum_{k=0}^N a_k^2 \Bigl(\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\Bigr)^2 \biggr]_{t=\tau} dx.
\end{equation} \] 

Утверждение. Для механической системы, описываемой уравнением (1) с краевыми условиями (2) или (3), выполняется закон сохранения энергии:
\[
E(\tau) = E(0) \quad \forall \tau > 0.
\]

Из закона сохранения энергии непосредственно вытекает следующая теорема единственности решения начально-краевой задачи.

Теорема. Пусть для однородного уравнения (1) $(f(x,t)\equiv 0)$ с краевыми условиями (2) или (3) начальные функции $u_0(x)$ и $u_1(x)$ тождественно равны нулю. Тогда задача имеет единственное решение $u(x,t)\equiv 0.$

Доказательство. Из закона сохранения энергии следует, что $E(\tau)  = E(0) \equiv 0$ для всех $\tau > 0$. Согласно формуле (5), получаем
\[\begin{equation}
0 \leqslant E(\tau) = 0,
\end{equation}\]
что возможно только при $u(x,t)\equiv 0$.

Рассмотрим теперь общий случай с произвольными начальными условиями $u_0(x)$ и $u_1(x)$. Предположим, что существуют два различных решения $w(x,t)$ и $v(x,t)$ начально-краевой задачи с одинаковыми краевыми и начальными условиями. Тогда функция $u(x,t) = w(x,t) - v(x,t)$ удовлетворяет уравнению (1) с $f(x,t)\equiv 0$, однородным краевым условиям (2) или (3), нулевым начальным условиям.

Согласно доказанному выше, $u(x,t)\equiv 0$, следовательно, $w(x,t) \equiv v(x,t)$, что доказывает единственность решения. $\square$

Рассмотрим дифференциальный оператор $L$, действующий на функции, дважды дифференцируемые по времени и $2N$ раз дифференцируемые по пространственной переменной, по следующему правилу:
\[
L := \frac{\partial^2}{\partial t^2} + L_x = \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k}}{\partial x^{2k}},
\]
где $L_x = \displaystyle \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k}}{\partial x^{2k}}$ — дифференциальный оператор по пространственной переменной. В терминах введенного оператора уравнение (1) принимает компактный вид:
\[
Lu = f.
\]

Лемма. Оператор $L_x,$ действующий на функции $w,$ $v,$ удовлетворяющие краевым условиям (2) или (3), является симметричным и положительно определенным: 
\[
(L_x w, v) = (w, L_x v), \quad (L_x w, w) > 0 \quad \text{при} \quad w \neq 0.
\]

Доказательство. Рассмотрим стандартное скалярное произведение в $L_2[0,l]$. Применяя $N$ раз интегрирование по частям и учитывая граничные условия (2) или (3), получаем
\[
(L_x w, v) = \int_0^l \biggl( \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k} w}{\partial x^{2k}} \biggr) v  dx 
= \int_0^l \sum_{k=0}^N a_k^2 \frac{\partial^k w}{\partial x^k} \frac{\partial^k v}{\partial x^k}  dx 
= (w, L_x v).
\]

Для доказательства положительной определенности положим $v = w \neq 0$:
\[
(L_x w, w) = \int_0^l \sum_{k=0}^N a_k^2 \Bigl( \frac{\partial^k w}{\partial x^k} \Bigr)^2 dx > 0,
\]
поскольку $a_N \neq 0$ и не все производные $\frac{\partial^k w}{\partial x^k}$ могут быть тождественно нулевыми. $\square$

Исследуем действие оператора $L_x$ на экспоненциальную функцию:
\[\begin{equation}
L_x e^{\lambda x} = \biggl( \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 \lambda^{2k} \biggr) e^{\lambda x} =: \mu(\lambda) e^{\lambda x},
\end{equation}\]
где $\mu(\lambda)$ — многочлен от параметра $\lambda$. Заметим, что для чисто мнимых $\lambda = i\varphi$, $\varphi \in \mathbb{R}$, этот многочлен принимает положительные значения:
\[
\mu(i\varphi) = \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 (i\varphi)^{2k} 
= \sum_{k=0}^N (-1)^k (i^2)^k a_k^2 \varphi^{2k} 
= \sum_{k=0}^N (a_k \varphi^k)^2 > 0.
\]

3. Градиент в задаче управления

Рассмотрим функцию $f(x,t)$ в качестве управляющего воздействия. Решение $u(x,t) = u(x,t,f)$ начально-краевой задачи (1)–(4) при этом зависит от выбора управления. Сформулируем задачу оптимального управления: найти такое управление $f(x,t)$, которое минимизирует функционал
\[\begin{multline}
\tag{6}
J(f) = \int_0^l \biggl( \bigl(u(x,T,f) - y_0(x)\bigr)^2 + \bigl(u_t(x,T,f) - y_1(x)\bigr)^2 +{}\\
{}+ \frac{1}{\varepsilon^2} \int_0^T f^2(x,t) dt \biggr) dx,
\end{multline}\]
где $y_0(x)$, $y_1(x)$ — заданные целевые функции, определяющие желаемую конечную форму и скорость системы соответственно. Последнее слагаемое в функционале, содержащее норму управления, обеспечивает регуляризацию задачи [15]. Хотя функционалы вида (6) широко используются в теории управления, задача управления для гиперболического уравнения высокого порядка представляет собой новую постановку.

Для численного решения задачи применим градиентный метод. Следуя [3],  построим итерационный процесс:
\[
f_{k+1} = f_k - \alpha_k J'(f_k), \quad k = 0,1,\ldots,
\]
где $f_0$ — начальное приближение, $\alpha_k > 0$ — шаг градиентного метода. Шаг $\alpha_k$ выбирается из условия монотонного убывания функционала:
\[
J\bigl(f_k - \alpha_k J'(f_k)\bigr) < J(f_k).
\]
Итерационный процесс прекращается при выполнении критерия остановки:
\[
\|J'(f_k)\|_{L_2} < \varepsilon.
\]

Для вычисления градиента рассмотрим возмущенное управление $f(x,t)  + h(x,t)$, где $h(x,t)$ — малая добавка. Обозначим через $W(x,t) = u_h(x,t) - u(x,t)$ соответствующее приращение решения, которое удовлетворяет задаче (1)–(4) с правой частью $h(x,t)$ и однородными граничными условиями (2) или (3). Согласно определению производной Фреше, приращение функционала имеет вид
\[
\Delta J = J(f + h) - J(f) = (J'(f), h) + o(\|h\|^2_{L^2(Q_T)}),
\] 
где все функции зависят от переменных $x$ и $t$.

Используя методику, изложенную в работах [16, 17], выпишем приращение функционала:
\[\begin{multline}
\tag{7}
\Delta J = J(f+h) - J(f) = \int_0^l \biggl( \bigl(2u(x,T,f) - 2y_0(x)\bigr)W(x,T)  +{}\\
{}+ \bigl(2u_t(x,T,f) - 2y_1(x)\bigr)W_t(x,T) 
+ \frac{1}{\varepsilon^2} \int_0^T 2f(x,t)h(x,t) dt \biggr) dx + R(h),
\end{multline}\]
где остаточный член $R(h)$ задается выражением
\[
R(h) = \int_0^l \bigl( W^2(x,T) + W_t^2(x,T) \bigr) dx 
+ \frac{1}{\varepsilon^2} \int_0^l \int_0^T h^2(x,t) dt dx.
\]

Введем сопряженную функцию $\psi(x,t)$, удовлетворяющую конечным условиям:
\[
\psi(x,T) = 2\bigl(u_t(x,T,f) - y_1(x)\bigr), \quad \psi_t(x,T) = -2\bigl(u(x,T,f) - y_0(x)\bigr).
\]
Тогда приращение функционала (7) можно переписать в виде
\[\begin{multline}
\tag{8}
\Delta J = \int_0^l \int_0^T \Bigl( -\psi_{tt}(x,t)W(x,t) + \psi(x,t)W_{tt}(x,t) +{}\\
{}+ \frac{2}{\varepsilon^2} f(x,t)h(x,t) \Bigr) dt dx + R(h).
\end{multline}\]

Из уравнения для $W$ выразим $W_{tt}$:
\[
W_{tt} = h(x,t) - \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k} W}{\partial x^{2k}}
\]
и подставим в (8):
\[\begin{multline*}
\Delta J = \int_0^l \int_0^T \biggl( -\psi_{tt}(x,t)W(x,t)  
+ \psi(x,t) \biggl( h(x,t) - \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k} W}{\partial x^{2k}} \biggr) +{}\\
+ \frac{2}{\varepsilon^2} f(x,t)h(x,t) \biggr) dt dx + R(h).
\end{multline*}\]

Потребуем, чтобы $\psi(x,t)$ удовлетворяла однородному уравнению:
\[
\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \sum_{k=0}^N A_k \frac{\partial^{2k} \psi}{\partial x^{2k}} = 0,
\]
где коэффициенты $A_k$ подлежат определению из ограничений на $\Delta J$. Тогда
\[\begin{multline*}
\Delta J = \int_0^l \int_0^T \biggl( \Bigl( \psi(x,t) + \frac{2}{\varepsilon^2} f(x,t) \Bigr) h(x,t)  
+ \biggl( \sum_{k=0}^N A_k \frac{\partial^{2k} \psi}{\partial x^{2k}} \biggr) W(x,t) -{} \\
{}- \psi(x,t) \sum_{k=0}^N (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k} W}{\partial x^{2k}} \biggr) dt dx + R(h).
\end{multline*}\]

Преобразуем интеграл:
\[\begin{multline*}
\int_0^l \int_0^T \sum_{k=0}^N \Bigl( A_k \frac{\partial^{2k} \psi}{\partial x^{2k}} W(x,t) 
- \psi(x,t) (-1)^k a_k^2 \frac{\partial^{2k} W}{\partial x^{2k}} \Bigr) dt dx  = {}\\
{}= \sum_{k=0}^N \int_0^l \int_0^T 
(A_k - (-1)^k a_k^2) \frac{\partial^k \psi}{\partial x^k} \frac{\partial^k W}{\partial x^k} dt dx.
\end{multline*}\]

Положим $A_k = (-1)^k a_k^2$, тогда получим
\[
\Delta J = \int_0^l \int_0^T \Bigl( \psi(x,t) + \frac{2}{\varepsilon^2} f(x,t) \Bigr) h(x,t) dt dx + R(h),
\]
или в операторной форме $\Delta J(h) = (DJ, h) + R(h)$, где $DJ = \psi(x,t) + \frac{2}{\varepsilon^2} f(x,t)$. Далее необходимо показать, что остаточный член $R(h)$ имеет более высокий порядок малости по сравнению с линейной частью.

Отметим, что в данном случае вычисление градиента существенно проще, чем в общем случае [17]. В отличие от общего подхода, здесь не потребовалось вводить мажорирующий функционал — удалось непосредственно вычислить градиент исходного квадратичного функционала. Предложенная методика выделения линейной части приращения функционала применима для начально-краевых задач порядка выше четвертого.

Теорема (Оценка остаточного члена). Для остаточного члена $R(h)$ справедлива оценка
\[
R(h) = O(\|h\|^2_{L^2(Q_T)}).
\]

Доказательство. Рассмотрим энергетическое тождество 
\[
\Bigl(LW, \frac{\partial W}{\partial t}\Bigr) = \Bigl(\frac{\partial W}{\partial t}, h\Bigr).
\]
Согласно лемме об энергии, имеем
\[
\Bigl(\frac{\partial W}{\partial t}, h\Bigr) = E(\tau) \geqslant \frac{1}{2} \int_0^l  \Bigl(\frac{\partial W}{\partial t}\Bigr)^2 \Bigr|_{t=\tau} dx.
\]
Применяя неравенство Коши—Буняковского, получаем
\[
\Bigl(\frac{\partial W}{\partial t}, h\Bigr) 
= \int_0^l \int_0^\tau \frac{\partial W}{\partial t} d dt dx
 \leqslant \frac{1}{2} \int_0^l \int_0^\tau \Bigl(\frac{\partial W}{\partial t}\Bigr)^2 dt dx + \frac{1}{2} \int_0^l \int_0^\tau h^2 dt dx.
\]
Комбинируя эти оценки, приходим к неравенству
\[\begin{equation}
\tag{9}
\int_0^l  \Bigl(\frac{\partial W}{\partial t}\Bigr)^2 \Bigr|_{t=\tau} dx \leqslant 
\int_0^l \int_0^\tau \Bigl(\frac{\partial W}{\partial t}\Bigr)^2 dt dx + \int_0^l \int_0^\tau h^2 dt dx.
\end{equation}\]

Введем следующие обозначения:
\[
b = \int_0^l \int_0^\tau h^2 dt dx, \quad 
\varphi(\tau) = \int_0^l  \Bigl(\frac{\partial W}{\partial t}\Bigr)^2 \Bigr|_{t=\tau} dx.
\]
Тогда неравенство (9) принимает вид
\[
\varphi(\tau) \leqslant \int_0^\tau \varphi(t) dt + b.
\]
Применяя лемму Гронуолла, получаем оценку
\[
\int_0^l \Bigl(\frac{\partial W}{\partial t}\Bigr)^2 dx \leqslant 
e^\tau \int_0^l \int_0^\tau h^2 dt dx  .
\]

Учитывая нулевые начальные условия, имеем
\[
W(x,T) = \int_0^T \frac{\partial W}{\partial t} dt,
\]
откуда с помощью неравенства Гельдера получаем
\[
\int_0^l W^2(x,T) dx \leqslant 
T \int_0^l \int_0^T \Bigl(\frac{\partial W}{\partial t}\Bigr)^2 dt dx \leqslant 
T e^T \int_0^l \int_0^T h^2 dt dx.
\]

Окончательная оценка для $R(h)$ имеет вид
\[\begin{multline*}
R(h) = \int_0^l \bigl( W^2(x,T) + W_t^2(x,T) \bigr) dx + 
\frac{1}{\varepsilon^2} \int_0^l \int_0^T h^2(x,t) dt dx \leqslant {} \\
{}\leqslant \Bigl( (Tl + 1)e^T + \frac{1}{\varepsilon^2} \Bigr) 
\int_0^l \int_0^T h^2(x,t) dt dx = O(\|h\|^2_{L_2(Q_T)}).
\end{multline*}\]
$\square$

Заключение

В работе исследована задача оптимального управления колебательными процессами, описываемыми начально-краевой задачей для линейного гиперболического уравнения высокого порядка в частных производных. Основные результаты работы включают:

1. явное выражение для градиента минимизируемого квадратичного функционала, полученное с использованием метода интегральных тождеств и техники сопряженных задач;
2. доказательство теоремы единственности решения смешанной задачи на основе закона сохранения энергии и энергетических оценок;
3. обоснование корректности градиентного метода для рассматриваемого класса задач управления, включая оценку остаточного члена.

Полученные результаты расширяют классические подходы к задачам управления распределенными системами и могут быть применены к широкому классу механических систем, включая модели струн, балок и стержней.

Конкурирующие интересы. У нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Alexander S. Zinchenko

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: zinchenkoas@mai.ru
ORCID iD: 0000-0001-7971-4572
SPIN-code: 7948-5040
Scopus Author ID: 59124941500
ResearcherId: AAJ-2633-2020
https://www.mathnet.ru/rus/person229294

Cand. Econom. Sci.; Associate Professor; Dept. of Mathematics

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4

Aleksander A. Nekhaev

Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences

Email: ganzol177@gmail.com
ORCID iD: 0009-0004-2062-7967
ResearcherId: JMR-4736-2023
https://www.mathnet.ru/rus/person230881

Research Engineer; Dept. of Mathematical Modeling of Heterogeneous Systems

Russian Federation, 119333, Moscow, Vavilova str., 44/2

Alexander M. Romanenkov

Moscow Aviation Institute (National Research University); Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences

Email: romanaleks@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0700-8465
SPIN-code: 7586-0934
Scopus Author ID: 57196480014
ResearcherId: AAH-9530-2020
https://www.mathnet.ru/rus/person29785

Cand. Techn. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Mathematics; Senior Researcher; Dept. of Mathematical Modeling of Heterogeneous Systems

Russian Federation, 125993, Moscow, Volokolamskoe Shosse, 4; 119333, Moscow, Vavilova str., 44/2

References

Supplementary files