Initial-boundary value problem for nonstationary heat conduction equation in a bounded domain with non-insulated lateral surface

Full Text

Введение

В настоящее время математические методы, основанные на интегро-дифференцировании дробного порядка, широко применяются при исследовании физических и химических процессов в средах с эффектами памяти и пространственными корреляциями. Как показано в работах [1–6], анализ процессов теплопереноса в средах с фрактальной структурой требует учета эффектов памяти. Их учет в рамках классических подходов приводит к появлению в дифференциальных уравнениях интегрального оператора, ядро которого отражает природу нелокальности. В подобных системах физические величины, как правило, обладают дробной размерностью. В работе [7] рассмотрены различные модели, основанные на дифференциальных уравнениях с дробными производными, а в исследовании [8] изучены процессы промерзания грунта с учетом эффектов памяти. Работы [9, 10] посвящены анализу третьей начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто по времени на полуоси.  

В данной работе исследуется начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в ограниченной области с учетом эффектов памяти при отсутствии тепловой изоляции боковой поверхности, то есть в случае теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой по закону Ньютона. При этом температура окружающей среды предполагается постоянной и равной начальной температуре. 

1. Вспомогательные утверждения

Определение [12]. Функция, задаваемая рядом
\[
W (\alpha, \beta, z ) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k} {k! \Gamma(\alpha k +\beta)},
\]
где $\alpha$, $\beta > 0$, называется функцией Райта.

Теорема 1 [12]. Пусть функции $F(p)$ и $G(p)$ аналитичны в полуплоскости $\operatorname{Re}(p) > p_{0}$ и являются образами Лапласа функций $f(t)$ и $g(t)$ соответственно. Пусть также известно, что $F(\varphi(p)) = G(p).$ Тогда
\begin{equation*}
G(p) = F\bigl(\varphi(p)\bigr) = \int_{0}^{+\infty}f(\tau)\exp\bigl(-\varphi(p)\tau\bigr)d\tau
\end{equation*}
и выполняется равенство
\begin{equation*}
g(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{+\infty}F\bigl(\varphi(p)\bigr)\exp(tp)dp.
\end{equation*}

2. Постановка задачи

Рассмотрим ограниченную область с эффектами памяти, находящуюся в тепловом равновесии с окружающей средой при температуре $T_{0}(x)$. Таким образом, начальная температура области постоянна во всех точках и совпадает с температурой окружающей среды. В начальный момент времени границы области приводятся в контакт с окружающей средой, температура которой равна $T_{c}>T_{0}(x)$. Через боковую поверхность области происходит теплообмен со средой при температуре $T_{0}(x)$. Требуется определить распределение температуры в области в произвольный момент времени. Теплообмен между областью и окружающей средой подчиняется закону Ньютона.

При расположении начала координат в центре области, т.е. для области $D= \{(x,t):-R<x<R, 0<t\leqslant T \}$, рассматриваемый процесс описывается дифференциальным уравнением с дробной производной Капуто:
\[\begin{equation}
\tag{1}
\partial_{0t}^{\alpha}T(x,t) = a\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}T(x,t)-
\frac{\beta}{\lambda h}\bigl[T(x,t)-T_{0}\bigr], \quad -R<x<R, \; t>0,
\end{equation}\]
где $\partial_{0t}^{\alpha}T(x,t) = \displaystyle \dfrac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_{0}^{t}\frac{T'(x,s)}{(t-s)^{\alpha}}ds$ — частная дробная производная Капуто порядка $0<\alpha \leqslant 1$; $T(x,t)$ — температура; $a$ — коэффициент температуропроводности; $\beta$ — коэффициент теплообмена; $\lambda$ — коэффициент теплопроводности материала; $h$ — отношение площади сечения тела к его периметру. Отметим, что отношение $\beta/\lambda$ характеризует относительную интенсивность теплообмена на границе.

Вводя безразмерное время $\tau = t/t_0$, производную Капуто можно представить в виде [17]
\[
\partial_{0\tau}^{\alpha} T(x,\tau) = \frac{1}{t^{\alpha}_{0}} \frac1{\Gamma(1-\alpha)}
\int_{0}^{\tau}\frac{T'(x,s)}{(\tau-s)^{\alpha}}ds.
\]

Тогда уравнение (1) преобразуется к виду
\[\begin{equation}
\tag{2}
\partial_{0\tau}^{\alpha}T(x,\tau) = 
\bar{a}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}T(x,\tau)-\frac{\beta}{\lambda h}\bigl[T(x,\tau)-T_{0}(x)\bigr], 
\quad -R<x<R, \; \tau>0,
\end{equation}\]
где $\bar{a}=at^{\alpha}_{0}$. 

Отметим, что переход к безразмерному времени влияет только на временную переменную. 
Однако, учитывая отсутствие характерного масштаба длины в полубесконечной среде, можно воспользоваться результатами работ [10], где масштаб длины для уравнения дробной диффузии определяется как $x_{0}=\sqrt{at^{\alpha}}$ с размерностью длины [м]. При значении параметра $\alpha=1$ данный масштаб длины переходит в классический случай уравнения диффузии. На этой основе вводится безразмерная переменная подобия $\eta_{\alpha}= {x}/{\sqrt{at^{\alpha}}}$, которая при $\alpha=1$ соответствует переменной подобия Больцмана $\eta= {x}/{\sqrt{at}}$.

Для полной постановки задачи дополним систему начальными и граничными условиями:    
\[\begin{gather}
T(x, 0) = T_{0}(x), \quad T(0,\tau) = T_{c},
\\
\tag{3}
-\lambda \frac{\partial T(x,\tau)}{\partial x}\Bigr|_{x=R} + \beta \bigl[T_{c} - T(R,\tau) \bigr] = 0,
\end{gather}\]
\[\begin{gather}
\tag{4}
\frac{\partial T(x, \tau)}{\partial x}\Bigr|_{x=0} = 0.
\end{gather}\]

3. Априорная оценка решения начально-краевой задачи

Теорема 2. Пусть выполняются условия 
\[
T(x,\tau)\in C^{2,0}(D)\cap C^{1,0}(\bar{D}), \quad \partial_{0\tau}^{\alpha}T(x,\tau)\in C(\bar D).
\]
Тогда для решения задачи (2)–(4) справедлива априорная оценка
\[\begin{equation}
\tag{5}
\|T(x,\tau)\|^{2}_{0} + D^{-\alpha}_{0\tau}\|T_{x}(x,\tau)\|^{2}_{0} \leqslant M\|T_{0}(x)\|^{2}_{0},
\end{equation}\]
где $M$ — постоянная, зависящая от входных данных задачи.

Доказательство. Поскольку $\bar{a} = \mathrm{const}$, то без ограничения общности  положим $\bar{a}=1$. Умножая уравнение (2) скалярно на $T(x,\tau)$, получим
\[\begin{equation}
\tag{6}
\bigl(\partial_{0\tau}^{\alpha}T(x,\tau), T(x,\tau) \bigr) = 
\bigl(T_{xx}(x,\tau), T(x,\tau) \bigr) - 
\frac{\beta}{\lambda h} \bigl( (T(x,\tau)-T_{0}(x) ),T(x,\tau)\bigr),
\end{equation}\]
где $(g,h) =\displaystyle \int_{0}^{R} gh dx$, $\|g\|^{2}_{0}=(g, g)$ для функций, заданных на $[0, R)$. 

Используя монотонность дробного интегрирования и тождество  $2TT_{\tau}  =\frac{\partial}{\partial \tau }(T^2)$, получаем
\[\begin{multline*}
(\partial_{0\tau}^{\alpha}T(x,\tau), T(x,\tau)) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_{0}^{R}T(x,\tau)\,dx\int_{0}^{t}T_{\tau}(x, t-\tau)^{-\alpha}d\tau \geqslant{} \\
{}\geqslant \frac{1}{2}(1,\partial^{\alpha}_{0\tau}T^{2}(x,\tau)) = \frac{1}{2}\partial^{\alpha}_{0\tau}\|T(x,\tau)\|^{2}_{0}.
\end{multline*}\]

Применяя интегрирование по частям и учитывая граничные условия, получаем
\[\begin{multline}
\tag{7}
\bigl(T_{xx}(x,\tau),T(x,\tau)\bigr) = \int_{0}^{R} T_{xx}(x,\tau)T(x,\tau)dx ={}
\\
{} =T(x,\tau)T_{x}(x,\tau)\bigg|_{0}^{R} - \int_{0}^{R}T_{x}^{2}(x,\tau) dx = {}
\\
{} = \frac{\beta}{\lambda}T(R,\tau)\bigl[T_{c}-T(R,\tau)\bigr] - \|T_{x}(x,\tau)\|^{2}_{0}.
\end{multline}\]

Для оценки первого слагаемого правой части равенства (7) применим неравенство Коши с $\varepsilon$ [13]:
\[\begin{multline*}
\frac{\beta}{\lambda}T(R,\tau)[T_{c}-T(R,\tau)] =  
\frac{\beta}{\lambda}\bigl( (T_{c}-T(R,\tau)), T(R,\tau)\bigr) = {}
\\
{}= 
-\frac{\beta}{\lambda} \int_{0}^{R} T^{2}(x,\tau)dx 
+\frac{\beta}{\lambda} \int_{0}^{R} T(x,0) T(x,\tau)dx \leqslant{} 
\\ 
{}\leqslant M^{\epsilon}_{1} \| T_0(x )  \|^{2}_{0} + M^{\epsilon}_{2}  \| T_0(x )  \|^{2}_{0},
\end{multline*}\]
где $M_{1}^{\epsilon} = \dfrac{\beta}{\lambda}(1+\epsilon)$, $M_{2}^{\epsilon} = \dfrac{\beta}{\lambda} \Bigl(1+\dfrac{1}{\epsilon}\Bigr)$. Таким образом,
\[
(T_{xx}(x,\tau),T(x,\tau)) \leqslant M^{\epsilon}_{1}\|T_0(x)\|^{2}_{0} + M^{\epsilon}_{2}\|T_0(x)\|^{2}_{0} =
M \|T_0(x)\|^{2}_{0}.
\]

Подставляя полученные оценки в равенство (6), получаем
\[\begin{equation}\tag{8}
\frac{1}{2}\partial^{\alpha}_{0\tau}\|T(x,\tau)\|^{2}_{0} + \|T_{x}(x,\tau)\|^{2}_{0} \leqslant M\|T_0(x)\|^{2}_{0}.
\end{equation}\]

Применяя к обеим частям неравенства (8) оператор дробного интегрирования $D^{-\alpha}_{0\tau}$ и используя лемму 2 из [13], получаем искомую оценку (5):
\[\begin{equation*}
\|T(x,\tau)\|^{2}_{0} + D^{-\alpha}_{0\tau}\|T_{x}(x,\tau)\|^{2}_{0} \leqslant M\|T_{0}(x)\|^{2}_{0}.
\end{equation*}\] $\square$

4. Решение задачи

Рассмотрим случай, когда начальное распределение температуры постоянно: $T_{0}(x) = T_{0} = \mathrm{const}$. 

Теорема 3. Пусть выполняются условия
\[
T(x,\tau)\in C^{2,0}(D)\cap C^{1,0}(\bar{D}), \quad  \partial_{0\tau}^{\alpha}T(x,\tau)\in C(\bar{D}), \quad 
 {\beta}/{\lambda} \to \infty,
\]
тогда решение задачи (2)–(4) имеет вид
\[\begin{multline*}
T(x,\tau) = T_{0} + (T_{c}-T_{0})\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \times {}
\\
{}\times \biggl( \frac{(2n-1)R-x}{2\sqrt{\pi}}
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{s^{3/2}} W\Bigl(-\alpha,1,-\frac{st^{-\alpha}}{\bar{a}}\Bigr)
\exp\Bigl(-\frac{\bigl((2n-1)R-x\bigr)^{2}}{4s}-\frac{s\beta}{\lambda h}\Bigr)ds + {}
\\  
{}+ \frac{(2n-1)R+x}{2\sqrt{\pi}}
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{s^{3/2}} W\Bigl(-\alpha,1,-\frac{st^{-\alpha}}{\bar{a}}\Bigr)
\exp\Bigl(-\frac{\bigl((2n-1)R+x\bigr)^{2}}{4s}-\frac{s\beta}{\lambda h}\Bigr)ds \biggr).
\end{multline*}\]

Доказательство. Решение начально-краевой задачи (2)–(4) найдем методом интегральных преобразований. Применим преобразование Лапласа по временной переменной $\tau$ к уравнению (2). Тогда после приведения подобных членов для изображения Лапласа получим обыкновенное дифференциальное уравнение
\[\begin{equation}
\tag{9}
T''_L(x,p) - \Bigl( \frac{p^\alpha}{\bar{a}} + \frac{\beta}{\lambda h}\Bigr) T_L(x,p) +
 \Bigl( \frac{p^{\alpha}}{\bar{a}}    + \frac{\beta }{\lambda h } \Bigr) \frac{T_0}{p}    = 0
\end{equation}\]
с граничными условиями
\[\begin{equation*}
-T'_L(R, p) + \frac{\beta}{\lambda} \Bigl( \frac{T_c}{p} - T_L(R,p)\Bigr) = 0, \quad T_L(0,p) = 0.
\end{equation*}\]

Характеристическое уравнение для (9) имеет вид
\[\begin{equation*}
\mu^2 - q^2(p) = 0
\end{equation*}\]
с корнями $\mu_{1,2} = \pm q(p) = \pm \sqrt{\dfrac{p^\alpha}{\bar{a}} + \dfrac{\beta}{\lambda h}}$.

Тогда общее решение уравнения (9) записывается так:
\[\begin{equation*}
T_L(x,p) = \frac{T_0}{p} + C_1 ch\bigl(q(p)x\bigr) + C_2 sh\bigl(q(p)x \bigr) ,
\end{equation*}\]
где $C_1$ и $C_2$ — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

Используя условие симметрии (4), получаем $C_2 = 0$. Для определения постоянной $C_1$ воспользуемся граничным условием (3):
\[
- C_1 q (p)   sh \bigl ( q(p) R \bigr) +  \frac{\beta T_c}{\lambda p} - 
\frac{\beta}{\lambda} \Bigl( \frac{T_0}{p} + C_1 ch\bigl( q(p) R\bigr)  \Bigr) = 0,
\]
что приводит к выражению
\[\begin{equation*}
C_1 =   \frac{T_c - T_0}{ p\Bigl[ ch\bigl(q(p)R\bigr) + \dfrac{\lambda}{\beta} q(p) sh\bigl(q (p)R \bigr) \Bigr] }.
\end{equation*}\]

Таким образом, решение в пространстве изображений Лапласа принимает вид
\[\begin{equation*}
T_L(x,p) = \frac{T_0}{p} + \frac{(T_c - T_0) ch\bigl(q(p)x\bigr)}{p \Bigl[ ch\bigl(q(p)R\bigr) + \dfrac{\lambda}{\beta} q (p) sh\bigl(q (p) R\bigr) \Bigr]}.
\end{equation*}\]

Рассмотрим предельный случай идеального теплового контакта, когда ${\beta}/{\lambda} \to \infty$. Тогда 
\[\begin{equation}
\tag{10}
T_L(x,p) = \frac{T_0}{p} + \frac{(T_c-T_0) ch\bigl(q(p)x\bigr)}{p ch\bigl(q(p)R\bigr)} = \frac{T_0}{p} + \frac{\varphi(p)}{\psi(p)}.
\end{equation}\]

Разложим $ch^{-1}\bigl(q(p)R\bigr)$ в ряд:
\[\begin{equation}\tag{11}
ch^{-1}\bigl(q(p)R\bigr) 
= 2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\exp\bigl(-(2n-1) q(p) R\bigr).
\end{equation}\]

Подставляя разложение (11) в (10), получаем
\[\begin{multline*}
T_L(x,p) = \frac{T_0}{p} + \frac{T_c-T_0}{p} \bigl[ \exp \bigl(q(p)x \bigr) +\exp \bigl( -q(p)x \bigr) \bigr]
\times {}
\\
{} \times  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}  \exp\bigl( -(2n-1) q(p) R\bigr),
\end{multline*}\]
т.е.
\[\begin{multline} \tag{12}
T_{L}(x,p) = \frac{T_{0}}{p} + \frac{T_{c}-T_{0}}{p} 
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bigl[ 
\exp\bigl(- q(p) \bigl((2n-1)R-x\bigr)\bigr) + {} \\ {}+
\exp\bigl(- q(p) \bigl((2n-1)R+x\bigr)\bigr)\bigr].
\end{multline}\]

Применим обратное преобразование Лапласа к выражению (12):
\[\begin{multline}\tag{13}
T(x,\tau) =  T_{0}  + (T_{c}-T_{0}) 
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} L^{-1}\Bigl[ \frac{1}{p}  
\exp\bigl(- q(p) \bigl((2n-1)R-x\bigr)\bigr) \Bigr] + {} 
\\ 
{}+
(T_{c}-T_{0}) 
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} L^{-1}\Bigl[ \frac{1}{p}
\exp\bigl(- q(p) \bigl((2n-1)R+x\bigr)\bigr)\Bigr].
\end{multline}\]

Для нахождения оригинала решения воспользуемся теоремой 1 и свойством свертки преобразования Лапласа. В условиях теоремы 1 положим, что
\[
\varphi(p)= q(p), \quad F(p) = \exp\Bigl(-2\sqrt{\frac{p \bigl((2n-1)R -x \bigr)^{2}}{4}}\Bigr).
\]
Учитывая, что 
\[
L^{-1}\Bigl[\sqrt{\frac{\pi}{k}}\exp\bigl(-2\sqrt{kp}\bigr)\Bigr] = \frac{1}{s^{3/2}}\exp\left(-k/s\right),
\] 
найдем
\[\begin{multline*} 
L^{-1}\Bigl[\frac{1}{p}\exp\bigl(-q(p)\bigl( (2n-1) R-x\bigr)\bigr)\Bigr] = {}
\\ 
{} = L^{-1} \biggl[ \frac{(2n-1) R-x}{2\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s^{3/2}}
\exp\Bigl(\frac{-\bigl((2n-1) R-x\bigr)^{2}}{4s}\Bigr) \cdot   \frac{1}{p} \exp\bigl( q(p) s\bigr)ds \biggr] = {} 
\\ 
{}=
\frac{(2n-1) R-x}{2\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s^{3/2}}
\exp\Bigl(\frac{-\bigl((2n-1) R-x\bigr)^{2}}{4s}\Bigr) \cdot
L^{-1}\Bigl[ \frac{1}{p} \exp\bigl(q(p)s\bigr) \Bigr]ds= {} 
\\
{}=
\frac{(2n-1) R-x}{2\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}
\frac{1}{s^{3/2}}\exp\Bigl( \frac{-\bigl((2n-1) R-x\bigr)^{2}}{4s}\Bigr) 
\times {} \hspace{3.8cm}
\\
\hspace{6.4cm}
\times{} \exp\Bigl(-\frac{s\beta}{\lambda h}\Bigr)   L^{-1}\biggl[\frac{1}{p}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{ (-sp^{\alpha} )^{n}}{\bar{a}^{n} n!}\biggr]ds = {}
\\
{}= \frac{(2n-1) R-x}{2\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}
\frac{1}{s^{3/2}}\exp\Bigl(\frac{-\bigl((2n-1) R-x\bigr)^{2}}{4s}\Bigr) \times {} \hspace{3.8cm} 
\\ 
\hspace{6.4cm}
{}\times \exp\Bigl( -\frac{s\beta}{\lambda h}\Bigr)  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-s)^n}{\bar{a}^n n!}L^{-1}\bigl[p^{\alpha n-1}\bigr]ds = {} 
\\
{}=
\frac{(2n-1) R-x}{2\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}
\frac{1}{s^{3/2}}\exp\Bigl( \frac{-\bigl((2n-1) R-x\bigr)^{2}}{4s}\Bigr) 
\times {} \hspace{3.8cm} 
\\ 
\hspace{6.4cm}
\times \exp\Bigl(-\frac{s\beta}{\lambda h}\Bigr) 
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-s)^{n}t^{-\alpha n}}{\bar{a}^{n}n!\Gamma(-\alpha n+1)}ds = {}
\\
{}=
\frac{(2n-1) R-x}{2\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}
\frac{1}{s^{3/2}}\exp\Bigl( \frac{-\bigl((2n-1) R-x\bigr)^{2}}{4s}\Bigr) 
\times {} \hspace{3.8cm}  
\\  
\times\exp\Bigl(-\frac{s\beta}{\lambda h}\Bigr) W\Bigl(-\alpha,1, -\frac{st^{-\alpha}}{\bar{a}}\Bigr)ds.
\end{multline*}\]

Аналогичным образом найдем, что 

\[\begin{multline*}
L^{-1}\Bigl[\exp\bigl(-q(p)  \bigl( (2n-1)R+x\bigr)\bigr)\Bigr] = {}
\\
{}=
\frac{(2n-1) R+x}{2\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}
\frac{1}{s^{3/2}}\exp\Bigl( \frac{-\bigl((2n-1) R+x\bigr)^{2}}{4s}\Bigr) 
\times {}  
\\  
\times\exp\Bigl(-\frac{s\beta}{\lambda h}\Bigr) W\Bigl(-\alpha,1, -\frac{st^{-\alpha}}{\bar{a}}\Bigr)ds.
\end{multline*}\]

Подставляя полученные выражения в (13), получаем окончательный вид функции $T(x, \tau)$. $\square$

5. Выводы

В работе исследована начально-краевая задача для уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто порядка $\alpha \in (0,1]$ в ограниченной области, учитывающая теплообмен с внешней средой через боковую поверхность по закону Ньютона. Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Построена математическая модель процесса теплопереноса, включающая эффекты памяти через дробную производную Капуто и учитывающая теплоотдачу через боковую поверхность в виде отрицательного источника тепла. Доказана корректность поставленной задачи — получена априорная оценка решения, устанавливающая его устойчивость по начальным данным и граничным условиям в соответствующих функциональных пространствах.
2. Операционным методом с использованием преобразования Лапласа получено аналитическое решение задачи для предельного случая идеального теплового контакта ($ \beta/\lambda \to \infty$). Решение выражается через специальные функции (функции Райта) и позволяет исследовать особенности формирования температурных полей в средах с памятью.

Перспективными направлениями дальнейших исследований являются построение решения для произвольных значений отношения $\beta/\lambda$, проведение вычислительных экспериментов по анализу влияния дробного параметра $\alpha$ на динамику температурного поля, а также обобщение результатов на случай анизотропных сред и нелинейных задач.

Полученные результаты открывают возможности для разработки новых эффективных методов анализа краевых задач дробного порядка с учетом сложных граничных условий.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Работа выполнена без привлечения финансирования.

About the authors

Vetlugin D. Beybalaev

Daghestan State University; Institute of Geothermal Problems and Renewable Energy Sources, Branch of the Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences in Makhachkala

Author for correspondence.
Email: kaspij_03@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-4881-9264
Scopus Author ID: 57198778939
https://www.mathnet.ru/rus/person42519

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics; Senior Researcher; Lab. of Geothermomechanics

Russian Federation, 367000, Makhachkala, Magomet Gadzhiev st., 43a; 367030, Makhachkala, Imam Shamil Avenue, 39a

Temirlan I. Ibavov

Daghestan State University

Email: ibavov94@mail.ru
ORCID iD: 0009-0006-8743-4304
https://www.mathnet.ru/rus/person207622

Senior Lecturer; Dept. of Discrete Mathematics and Computer Science

Russian Federation, 367000, Makhachkala, Magomet Gadzhiev st., 43a

References

Supplementary files